第二章熱傳導(dǎo)方程

第二章熱傳導(dǎo)方程第一節(jié)熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出和定解條件一、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出：給定一空間內(nèi)物體，設(shè)其上的點(diǎn)在時(shí)刻的溫度為。問題的數(shù)學(xué)提法：（建立直角坐標(biāo)系）問題：研究溫度的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在三維空間中，考慮一物體，假定它內(nèi)部有熱源，并且與周圍介質(zhì)有熱交換，研究物體內(nèi)部溫度的分布和變化。（例如：水壩壩體內(nèi)溫度的變化、公路地基內(nèi)溫度的變化）物理問題：分析：（兩個(gè)物理定律）

1、熱量守恒定律:2、傅里葉（Fourier）熱傳導(dǎo)定律:單位時(shí)間內(nèi)，流出單位面積區(qū)域的熱量與成正比，即溫度變化吸收的熱量通過邊界流入的熱量熱源放出的熱量為熱傳導(dǎo)系數(shù)，“-”表示熱量是從溫度高處向溫度低處流。任取物體內(nèi)一個(gè)由光滑閉曲面所圍成的區(qū)域，研究物體在該區(qū)域內(nèi)熱量變化規(guī)律。熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)：熱量守恒定律區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的溫度從時(shí)刻的溫度改變?yōu)闀r(shí)刻的溫度所吸收（或放出）的熱量，應(yīng)等于從時(shí)刻到時(shí)刻這段時(shí)間內(nèi)通過曲面流入（或流出）內(nèi)的熱量和熱源提供（或吸收）的熱量之和。即

內(nèi)溫度變化所需要的熱量=通過曲面流入內(nèi)的熱量+熱源提供的熱量下面分別計(jì)算這些熱量

（1）內(nèi)溫度變化所需要的能量那么包含點(diǎn)的體積微元的溫度從變?yōu)樗枰臒崃繛樵O(shè)物體的比熱（單位質(zhì)量的物體溫度改變所需要的熱量）為密度為

整個(gè)內(nèi)溫度變化所需要的能量

（2）通過曲面進(jìn)入內(nèi)的熱量由傅里葉熱傳導(dǎo)定律，從到這段時(shí)間內(nèi)通過進(jìn)入內(nèi)的熱量為由高斯公式知

（3）熱源提供的熱量用表示熱源強(qiáng)度，即單位時(shí)間內(nèi)從單位體積內(nèi)放出的熱量，則從到這段時(shí)間內(nèi)內(nèi)熱源所提供的熱量為由熱量守恒定律得：由及的任意性知三維無熱源熱傳導(dǎo)方程：三維有熱源的熱傳導(dǎo)方程：（均勻且各向同性物體，即都為常數(shù)的物體）其中稱為非齊次項(xiàng)（非自由項(xiàng)）。通常稱（1.5）為非齊次的熱傳導(dǎo)方程，而稱（1.6）為齊次熱傳導(dǎo)方程。二、定解條件（初始條件和邊界條件）初始條件：邊界條件：1、第一邊界條件（

Dirichlet

邊界條件）特別地：時(shí)，物體表面保持恒溫。2、第二邊界條件（Neumann

邊界條件）特別地：時(shí)，表示物體絕熱。3、第三邊界條件(D-N混合邊界條件

)其中：

表示沿邊界上的單位外法線方向的方向?qū)?shù)注：注意第三邊界條件的推導(dǎo)：研究物體與周圍介質(zhì)在物體表面上的熱交換問題把一個(gè)溫度變化規(guī)律為的物體放入空氣介質(zhì)中，已知與物體表面接觸處的空氣介質(zhì)溫度為，它與物體表面的溫度并不相同。這給出了第三邊界條件的提法。熱傳導(dǎo)試驗(yàn)定律或牛頓定律從物體流到介質(zhì)中的熱量和兩者的溫差成正比：其中比例常數(shù)稱為熱交換系數(shù)流過物體表面的流量可以從物質(zhì)內(nèi)部（傅里葉定律）和外部介質(zhì)（牛頓定律）兩個(gè)方面來確定：或即得到（1.10）：三、定解問題定義1

