雙自由度體系自振特性的簡化計算公式

雙自由度體系自振特性的簡化計算公式

1橋的結(jié)構(gòu)和剛度抗震結(jié)構(gòu)的基本概念是在結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)或其他適當位置上定義一個具有小高差的柔性隔離層，使結(jié)構(gòu)層的變形集中在這一層，從而顯著減少其他層的位移。當各個橋墩的高度和截面基本相同時,連續(xù)梁式橋在抗震計算時通常可以簡化為單自由度結(jié)構(gòu)。當采用設(shè)置在墩頂?shù)南鹉z支座隔震時,此隔震橋梁便成為一個雙自由度體系。在隔震橋梁中,橋墩的剛度一般都遠大于隔震橡膠支座的剛度,橋面結(jié)構(gòu)的質(zhì)量一般也甚大于橋墩的質(zhì)量。同樣,當采用鉛芯橡膠支座或在隔震層中增加附加阻尼裝置時,隔震層的阻尼可能比橋墩的阻尼大得多。針對隔震橋梁的特點,本文從基本假定和分析模型出發(fā),探討了可能的簡化計算途徑并給出實用的近似計算方法。2等效剛度和剛度因隔震層具有比其所分離的結(jié)構(gòu)小得多的水平剛度,對于形狀和剛度質(zhì)量分布規(guī)則的隔震橋梁,可以按雙自由度系統(tǒng)進行初步分析,亦即可以將隔震層下部或上部結(jié)構(gòu)近似用一個單自由度結(jié)構(gòu)來代替,并將隔震層及其以上結(jié)構(gòu)看作是與之串聯(lián)的另一個單自由度體系。也就是說,被隔震層分離開的上部或下部結(jié)構(gòu),作為一個子結(jié)構(gòu),在進行動力分析時,可以只考慮其基本振型的影響。按照以上簡化思路,對于圖1所示的橋梁結(jié)構(gòu),可以簡化為雙自由度體系,亦即把上部結(jié)構(gòu)和橋墩都等效成單質(zhì)點結(jié)構(gòu),其中橋墩作為一個子結(jié)構(gòu)如圖2所示按基本振型U1(i)等效為單自由度系統(tǒng)。假設(shè)基本振型U1(i)(其中i代表質(zhì)點序號)和相應(yīng)的自振頻率ω1或周期T1均已求得,按照地震時兩個體系動能和基底剪力相等的條件,可以推導出子結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量如下:Μs,eg=(Ν∑i=1ΜiU1(i))2Ν∑i=1ΜiU21(i)(1)Ms,eg=(∑i=1NMiU1(i))2∑i=1NMiU21(i)(1)等效水平剛度Κs,eg=[Ν∑i=1ΜiU1(i)Ν∑i-1ΜiU21(i)]2Ν∑i=1Ν∑j=1Κs,ijU1(i)U1(j)(2)Ks,eg=????∑i=1NMiU1(i)∑i?1NMiU21(i)????2∑i=1N∑j=1NKs,ijU1(i)U1(j)(2)其中Ks,ij為子結(jié)構(gòu)剛度矩陣中第i列j行上的元素。等效基本頻率ωs,1,可根據(jù)已求得的Ms,eq和Ks,eq按以下公式計算ω2s,eq=ks,eqΜs,eq(3)ω2s,eq=ks,eqMs,eq(3)對于剪切型結(jié)構(gòu),用以上等效剛度和質(zhì)量一般已能近似代表子結(jié)構(gòu)的特性,對于高橋墩等需要考慮彎曲變形或傾復力矩的影響的結(jié)構(gòu),尚需確定等效高度Hs,eq,這一高度不難根據(jù)圖2中的結(jié)構(gòu)及其等價單質(zhì)點系統(tǒng)基底彎矩相等的條件求出。Ηs,eq=Ν∑i=1ΜihiU1(i)Ν∑i=1ΜiU21(i)(Ν∑i=1ΜiU1(i))2(4)Hs,eq=∑i=1NMihiU1(i)∑i=1NMiU21(i)(∑i=1NMiU1(i))2(4)對于不分縫且高度不太高的多跨連續(xù)橋梁(圖3),當橋面系統(tǒng)的剛度比較大,各橋墩的截面和高度差別不太大,墩頂?shù)霓D(zhuǎn)角很小時,對其縱、橫方向都可以簡化為剪切型雙質(zhì)點系[見圖4(b)]。只要橋面系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度比較大,即使各墩的剛度有較大差異,此簡化模型的誤差也是不大的。