2.5 命題邏輯的推理

2.5

命題邏輯的推理理論推理1：

(1)吸煙者必吸入大量尼古丁

(2)吸入大量尼古丁必引起很多疾病請(qǐng)問(wèn)結(jié)論“吸煙者必會(huì)得很多疾病”正確嗎？推理2：某人深夜在路上被傷害，經(jīng)初步查證兇手為某甲或某乙，后進(jìn)一步查實(shí)，卻有多人證明某乙當(dāng)晚值班并未外出，從而最后斷定兇手必為某甲。結(jié)論正確嗎？2.5

命題邏輯的推理理論【命題邏輯中的推理】命題邏輯中的推理是指在命題邏輯系統(tǒng)中從前提推出結(jié)論的過(guò)程。19【形式推理】定義2.20從前提A1,A2,…An出發(fā),應(yīng)用推理規(guī)則,證明B是A1,A2,…An的邏輯結(jié)論,這過(guò)程稱(chēng)為形式推理。【形式證明】定義2.21在證明B是A1,A2,…An的邏輯結(jié)論的形式推理中，形式推理的每一步都產(chǎn)生一個(gè)公式，整個(gè)推理過(guò)程產(chǎn)生一個(gè)公式序列，這個(gè)公式序列稱(chēng)為形式證明。若a

能被4整除，則a

能被2整除.已知a

能被4整除，所以a能被2整除.

p:a

能被4整除，q:a

能被2整除，前提：p

q，p

結(jié)論：q推理形式結(jié)構(gòu)：((p

q)

p)

q

驗(yàn)證該公式值是否為1，若為1則推理正確((p

q)

p)

q

?

((?p

q)

p)

q

((p

?q)

?

p

q

((p

?q)

?(p

?q)1所以推理正確((p

q)

p)

q假言推理（證明）※假言推理規(guī)則：A

B,A

B若a

能被4整除，則a

能被2整除.已知a

能被4整除，所以a能被2整除.前提：p

q，p結(jié)論：q

證明:①

p

q

前提引入

②

p

前提引入③

q

①②假言推理假言推理（應(yīng)用）※假言推理規(guī)則：A

B,A

B馬芳去看電影或去游泳.因?yàn)樗龥](méi)去看電影，所以她去游泳了p:馬芳去看電影，q:馬芳去游泳

前提：p

q，?p

結(jié)論：q

推理形式結(jié)構(gòu)：((p

q)

?p)

q

((p

q)

?p)

q

?((p

q)

?p)

q(?(p

q)

p)

q

?(p

q)(p

q)1析取三段論（證明）※析取三段論規(guī)則：A

B,?A

B馬芳去看電影或去游泳.因?yàn)樗龥](méi)去看電影，所以她去游泳了p:馬芳去看電影，q:馬芳去游泳

前提：p

q，?p

結(jié)論：q證明①

p

q

前提引入

②

?p

前提引入③

q

①②析取三段論析取三段論（應(yīng)用）※析取三段論規(guī)則：A

B,?A

B前提：p

結(jié)論：p

q推理形式結(jié)構(gòu)：p(p

q)

驗(yàn)證該公式值是否為1，若為1則推理正確

附加規(guī)則（證明）※附加規(guī)則：A

A

B例2.34證明

p能推出公式p

q

命題邏輯中常用的推理規(guī)則符號(hào)╞可以用表示

推理規(guī)則—假言三段論例1：已知有如下的常識(shí)

(1)吸煙者必吸入大量尼古丁

(2)吸入大量尼古丁必引起很多疾病請(qǐng)問(wèn)結(jié)論“吸煙者必會(huì)得很多疾病”正確嗎？解設(shè)：P:某人為吸煙者；q:某人吸入大量尼古??；r:某人有很多疾??；

前提：p→q，q→r

結(jié)論：p→r證明:①p→q

前提引入②q→r

前提引入③

p→r

①②假言三段論結(jié)論：“吸煙者必會(huì)得很多疾病”的論斷是正確的。例2：林兵是個(gè)球迷，只要有球賽他每場(chǎng)必到，可今天他老老實(shí)實(shí)在家一天，是否可推出今天無(wú)球賽。推理規(guī)則—拒取式