在區(qū)域上，由方程（1.5）、初始條件（1.7）組成的定解問題稱為初值問題或柯西問題。例如三維熱傳導(dǎo)方程的初值問題為：定義2

在區(qū)域上，由方程（1.5）和初始條件（1.7）和邊界條件（1.9）、（1.10）、（1.11）中的其中之一組成的定解問題稱為初邊值問題或混合問題。例如三維熱傳導(dǎo)方程的第一初邊值問題為：2、上述界條件形式上與波動(dòng)方程的邊界條件一樣，但表示的物理意義不一樣；3、熱傳導(dǎo)方程的初始條件只有一個(gè)，而波動(dòng)方程有兩個(gè)初始條件。1、方程（1.6）不僅僅描述熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，也可以刻畫分子、氣體的擴(kuò)散等，也稱擴(kuò)散方程(推導(dǎo)略）注4、除了三維熱傳導(dǎo)方程外，物理上，溫度的分布在同一個(gè)界面上是相同的，可得一維熱傳導(dǎo)方程：而對(duì)于薄片的熱傳導(dǎo)，可得二維熱傳導(dǎo)方程：第二節(jié)初邊值問題的分離變量法考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題不失一般性，考慮齊次邊界條件的初邊值問題和上述定解問題可分解為下面兩個(gè)混合問題：則（II）的解為:問題（I）的通解形式為：其中由下面給出：考慮齊次方程、齊次邊界條件的混合問題（I）：?jiǎn)栴}（II）的解：其中非齊次方程混合問題的解：定理2.1：則由公式(2.14)給出的級(jí)數(shù)是混合問題(2.1)-(2.4)的古典解。設(shè)齊次方程、齊次邊界條件的混合問題的解為：?

當(dāng)為有界函數(shù)時(shí)，(2.14)

式給出的形式解關(guān)于以及均是任意次連續(xù)可導(dǎo)的，且滿足方程(2.1)和邊界條件

(2.3)-

(2.4)

。分離變量法的解題步驟：1、令代入方程和邊界條件，確定所滿足的常微分方程的特征值問題以及所滿足的方程；2、解常微分方程的特征值問題，求出全部特征值和特征函數(shù)，并求出相應(yīng)的表達(dá)式；3、將所有變量分離形式的解疊加起來，利用初值定出所有待定常數(shù)；4、證明形式解是真解對(duì)級(jí)數(shù)解的收斂性進(jìn)行討論。注：1、在使用變量分離法時(shí)，邊界條件的齊次化是至關(guān)重要的，關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)；2、對(duì)于非齊次方程，我們通常采用齊次化原理將其轉(zhuǎn)化為齊次化方程來求解，但也可以直接求解。（1）、將變量分離形式代入相應(yīng)的齊次方程和其次邊界條件，得到相應(yīng)的特征值問題，并求出全部特征值和特征函數(shù)

；（2）、將，方程的非齊次項(xiàng)，以及初值都按照特征函數(shù)進(jìn)行

Fourier

展開；————————————————————————其中:（3）、解初值問題解為：非齊次方程混合問題的解：第三節(jié)初值問題—Cauchy

問題考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初值問題注意：第一章中波動(dòng)方程初值問題的求解方法：先化簡(jiǎn)方程，再用特征線法法求解，但特征線法不適用于目前的問題，下面介紹一種更一般的方法，叫傅里葉（Fourier）變換法。傅里葉變換法同樣可以用來求解弦振動(dòng)方程的初值問題。傅里葉變換是一種可逆的線性的變換，它的主要特點(diǎn)是:可以將求導(dǎo)運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，對(duì)問題（3.1）（3.2）做傅里葉變換后就變?yōu)槌Ｎ⒎址匠痰某踔祮栴}。

本節(jié)系統(tǒng)地介紹Fourier變換的定義、運(yùn)算性質(zhì)及其應(yīng)用。Fourier變換是求解熱傳導(dǎo)方程的主要求解工具。一、傅里葉（Fourier）變換的定義及其基本性質(zhì)稱之為傅里葉逆變換:記為:記號(hào):上全體絕對(duì)可積函數(shù)構(gòu)成的集合給定一函數(shù)定義變換的傅里葉變換，記為即定理3.1：（Fourier積分定理）若在上絕對(duì)可積且連續(xù)可微，則有:簡(jiǎn)記為:公式（3.5）稱為Fourier反演公式。證明略性質(zhì)1、（線性性質(zhì)）性質(zhì)2、（微商性質(zhì)）如果性質(zhì)3、（乘多項(xiàng)式性質(zhì)）證明：直接用定義即可。那么性質(zhì)4、（卷積性質(zhì)）若則定義的卷積為如果則且性質(zhì)5、（乘積性質(zhì)）如果那么證明：這等價(jià)于證明事實(shí)上1)、（位移性質(zhì)）2)、（相似性質(zhì)）3)、（對(duì)稱性質(zhì)）補(bǔ)充性質(zhì)：例3、設(shè)

例2、設(shè)

例1、設(shè)

