2020-2021學(xué)年天津市河北區(qū)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

20202021學(xué)年天津市河北區(qū)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列結(jié)論中，正確的是（）A．若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合B．若向量與都是單位向量，則C．若向量與是平行向量，則與的方向相同D．若兩個向量相等，則它們的模相等【答案】D【分析】根據(jù)向量相等、單位向量、平行向量的概念進(jìn)行判斷.【詳解】A．兩個向量相等，則兩個向量可以平移至起點和終點重合，但兩個向量不一定起點和終點重合，故錯誤；B．單位向量的模長都相等，但是方向不一定相同，故錯誤；C．若兩個向量是平行向量，則這兩個向量的方向也可以相反，故錯誤；D．相等向量的模長相等，方向相同，故正確，故選：D.2．已知向量，，則A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以=（5，7），故選A.【解析】本小題主要考查平面向量的基本運算，屬容易題.3．已知是虛數(shù)單位，則A． B． C． D．【答案】A【詳解】因，故應(yīng)選答案A．4．如圖所示，已知在中，D是邊AB上的中點，則（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用向量減法和數(shù)乘運算求得正確結(jié)論.【詳解】.故選：B5．下面給出的命題中，正確的個數(shù)是（）①一個棱柱至少有5個面②平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形③正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形④有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)棱柱的特征可得，一個棱柱的底面至少有三條邊，所以至少有5個面；即①正確；由平行六面體的概念和性質(zhì)，可知：平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形；即②正確；根據(jù)正棱錐的特征可得，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形；即③正確；根據(jù)棱臺的特征可知：棱臺是棱錐截得的，側(cè)棱的延長線要交于同一點。有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體，不能保證側(cè)棱的延長線交于同一點，因此該多面體不一定是棱臺，即④錯；因此正確的個數(shù)有3個.故選：C.6．用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖如圖所示，則在的三邊及中線AD中，最長的線段是（）A．AB B．AD C．BC D．AC【答案】D【分析】根據(jù)的形狀還原得到的形狀，由此確定出最長的線段.【詳解】根據(jù)的形狀可知的形狀如下圖：由圖可知，最長的線段為，故選：D.7．棱長為a的正四面體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正四面體是各面都是全等的等邊三角形，即可由三角形面積公式求出結(jié)果.【詳解】因為正四面體是各面都是全等的等邊三角形，又該正四面體的棱長為，所以該正四面體的表面積為.故選：D.8．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則滿足條件的（）A．無解 B．有一個解C．有兩個解 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)題中條件，由正弦定理，求出，再驗證，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，由正弦定理可得，，所以，因為為三角形內(nèi)角，所以，因此或，若，則符合題意；若，則，符合題意；因此有兩個解；故選：C.9．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．以上均不正確【答案】A【分析】根據(jù)題中條件，由余弦定理，得到，化簡整理，即可判斷三角形的形狀.【詳解】由，根據(jù)余弦定理，可得，整理得，所以，即為等腰三角形.故選：A.10．如圖所示，隔河可以看到對岸兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，現(xiàn)在岸邊取相距4km的C，D兩點，測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，則兩目標(biāo)A，B間的距離為km.A． B． C． D．2【答案】B【分析】由已知可求，，由正弦定理可求的值，在中，，由正弦定理可求的值，進(jìn)而由余弦定理可求的值．【詳解】由已知，中，，，由正弦定理，，所以，在中，，由正弦定理，，所以，在中，由余弦定理，，解得：．所以與的距離.故選B【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二、填空題11．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為___________.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可直接得出結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為.故答案為：.12．已知向量，，若，則實數(shù)的值為___________.【答案】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，由題中條件，列出方程，即可求出結(jié)果.【詳解】因為向量，，若，則，解得.故答案為：.13．已知，為單位向量，若向量與的夾角為，則向量在上的投影向量為___________.【答案】【分析】根據(jù)向量投影的計算公式，結(jié)合模長以及夾角直接求解出結(jié)果.【詳解】因為，所以向量在上的投影向量為：，故答案為：.14．長方體中，，，，則三棱錐的體積為___________.【答案】【分析】根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征，得到即為三棱錐的高，再由棱錐的體積公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因為長方體中，側(cè)棱和底面垂直，因此即為三棱錐的高，所以三棱錐的體積為.故答案為：.15．在中，，，，則角A的大小為___________.【答案】【分析】由數(shù)量積的運算律及定義求得，得角．【詳解】由題意，，又，所以．故答案為：．三、解答題16．已知向量，，與的夾角為.（1）求及；（2）求.【答案】（1），；（2）．【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義求數(shù)量積，模平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算求解；（2）由數(shù)量積的運算律計算．【詳解】（1），，（2）．17．已知復(fù)數(shù).（1）若為實數(shù)，求值；（2）若為純虛數(shù)，求值；（3）若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第一象限，求的范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由題意得出復(fù)數(shù)的虛部為零，由此可解出實數(shù)的值；（2）由題意得出復(fù)數(shù)的實部為零，虛部不為零，由此可解出實數(shù)的值；（3）由題意得知復(fù)數(shù)的實部與虛部都為正數(shù)，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解出即可.【詳解】（1）復(fù)數(shù)為實數(shù)，則，解得；（2）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得；（3）復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第一象限，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查利用復(fù)數(shù)的類型和幾何意義求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.18．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，.（1）若，求的值及的外接圓半徑；（2）若的面積為4，求b和c的值.【答案】（1），外接圓半徑為；（2），；【分析】（1）先由求出；再由題中條件，根據(jù)正弦定理，即可求出的值及的外接圓半徑；（2）根據(jù)三角形的面積公式，由題中條件，可求出；再由余弦定理，即可求出.【詳解】（1）因為，為三角形內(nèi)角，所以；又，，所以由正弦定理可得：（其中為的外接圓半徑），因此，；（2）因為的面積為4，，，所以，因此；由余弦定理可得，所以.19．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，，且.（1）求角A的大小；（2）若，，求邊c和的面積.【答案】（1）；（2），的面積為