解設(shè)：p:有球賽；

q:林兵到球場(chǎng)觀看球賽；前提：p→q，﹁q

結(jié)論：﹁p證明:①p→q

前提引入②﹁q

前提引入③

﹁p

①②拒取式規(guī)則結(jié)論：“今天無(wú)球賽”的論斷是正確的。

例3：某人深夜在路上被傷害，經(jīng)初步查證兇手為某甲或某乙，后進(jìn)一步查實(shí)，卻有多人證明某乙當(dāng)晚值班并未外出，從而最后斷定兇手必為某甲。推理規(guī)則的應(yīng)用

解設(shè)：p:某甲是兇手；q:某乙是兇手；r:某乙當(dāng)晚外出前提：p∨q，q→r,

﹁r

結(jié)論：p證明:①q→r

前提引入②﹁r

前提引入③

﹁q

①②拒取式規(guī)則

④

p∨q

前提引入

⑤p

③④析取三段論例4：中國(guó)足球隊(duì)如技術(shù)發(fā)揮正常必可戰(zhàn)勝伊朗隊(duì),從而取得亞洲冠軍,而亞洲冠軍定能代表亞洲參加世界杯足球賽,由此可得出：中國(guó)足球隊(duì)只要技術(shù)發(fā)揮正常必能參加世界杯足球賽。推理規(guī)則——假言三段論

解設(shè)：p:中國(guó)隊(duì)技術(shù)發(fā)揮正常:

q:中國(guó)隊(duì)?wèi)?zhàn)勝伊朗隊(duì)；

r:中國(guó)隊(duì)取得亞洲冠軍;s:中國(guó)隊(duì)參加世界杯足球賽前提：p→q,q→r,

r→s

結(jié)論：p→s

證明:①p→q

前提引入②q→r

前提引入③

p→r

①②假言三段論

④

r→s

前提引入

⑤p→s

③④假言三段論例：2.35(1)常用推理方法例題2-39：如果馬會(huì)飛或魚(yú)吃草，則母雞就會(huì)是飛鳥(niǎo)；如果母雞是飛鳥(niǎo)，那么烤熟的鴨子還會(huì)跑；烤熟的鴨子不會(huì)跑。所以魚(yú)不吃草p：馬會(huì)飛q：魚(yú)吃草r：母雞是飛鳥(niǎo)s：烤熟的鴨子跑前提：(p

q)

r，r

s，?s結(jié)論：

?q①

r

s前提引入②

?s前提引入③?r①②

拒取式④

(p

q)

r前提引入⑤

?(p

q)③④拒取式⑥

?p

?q⑤置換規(guī)則⑦?q

化簡(jiǎn)規(guī)則例2-38一公安人員審查一起案件，事實(shí)如下：張三(p)或李四(q)盜竊了計(jì)算機(jī)機(jī)房的一臺(tái)電腦，若張三所為，則作案時(shí)間(r)不能發(fā)生在午夜前；若李四證詞正確(s)，則午夜時(shí)機(jī)房的燈未滅(

t)

；若李四證詞不正確(

s)

則作案時(shí)間發(fā)生在午夜前(r)

；午夜時(shí)機(jī)房的燈全滅了(t)，前提：p

q，

p

r，s

t，

s

r，t結(jié)論：

p或q常用推理方法前提：p

q，

p

r，s

t，

s

r，t結(jié)論：p或q①

s

t前提引入②

t

前提引入③?s

①②

拒取式④

s

r前提引入⑤r

③④假言推理⑥p

r

前提引入⑦?p

⑤⑥

拒取式⑧p

q前提引入⑨q⑦⑧析取三段論常用推理方法例：2-36如果小張和小王去看電影，則小李也去看電影。小趙不去看電影或小張去看電影。小王去看電影。所以，當(dāng)小趙去看電影時(shí)，小李必定也去。令p:小張去看電影；q:小王去看電影；

r:小李去看電影；

s:小趙去看電影。前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q結(jié)論：s→r證明：用附加前提法。①s②┐s∨p③p④q⑤p∧q⑥(p∧q)→r⑦rr(p∧q)→r┐s∨pqsp∧qp假言推理合取析取三段論附加前提引入前提引入①②析取三段論前提引入③④合取前提引入⑤⑥假言推理附加前提證明法析取三段論因?yàn)閞∧

r是矛盾式，題中推理得證。例：2-37

如果小張守第一壘并且小李向B隊(duì)投球，則A隊(duì)將取勝?；蛘逜隊(duì)未取勝，或者A隊(duì)成為聯(lián)賽第一名。A隊(duì)沒(méi)有成為聯(lián)賽第一名。小張守第一壘。因此，小李沒(méi)向