注、高維傅里葉（Fourier）變換稱之為傅里葉逆變換:記為:給定一多元函數(shù)定義變換的傅里葉變換，記為注：高維傅里葉變換的性質(zhì)與一維相似二、熱傳導(dǎo)方程柯西問題的解考慮齊次熱傳導(dǎo)方程的初值問題解為:解：采用Fourier變換法求解注：從（3.17）可知熱傳導(dǎo)方程解有明顯的性質(zhì)：無限傳播性，即假設(shè)初值只在一小段上不為零，不妨設(shè)，則當(dāng)后，桿上任一點(diǎn)處的溫度為正。也就是說，頃刻之間，熱量就傳到桿上任一點(diǎn)。這一點(diǎn)，與波動(dòng)方程有本質(zhì)的區(qū)別。對(duì)非齊次熱傳導(dǎo)方程的齊次初始條件問題解為:這可以使用齊次化原理來獲得：由齊次化原理知（3.18）（3.19）的解可寫為其中為下述問題的解：同于初值問題（3.14）-（3.15）的Fourier變換法求解公式（3.17）可得下述初值問題的解為令則由（3.19）（3.22）可得（3.18）（3.19）的解為公式（3.23）：結(jié)論：對(duì)非齊次熱傳導(dǎo)方程的非齊次初始條件的初值問題解為:注：也可以對(duì)非齊次熱傳導(dǎo)方程的非齊次初始條件的初值問題直接使用Fourier變換法求解，留作習(xí)題。定理3.2：函數(shù)是柯西問題(3.14)-(3.15)的有界解。設(shè)且有界，則由(3.17)

式給出的知識(shí)回顧注：同樣可以使用Fourier變換法求解一維齊次弦振動(dòng)方程的初值問題：其解為:注：同樣可以使用Fourier變換法求解高維熱傳導(dǎo)方程的初值問題：其解為:例：試求下述定解問題的有界解解為:解:變量變換和Fourier變換法第四節(jié)極值原理、定解問題解的唯一性與穩(wěn)定性一、極值原理討論的是方程的解的最大值和最小值的分布位置從實(shí)際問題中看極值原理：設(shè)有一物體，內(nèi)部沒有熱源，則該物體的溫度的最大值和最小值必在初始時(shí)刻或在該物體的邊界上取到。

可以設(shè)想：一塊0℃的冰，放在0℃到10℃的空氣中，這塊冰內(nèi)部的溫度，永遠(yuǎn)不會(huì)超過10℃，也不會(huì)低于0℃。

其原因是：熱量總是從溫度高的地方流向溫度低的地方。因此，溫度高的點(diǎn)有溫度降低的趨勢(shì)，溫度低的點(diǎn)有溫度升高的趨勢(shì)（如果沒有熱量流入）。

是物體的溫度,且設(shè)為物體占據(jù)的空間區(qū)域，極值原理的數(shù)學(xué)表述：

則其中,稱為的拋物型邊界。滿足記定理4.1（（弱）極值原理）：設(shè)且則注：表示吸熱，因此不會(huì)使內(nèi)部溫度升高。

證明：因?yàn)槭怯薪玳]集，而故在上的最大值存在。下面分兩種情況來證明最大值必在拋物型邊界上取到。令情形1：此時(shí)，不能在內(nèi)取最大值。否則，存在，使得則

從而：于是：這就得出矛盾。所以但由假設(shè)：在中的最大值只能在內(nèi)取到，從而而情形2：此時(shí)，通過適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)變換，可以化為情形1,任意的，令對(duì)用情形1的結(jié)論，就有則且所以，令就得到注：上面證明中，所用的函數(shù)稱為輔助函數(shù)，這一證明方法稱為輔助函數(shù)法，它是偏微分方程理論中經(jīng)常使用的一種技巧。

另一方面，因?yàn)榭傆兴?，證畢。注：還可以進(jìn)一步證明，如果的最大值在中的某點(diǎn)取到，則在中必恒等于常數(shù)。這個(gè)結(jié)論比定理4.1要強(qiáng)，因此定理4.1稱為弱極值原理。推論4.1：設(shè)且如果則在上的最小值必在拋物邊界上取到，則在上的最大值與最小值都必在拋物邊界上取到。證明：做變換，則且由定理4.1得即即而因此，推論4.1第一部分結(jié)論成立，再結(jié)合定理4.1，就得出推論4.1的第二部分結(jié)論。所以于是證畢證明：

