套卷2014-2015學(xué)年吉林省實驗高三上學(xué)期第二次模擬考試試題數(shù)學(xué)（理）

2014—2015學(xué)年吉林省實驗高三上學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題3．等式成立是成等差數(shù)列的()條件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分必要D.既不充分又不必要4函數(shù)對任意都有則等于()A或B或CD或5．若當時，函數(shù)始終滿足，則函數(shù)的圖象大致為（）6．已知是周期為2的奇函數(shù)，當時，設(shè)則()A.B.C.D.7．一個幾何體的三視圖如圖示，則這個幾何體的體積為()A．B．C．D．8.已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是()A.1B.2C.D.9.若則（）A.B.C.D.110．數(shù)列是正項等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，則有()A．

B．

C．

D．與大小不確定11.設(shè)，又K是一個常數(shù)。已知當K<0或K>4時，只有一個實根；當0<K<4時，有三個相異實根，現(xiàn)給出下列命題：A．和有一個相同的實根B．和有一個相同的實根C．的任一實根大于的任一實根D．的任一實根小于的任一實根。其中錯誤的命題的個數(shù)是（）A．4B.3C.2D.112.已知中心在坐標原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別為，這兩條曲線在第一象限的交點為,是以為底邊的等腰三角形。若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是()A.B.C.D.第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩個部分。第（13）題-第（21）題為必考題，每個考生都必須作答。第（22）題-第（24）題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.頂點在原點，經(jīng)過圓的圓心且準線與軸垂直的拋物線方程為.14.設(shè)滿足約束條件：；則的取值范圍。15.已知直線與圓交于兩點，是坐標原點，向量滿，則實數(shù)的值是。16.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖像與直線的交點為，函數(shù)的圖像與直線的交點為，恰好是點到函數(shù)圖像上任意一點的線段長的最小值，則實數(shù)的值是。三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分12分)在中，角所對的邊分別為.，．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若最大邊的邊長為，求最小邊的邊長及的面積．18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前項和為，且滿足，（且）．（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求和.19.(本小題滿分12分)如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.（Ⅰ）證明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直線B1C1與平面ACD120.(本小題滿分12分)已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點.(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在過點的直線與橢圓C相交于不同的兩點，滿足?若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.（21）.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若在上存在一點，使得＜成立，求的取值范圍．請考生從第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。22．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，AB是圓O的直徑，C是半徑OB的中點，D是OB延長線上一點，且BD=OB，直線MD與圓O相交于點M、T（不與A、B重合），DN與圓O相切于點N，連結(jié)MC，MB，OT．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，試求的大小．23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程已知直線經(jīng)過點，傾斜角，圓C的極坐標方程為(Ⅰ)寫出直線的參數(shù)方程，并把圓的方程化為直角坐標方程；(Ⅱ)設(shè)與圓相交于兩點，求點到兩點的距離之積.24．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講對于任意的實數(shù)和，不等式恒成立，記實數(shù)的最大值是。(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)解不等式