B隊(duì)投球。構(gòu)造下面推理的證明：解：令p:小張守第一壘；

q:小李向B隊(duì)投球；

r:A隊(duì)取勝；

s:A隊(duì)成為聯(lián)賽第一名。前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s,p結(jié)論：┐q證明：用歸謬法證明。①┐r∨s前提引入②┐

s前提引③┐r①②析取三段論④p前提引入⑤┐(┐q)結(jié)論的否定引入⑥q置換規(guī)則⑦p∧q④⑥合取規(guī)則⑧(p∧q)→r前提引入⑨r⑦⑧假言推理⑩r∧┐r

③⑨合取引入規(guī)則二難推理二難推理——簡(jiǎn)單構(gòu)成式真假話與被恨父親對(duì)他那喜歡到處游說(shuō)的兒子說(shuō)，“你不要到處游說(shuō)。如果你說(shuō)真話，那么富人恨你；如果你說(shuō)假話，那么窮人恨你。既然游說(shuō)只會(huì)招致大家恨你，你又何苦為之呢?”在這里，父親勸兒子就使用了一個(gè)二難推理，形式是：

如果你說(shuō)真話，那么富人恨你；

如果你說(shuō)假話，那么窮人恨你；

或者你說(shuō)真話，或者你說(shuō)假話；

總之，有人恨你.A→C,

B→C,A∨B

C林妹妹致疾

《紅樓夢(mèng)》第六十四回載：賈寶玉從林黛玉的丫環(huán)雪雁處得知林黛玉在私室內(nèi)用瓜果私祭時(shí)想：“大約必是七月，因?yàn)楣瞎?jié)，家家都上秋季的墳，林妹妹有感于心，所以在私室自己奠宗……”，怎么呢?賈寶玉又想：“但我此刻走去，見(jiàn)她傷感，必極力勸解，又怕她煩惱郁結(jié)于心；若不去，又恐她過(guò)于傷感，無(wú)人勸止，兩件皆足致疾……”賈寶玉的想法稍加簡(jiǎn)化，那么，就可構(gòu)成如下一個(gè)簡(jiǎn)單構(gòu)成式的二難推理：

如果我去，足以致疾；如果我不去，也足以致疾

或者我去，或者我不去，總之，皆足以致疾。

A→C,

A→C,

A∨

A

Cp：開(kāi)心?

p：不開(kāi)心r：上天s：爆炸前提：p

r

psp

p結(jié)論：rs

復(fù)雜構(gòu)造式二難推理我要做一只串天猴，開(kāi)心時(shí)，上天；不開(kāi)心時(shí)，爆炸！復(fù)雜構(gòu)造式二難推理古時(shí)候有個(gè)老婆婆，兩個(gè)女兒分別嫁給了傘鋪和洗衣鋪。這個(gè)老婆婆整天哭哭啼啼，她認(rèn)為如果天晴，那么大女兒家傘鋪的雨傘就不好賣(mài)；如果天陰，那么小女兒家洗衣房的生意就不好做；或者天晴，或者天陰；所以，或者大女兒家傘鋪的雨傘不好賣(mài)，或者小女兒家洗衣房的生意不好做。

如果天晴，大女兒家傘鋪的雨傘就不好賣(mài)；

如果天陰，小女兒家洗衣房生意就不好做；

或天晴，或天陰；總之，大女兒或小女兒的生意不好做.A→

C,

A

→

D,A∨

A

C∨

D換一種想法：如果天晴，小女兒家洗衣生意好；如果天陰，大女兒家傘鋪生意好。A→D,

A→C,A∨

A

C∨

D每件事都是有一體兩面，是喜是悲全在一念間。復(fù)雜構(gòu)造式二難推理例2.35（2）東方朔偷飲了漢武帝求得的據(jù)說(shuō)飲了能夠不死的酒，漢武帝要?dú)⑺f(shuō)：如果這酒真能使人不死，那么你就殺不死我；如果這酒不能使人不死(你能殺得死我)，那么它就沒(méi)有什么用處；這酒或者能使人不死，或者不能使人不死；所以你或者殺不死我，或者不必殺我?！边@就是一個(gè)二難推理。漢武帝認(rèn)為他說(shuō)得有理，就放了他。p：這酒