令推論4.2：（比較原理）所以，設(shè)且則則由定理4.1得即，證畢。注：同于推論4.2的證明，易證下述結(jié)論，即設(shè)且則讓是的拋物邊界。注1：若換為，相應(yīng)的極值原理及其推論同樣成立，即注2：一般來說，熱傳導(dǎo)方程和位勢(shì)方程都有相應(yīng)的極值原理，而波動(dòng)方程沒有極值原理?？紤]一維非齊次熱傳導(dǎo)方程定理4.1*：在上的最大值必在邊界上達(dá)到，即設(shè)在矩形上連續(xù)，并且在內(nèi)部滿足方程(4.1)。又設(shè)，則表示矩形的兩個(gè)側(cè)邊和底邊所組成的邊界曲線，稱為拋物邊界例（最大值原理的應(yīng)用）設(shè)滿足求在的最大值和最小值。解：推論4.3：（解的最大模估計(jì)）設(shè)是初值問題（4.3）的古典解，則證明：通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)與問題的解作比較，再用比較原理得出結(jié)論。如果，定理自然成立。所以我們只需考慮的情況?？紤]一維熱傳導(dǎo)方程的第一初邊值問題二、初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性首先，使用極值原理獲得解的最大模估計(jì)從而所以滿足要求，且取找,使得：則由比較原理，得且則推論4.4：初邊值問題（4.3）的在的解，連續(xù)依賴于即，若為（4.3）在中分別對(duì)應(yīng)于非齊次項(xiàng)初值和邊值和及和，則證明：令再應(yīng)用推論4.3的最大模估計(jì)即可。推論4.5

邊值問題（4.3）在的解是唯一的。證明：直接由推論4.4得出。定理4.2：初邊值問題（4.3）在區(qū)域上的古典解是唯一的，而且連續(xù)依賴于拋物邊界上所給的初始條件和邊界條件。注：若解在方程中出現(xiàn)的所有偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則稱這種解為古典解?；贤普?.3和推論4.4得：考慮一維熱傳導(dǎo)方程的混合初邊值問題定理4.3：設(shè)是初邊值問題（4.4）的古典解，則正常數(shù)，在上滿足如果在上，有那么由定理4.3可得推論4.6：初邊值問題（4.4）在區(qū)域上的古典解是唯一的，而且連續(xù)依賴于拋物邊界上所給的初始條件和邊界條件。對(duì)于混合初邊值問題定理4.3

仍然成立?？紤]一維熱傳導(dǎo)方程的初值問題三、初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性定理4.4：初值問題（4.10）在有界函數(shù)類中的古典解是唯一的，而且連續(xù)依賴于所給的初始條件。為了證明此定理，我們先建立最大模估計(jì)。記命題4.1：證明思路：因?yàn)槭菬o解區(qū)域，不好直接證明，我們先在的有界子區(qū)域中證明有關(guān)估計(jì)，再讓該子區(qū)域趨向于得出所要求的估計(jì)。設(shè)是問題(4.10)的有界解，則證明：記

另外，由題設(shè)是有界的，所以也有若或命題4.1自然成立。所以可設(shè)我們要證明：（*）記對(duì)成立：若（*）成立，則對(duì)當(dāng)時(shí)，從而由（*）得：在上式中令得：因?yàn)槭侵腥我庖稽c(diǎn)，所以因此，只要證明了（*）式，命題4.1就得證。下面我們來證明（*）式。令則顯然且由弱極值原理，得：所以，即（*）式成立。命題4.1證畢。于是，推論4.7：初值問題(4.10)

在注：初值問題(4.10)在中的解并不是唯一的！其原因是：在無窮遠(yuǎn)“邊界”上，

(4.10)對(duì)解沒有限制，即對(duì)的值沒有限制。如果要求：存在正常數(shù)與使得則可以證明，這樣的解是唯一的。中的有界解是唯一的，而且連續(xù)依賴于所給的初始條件。證明：假設(shè)(4.10)在中有兩個(gè)有界解，對(duì)這兩個(gè)解差應(yīng)用命題4.1的最大模估計(jì)，得出這兩個(gè)解的差在中恒等于零。而且由最大模估計(jì)易得解連續(xù)依賴于所給的初始條件。第五節(jié)解的漸近性態(tài)考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題一、初邊值問題解的漸近性態(tài)定理5.1：則，問題(5.1)的唯一古典解指數(shù)衰減趨于零，設(shè)初始函數(shù)證明：由極值原理和分離變量法知，（5.1）的唯一古典解為其中由下面給出：由（5.2）可知，對(duì)一切，有由的定義知當(dāng)時(shí)，，故有另一方面，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切成立時(shí)，對(duì)于于是當(dāng)有即考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初值問題二、Cauchy

問題解的漸近性態(tài)定理5.2：柯西問題(5.7)的唯一古典解具有如下性質(zhì)，設(shè)初始函數(shù)是有界連續(xù)函數(shù)且則證明：當(dāng)是有界函數(shù)時(shí)，由Fourier變換法初值問題（5.7）的唯一經(jīng)典解為于是注：對(duì)于二維和三維熱傳導(dǎo)方程的柯西問題，同理可證它們的解具有和的衰減速率。一般地，n維空間熱傳導(dǎo)方程的柯西問題的解具有衰減速率。第四節(jié)極值原理、定解問題解考慮一維非齊次熱傳導(dǎo)方程