．【答案】（1）（2）．【解析】試題解析：（1），．………2分又，…………………4分．…………………6分【答案】（1）詳見解析；（2）；.【解析】試題解析：（１）證明：當時，，①………2分由上式知若，則，由遞推關(guān)系知，∴由①式可得：當時，……………4分∴是等差數(shù)列，其中首項為，公差為.…………6分（2），.……………8分當時，，…………………10分當時，不適合上式，∴……12分（19）(本小題滿分12分)如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.（Ⅰ）證明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值方法一(1)證明如圖，因為BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1.………………3分又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，………………5分而B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D.………………6分(2)解因為B1C1∥AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為θ).如圖，連接A1D，因為棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°所以A1B1⊥平面ADD1A1，從而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四邊形ADD1A1是正方形.于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ，在直角梯形ABCD中，因為AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB.從而Rt△ABC∽Rt△DAB，故eq\f(AB,DA)＝eq\f(BC,AB)，即AB＝eq\r(DA·BC)＝eq\r(3).………………8分連接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BBeq\o\al(2,1)＋BD2＝BBeq\o\al(2,1)＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝eq\r(21).在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝eq\f(AD,B1D)＝eq\f(3,\r(21))＝eq\f(\r(21),7)，………………10分即cos(90°－θ)＝eq\f(\r(21),7).從而sinθ＝eq\f(\r(21),7).即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為eq\f(\r(21),7).…………12分方法二(1)證明易知，AB，AD，AA1兩兩垂直.如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.………………7分設(shè)AB＝t，則相關(guān)各點的坐標為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).從而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0).因為AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝eq\r(3)或t＝－eq\r(3)(舍去).于是＝(－eq\r(3)，3，－3)，＝(eq\r(3)，1,0)，因為·＝－3＋3＋0＝0，所以⊥，即AC⊥B1D.(2)解由(1)知，＝(0,3,3)，＝(eq\r(3)，1,0)，＝(0,1,0).設(shè)n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個法向量，則，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋y＝0，,3y＋3z＝0，))令x＝1，則n＝(1，－eq\r(3)，eq\r(3)).設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為θ，則sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝eq\f(\r(3),\r(7))＝eq\f(\r(21),7).即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為eq\f(\r(21),7).………12分（20）.(本小題滿分12分)已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）是否存在過點的直線與橢圓C相交于不同的兩點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.解(1)設(shè)橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，…………………2分由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，))…………………4分解得a2＝4，b2＝3.故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.…………………6分(2)假設(shè)存在直線l1且由題意得斜率存在，設(shè)滿足條件的方程為y＝k1(x－2)＋1，代入橢圓C的方程得，(3＋4keq\o\al(2,1))x2－8k1(2k1－1)x＋16keq\o\al(2,1)－16k1－8＝0.………7分因為直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設(shè)A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4keq\o\al(2,1))·(16keq\o\al(2,1)－16k1－8)＝32(6k1＋3)>0，所以k1>－eq\f(1,2).…8分又x1＋x2＝eq\f(8k12k1－1,3＋4k\o\al(2,1))，x1x2＝eq\f(16k\o\al(2,1)－16k1－8,3＋4k\o\al(2,1))，…………………9分因為·＝2，即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝eq\f(5,4)，所以(x1－2)(x2－2)(1＋keq\o\al(2,1))＝2＝eq\f(5,4).即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋keq\o\al(2,1))＝eq\f(5,4).所以[eq\f(16k\o\al(2,1)－16k1－8,3＋4k\o\al(2,1))－2·eq\f(8k12k1－1,3＋4k\o\al(2,1))＋4]·(1＋keq\o\al(2,1))＝eq\f(4＋4k\o\al(2,1),3＋4k\o\al(2,1))＝eq\f(5,4)，…………………10分解得k1＝±eq\f(1,2).因為k1>－eq\f(1,2)，所以k1＝eq\f(1,2).于是存在直線l1滿足條件，其方程為y＝eq\f(1,2)x.…12分（21）.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若在上存在一點，使得＜成立，求的取值范圍．【答案】試題解析：（Ⅰ）的定義域為，當時，，，……………2分，,切點，斜率∴曲線在點處的切線方程為…………………4分（Ⅱ），…………5分①當時，即時，在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；………6分②當，即時，在上，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增．…………………8分（Ⅲ）在上存在一點，使得成立，即在上存在一點，使得，即函數(shù)在上的最小值小于零．……9分由（Ⅱ）可知：①當，即時，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為，由可得，因為，所以；…………………10分②當，即時，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，由可得；…11分③當，即時，可得最小值為，因為，所以，故此時不存在使成立．綜上可得所求的范圍是：或．………………12分請考生從第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。（22）．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，AB是圓O的直徑，C是半徑OB的中點，D是OB延長線上一點，且BD=OB，直線MD與圓O相交于點M、T（不與A、B重合），DN與圓O相切于點N，連結(jié)MC，MB，OT．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，試求的大小．（Ⅰ）證明：因MD與圓O相交于點T，由切割線定理，，得，…………2分設(shè)半徑OB=，因BD=OB，且BC