第23講圓的綜合證明型問題專題復(fù)習(xí)

第23講圓的綜合證明問題專題復(fù)習(xí)【知識(shí)點(diǎn)睛】第一問?？伎键c(diǎn)——切線切線的判定：常用方法→有切點(diǎn)，連半徑，證垂直！無切點(diǎn)，作垂直，證半徑！☆特別地：題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來的，故有“想證⊥，先找⊥”切線的性質(zhì)：常用方法→見切點(diǎn)，連半徑，得垂直！因切線所得結(jié)論必為⊥，故常以直角三角形來展開后續(xù)問題考題常見結(jié)合考點(diǎn)知2得1：三角形相似：Rt△勾股定理：圓中求長(zhǎng)度，垂徑＋勾股！三角函數(shù)：相似三角形與三角函數(shù)不分家，所以應(yīng)用方法類似；特殊之處是：給三角函數(shù)，必“找”Rt△特殊角：常見特殊角有→15°、30°、45°、60°、75°、105°、120°、135°、150°、正切值=?/?/?等的角度?！钐貏e地：題目中沒給角度（90°、180°除外），又要求角度時(shí)，答案一般為特殊角！另：弧長(zhǎng)與扇形面積：不規(guī)則圖形面積想割補(bǔ)法常用公式：常用輔助線①連半徑——有關(guān)切線時(shí)，連接的是過切點(diǎn)的半徑②作弦心距——構(gòu)造Rt△，進(jìn)而用知2得3——或做兩條弦心距，構(gòu)造矩形或正方形③連接弦——使直徑所對(duì)的圓周角=90°，進(jìn)而在Rt△中展開問題【類題講練】1．如圖，△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于H，BD⊥AC于D，AH，BD相交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心、OD為半徑的⊙O交BC于點(diǎn)E、F，已知AD＝6，BD＝8．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）求⊙O的半徑；（3）求弦EF的長(zhǎng)．【分析】（1）過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，利用角平分線的性質(zhì)得到OM＝OD即可；（2）利用勾股定理求得AC＝AB＝10，從而得到CD＝4，再由勾股定理求得，則，再由勾股定理得到，由△AOD∽△ABH得到，即可求解；（3）連接OE，求得OH，利用勾股定理得到EH，即可求解．【解答】（1）證明：如圖，過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，∵AH⊥BC，AB＝AC，∴AH平分∠BAC，∵OM⊥AB，OD⊥AC，∴半徑OM＝OD，∴AB是⊙O的切線．（2）解：由勾股定理可得，，AC＝10，則CD＝4，由勾股定理可得：，由題意可得：AH為中線，∴，由勾股定理可得：，由（1）可得∠BAH＝∠OAD，∵∠ADB＝∠AHB＝90°，∴△AOD∽△ABH，∴，即，解得：OD＝3，即半徑為3．（3）解：連接OE，由題意可得：OE＝3，OH⊥EF，∴EH＝HF，在Rt△AOD中，由勾股定理可得：，∴，在Rt△OEH中，由勾股定理可得：，∴EF＝2EH＝4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓的綜合應(yīng)用，掌握?qǐng)A的切線的判定，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知等腰△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)D．（1）求證：AD＝ED；（2）若AC＝6．①設(shè)CE＝x，⊙O的半徑為r，求r關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．②當(dāng)x＝r時(shí)，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）連接BD，根據(jù)圓周角定理得∠ADB＝90°，再根據(jù)等腰三角形三線合一得∠ABD＝∠CBD，則＝，即可證明結(jié)論；（2）①證明△BAC∽△DCE，得，代入化簡(jiǎn)即可；②當(dāng)x＝r時(shí)，則x＝r＝3，連接OD，OE，則△AOD、△DOE是等邊三角形，得∠AOD＝∠DOE＝60°，利用陰影部分的面積為S扇形OBE﹣S△OBE．【解答】（1）證明：如圖，連接BD，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝BC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝DE；（2）解：①∵AB＝BC，∠ADB＝90°，∴AD＝CD＝3，∵AD＝DE，∴CD＝DE＝3，∴∠C＝∠CED＝∠BAC，∴△BAC∽△DCE，∴，∴，∴r＝；②當(dāng)x＝r時(shí)，則x＝r＝3，連接OD，OE，則△AOD、△DOE是等邊三角形，∴∠AOD＝∠DOE＝60°，∴∠BOE＝60°，∴△BOE是等邊三角形，∴陰影部分的面積為S扇形OBE﹣S△OBE＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，扇形的面積計(jì)算等知識(shí)，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出r與x的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AC上，以AD為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)E，點(diǎn)F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于點(diǎn)G，連接DF．