但是當橋墩很高時,橋墩轉(zhuǎn)動對隔震橡膠支座的影響是不能忽視的,此時支座與橋墩形成串連系統(tǒng)。關(guān)于此類串連系統(tǒng)的水平剛度的基本分析方法,在文獻、中已有論述。由于橋墩一般是變截面結(jié)構(gòu),情況更為復雜,還有待進一步研究。3無阻尼振型出現(xiàn)的前提性的一般解對于上面所講的規(guī)則橋梁[圖4(b)],當其受到地震地面運動加速度üg時的振動方程如下:[m100m2]{ü1ü2}+[c11c12c21c22]{˙u1˙u2}+[k11k12k21k22]{u1u2}=-[m100m2]{11}ug(5)或[Μ]{ü}+[c]{˙u}+[Κ]{u}=-[Μ]{Ι}ug(6)式中{I}為單位向量,式(5),(6)是考慮彎曲和剪切變形影響時的一般情況。對于圖4(a)中的橋梁結(jié)構(gòu),當橋墩的水平剛度遠大于隔震橡膠支座的剛度時,將∑k′b與∑kb并聯(lián)在一起進行處理,誤差一般也是不大的,這時也可看作是剪切型結(jié)構(gòu)。這樣式(7)中的[M],[C]和[K]陣可簡化為[Μ]=[m100m2][C]=[c1+c2-c1-c2c2][Κ]=[k1+k2-k2-k2k2](7)這就是本文所考慮的基本模型。這是一個線性系統(tǒng),適合于采用普通橡膠支座和高阻尼橡膠支座隔震的情況。式(6)所表示的地震反應(yīng)可以應(yīng)用常規(guī)反應(yīng)譜振型疊加方法求解,并可歸結(jié)為計算振型函數(shù),自振頻率,振型參與系數(shù)和振型阻尼比以及相應(yīng)單自由度體系的時程反應(yīng)和反應(yīng)譜。有了以上參數(shù)和函數(shù)即可按橋梁抗震設(shè)計規(guī)范計算地震反應(yīng),其過程就不必細說了。當采用鉛芯橡膠支座時,隔震層的滯回特性近似于雙線型彈塑性,通?？刹捎玫刃Ь€性化方法,通過假設(shè)和檢驗的迭代過程計算地震反應(yīng)。應(yīng)用這些方法求解地震反應(yīng),都需要首先求解自振問題。考慮式(7)所表示的剪切型結(jié)構(gòu)的基本參數(shù),并假設(shè)式(6)中的[C]=0,將{u}={U}sinωt代入式(6)后可得一個二階齊次代數(shù)方程,令其系數(shù)行列式為零,可得以下頻率方程ω4-(k1+k2m1+k2m2)ω2+k1k2m1m2=0(8)將從式(8)中解出的自振頻率代入原齊次方程的第二式,可得到相應(yīng)的振型函數(shù),例如U(1)U(2)=1-m2k2ω2(9)振型參與系數(shù)則可按以下公式計算rj={Uj}Τ[Μ]{Ι}{Uj}Τ[Μ]{Uj}=2∑i=1miUj(i)2∑i=1miU2j(i)(10)結(jié)構(gòu)j振型i質(zhì)點的水平地震作用標準值,可按現(xiàn)行設(shè)計規(guī)范中的下列公式確定:Fj(i)=rjαjUj(i)G(i)(11)式中αj系相應(yīng)于j振型自振周期的地震影響系數(shù),可按抗震設(shè)計規(guī)范確定,G(i)系i點的重力荷載,并有G(i)=gmi;對j振型的地震效應(yīng)Sj(i)也可按類似的方法確定,最大地震效應(yīng)可取各振型地震效應(yīng)的平方和的方根。當采用高阻尼橡膠支座,鉛芯橡膠支座或在隔震系統(tǒng)中引入較大的附加粘性阻尼器時,在隔震結(jié)構(gòu)的以上自由振動方程式中的阻尼矩陣一般不符合瑞利阻尼的假定,但是為了簡單起見還是可以按照Veletsos和Ventura的近似方法用無阻尼振型進行解耦,亦即忽略在無阻尼振型座標中阻尼陣的非對角線元素。在文獻中,通過對規(guī)則型隔震橋梁的復振型分析,認為這樣的近似處理方法對于工程設(shè)計來講,精度已能滿足要求。