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）求證：△DEF∽△GDF；（3）若cos∠CAE＝，DF＝6，直接寫出線段OG的長(zhǎng)．【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAE＝∠OEA，進(jìn)而得出AB∥OE，再由∠B＝90°，得出∠OEC＝90°，即可證明BC是⊙O的切線；（2）由角平分線性質(zhì)及圓周角定理得出∠FED＝∠ADF，結(jié)合∠GFD＝∠DFE，即可證明△GFD∽△DFE；（3）連接OF、AF，由AD為直徑及EF平分∠AED得出△AFD為等腰直角三角形，由DF＝10，得出AD、OA、OF的長(zhǎng)度，由cos∠CAE＝，得出AE的長(zhǎng)，由△AGE∽△FGD，得出AG與GF的關(guān)系，進(jìn)而得出OG＝GF﹣10，在Rt△FOG中，利用GF2＝OF2+OG2，得出GF2＝102+（GF﹣10）2，解方程即可求出線段GF的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出OG的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAO，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠OEA，∴∠BAE＝∠OEA，∴AB∥OE，∴∠OEC＝∠B，∵∠B＝90°，∴∠OEC＝90°，∵OE為半徑，∴BC是⊙O的切線；（2）證明：∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠FED，∵∠AEF＝∠ADF，∴∠FED＝∠ADF，∵∠GFD＝∠DFE，∴△GFD∽△DFE；（3）解：如圖3，連接OF、AF，∵AD為直徑，∴∠AFD＝∠AED＝90°，∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠FED＝45°，∴∠AFD＝∠AEF＝45°，∴△AFD為等腰直角三角形，∵DF＝6，OA＝OD，∴AD＝DF＝×6＝12，OF⊥AD，OA＝OD＝OF＝6，∵cos∠CAE＝，∴AE＝AD?cos∠CAE＝12×＝6，∵∠AEF＝∠ADF，∠AGE＝∠FGD，∴△AGE∽△FGD，∴＝＝，∴AG＝GF，∵AG＝AO+OG＝6+OG，∴6+OG＝GF，∴OG＝GF﹣6，在Rt△FOG中，GF2＝OF2+OG2，∴GF2＝62+（GF﹣6）2，解得：GF＝6（）或6（）（不符合題意，舍去），∴OG＝GF﹣6＝12﹣6，∴線段OG的長(zhǎng)為12﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：OD⊥DE．（2）若∠E＝60°，⊙O的半徑為5，求AB的長(zhǎng)．（3）在（2）的條件下，連結(jié)CD，記∠ADC＝α，∠CDE＝β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得∠BAC＝90°，從而得出∠BOD＝90°，再利用平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）利用特殊角的三角函數(shù)可得答案；（3）利用三角形內(nèi)角和定理可得答案．【解答】（1）證明：∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，∵DE∥BC，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE；（2）解：∵BC∥DE，∴∠ACB＝∠E＝60°，∵BC＝10，∴AB＝sin60°×10＝5；（3）解：由（2）知，∠DAE＝45°，∠E＝60°，∴∠ADE＝75°，∴α+β＝75°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，平行線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．直角三角板ABC的斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)在⊙O上，已知∠BAC＝30°，直角邊AC與⊙O相交于點(diǎn)D，且點(diǎn)D是劣弧AB的中點(diǎn)．