因此本文只保留在振型座標中阻尼矩陣的以下對角元素,即c*jj={Uj}T[C]{Uj}(12)有了以上振型阻尼系數(shù)c*jj,即可按下式計算振型阻尼比ζj=c*jj2m*jjωj=ζb(ω2jω2b)2η+ζs√ηk2k1(1-ω2jω2b)2ωjωb[η+(1-ω2jω2b)2(1-η)](j=1?2)(13)式中m*jj={Uj}T[M]{Uj}(14)η=m2m1+m2=μ1+μμ=m2m1ζb=c22√m2k2ζs=c12√(m1+m2)k1ω2b=k2m2從式(13)中可以看到,振型阻尼比是與系統(tǒng)的自振頻率有關(guān)的,如果將其精確值代入公式(13),給出的振型阻尼比也是精確的。以下我們將根據(jù)隔震橋梁剛度和質(zhì)量分布的特點,應(yīng)用以上基本模型和一般解推導出適合實際工程應(yīng)用的簡化計算公式。4自振頻率、振型比、阻尼比的簡化計算由式(8)可解出基頻(取負號)和第二頻率(取正號):ω2=12(k1+k2m1+k2m2)±12√(k1+k2m1+k2m2)2-4k1k2m1m2(15)設(shè)ω2b=k2/m2為隔震系統(tǒng)的近似頻率。ω2s=(k1+k2)/m1為橋墩的近似頻率。對于隔震橋梁,由于隔震支座通常設(shè)置在橋墩頂部與上部的橋面系統(tǒng)之間,因此有k1>k2,m2>m1,亦即ω2s>>ω2b和ω4s>>ω4b。如果應(yīng)用近似公式√1+δ≈1+δ/2?可將上式進一步簡化,得到基頻和第二頻率近似式(見表1)。將以上二式計算的值與精確式的值之比值的平方繪成曲線(見圖5)。其中第二振型近似值與精確值的比值為1。由式(9)得振型比為:U(2)U(1)=k2k2-m2ω2(16)將第一頻率近似式代入并整理,即得第一頻率振型比的近似式U1(2)/U1(1)=1+k1/k2(17)實際數(shù)值計算表明,在上式中引入附加項1/μ后,近似式與精確式更為接近(見圖6)。同理,將第二頻率近似式代入式(16)并經(jīng)整理簡化,即得與第二頻率對應(yīng)的振型比的近似式(見圖7)。分別設(shè)U1(1)=1或U1(2)=1,以及U2(1)=1或U2(2)=1時,將表1中振型比的近似式代入式(10)可得四種情況下的振型參與系數(shù)的近似式,其結(jié)果也列于表1中。在一定的μ和k1/k2值下,按表1中的近似公式計算的振型參與系數(shù)與相應(yīng)精確值的比較示于圖8～圖11。對振型阻尼比的簡化計算,可將式(13)中的(ωj/ωb)2用表1中基頻的近似式(ω1/ωb)2來代替,同時注意到m2>m1,k1>k2,即得第一振型阻尼比的近似式。其中ζb越小,誤差越小;ζs越大,誤差越小;μ越大,誤差越小(見圖12)。同樣,將式(13)中的(ωj/ωb)2用表1中第二頻率的近似式(ωi/ωb)2來代替,并注意到k1>>k2,m2>m1,則可得到第二振型阻尼比的簡化式。其中當ζb接近0.07時,誤差變小(見圖13)ζs越大,誤差越小,μ越大,誤差越小(見圖13)。當k1/k2→∞,μ為有限值時,ζ2→0。當μ=k1/k2→∞時,ζ2=ζb+ζs。前述自振頻率、振型比、振型參與系數(shù)和阻尼比的簡化計算公式列于表1。表中x=k1/k2。5雙自由度計算結(jié)果將文獻中隔震橋的工程實例(見圖3)為基礎(chǔ),經(jīng)過一些修改和調(diào)整以后建立一個雙自由度計算模型。設(shè)計參數(shù)列于表2。計算結(jié)果見表3。由表3可知,本文提出的簡化方法得出的計算結(jié)果與精確計算式的計算結(jié)果是非常相近的。6自振特性和在線彈性理論基礎(chǔ)的推導文中的研究表明,規(guī)則型橋梁一般可以簡化為雙自由度體系,按照結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量和阻尼系數(shù)的不同特點,還可以將雙自由度體系的自振頻率、振型振幅比、參與系數(shù)和阻尼比的計算公式作進一步的簡化處理。由于文中的推導是建立在線彈性理論的基礎(chǔ)之上的,所給出的規(guī)則型橋梁地震反應(yīng)分析方法和自振特性計算公式,原則上只適用于具有線彈性和粘彈性性質(zhì)的橡膠