（1）如圖1，判斷直角邊BC所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，點(diǎn)P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），DP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q，連接QA、QB．在下列三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，求出PQ的長(zhǎng)度；①AD＝6，②AB＝6，③PD＝4，你選擇的是①③．并寫出求解過程．（3）若AD＝6，當(dāng)點(diǎn)P在斜邊AB上從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．【分析】（1）作直徑BE，連接AE，可計(jì)算出∠E＝60°，從而得出∠ABE＝90°﹣∠E＝30°，從而∠BAC＝∠ABE，于是AC∥BE，從而得出∠CBE＝90°，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）可證明得出ADP∽△QDA，從而，進(jìn)而求得DQ的長(zhǎng)，進(jìn)一步得出PQ的值（3）接OA，OB，OD，可得出∠AOB＝120°，∠AOD＝60°，進(jìn)而得出△AOD是等邊三角形，從而得出圓O的半徑，進(jìn)一步得出結(jié)果．【解答】解：如圖1，BC所在的直線與⊙O相切，理由如下：作直徑BE，連接AE，∴∠BAE＝90°，∴∠E+∠ABE＝90°，∵∠BAC＝30°∴的度數(shù)為：60°，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴的度數(shù)為：120°，∴∠E＝60°，∴∠ABE＝90°﹣∠E＝30°，∴∠BAC＝∠ABE，∴AC∥BE，∵∠C＝90°，∴∠CBE＝90°，∴EB⊥CB，∵點(diǎn)B在⊙O上，∴CB所在的直線與⊙O相切；（2）若選擇①③，∵＝，∴∠DAP＝∠AQD，∵∠ADP＝∠ADQ，∴△ADP∽△QDA，∴，∴，∴DQ＝9，∴PQ＝DQ﹣PD＝9﹣4＝5，若選擇②③，連接BD，則△ABD是等腰三角形，則AD＝＝＝6，同樣得出PQ＝5；（3）如圖2，連接OA，OB，OD，由上可知：和的度數(shù)為：60°，∴∠AOD＝∠BOD＝60°，∠AOB＝120°，∵OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴OA＝AD＝6，∴l(xiāng)＝＝4π，∴圓的周長(zhǎng)等于2π?6＝12π，∴12π﹣4π＝8π，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為：8π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定條件，圓周角定理的推論，相似三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作MN⊥AC，垂足為M，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BG⊥MN，垂足為G，連接CN．（1）求證：直線MN是⊙O的切線；（2）求證：BD2＝AC?BG；（3）若BN＝OB，求tan∠ANC的值．【分析】（1）由AB是直徑得AD⊥BC，又AB＝AC得∠BAD＝∠CAD，由OA＝OD得∠ODA＝∠BAD，進(jìn)而可推出∠ODM＝90°；（2）由條件推出BD＝CD，CM＝BG，由△CDM∽△CAD，進(jìn)一步可得結(jié)論；（3）由條件推得∠BOD＝60°，進(jìn)而∠ABC＝60°，可得△ABC是等邊三角形，從而CO⊥AB，進(jìn)一步可求得結(jié)果．【解答】（1）證明：如圖1，連接AD，OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ACD＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠OAD＝∠CAD，∵NM⊥AC，∴∠AMN＝90°，∴∠DAC+∠ADM＝90°，∴∠ODA+∠ADM＝90°，即∠ODM＝90°，∴OD⊥MN，OD是半徑，∴直線MN是⊙O的切線；（2）證明：由（1）知，∠ADC＝90°，BD＝CD，∴∠ADC＝∠DMC＝90°，∵∠ACD＝∠DCM，∴△CMD∽△CDA，∴＝，∴CD2＝AC?CM，∴BD2＝AC?CM，在△BGD和△MCD中，，∴△BGD≌△CDM（AAS），∴BG＝CM，∴BD2＝AC?BG；（3）解：如圖2，連接OD，OC，由（1）∠ODN＝90°，∵OD＝OB＝BN，∴cos∠DON＝＝，∴∠DON＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，OC＝AC?cos60°＝，∴tan∠ANC＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了與圓有關(guān)位置和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，解直角三角形，圖形相似和全等等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)D形的性質(zhì)及圖形的特殊性．7．如圖，在⊙C中，ED為直徑，點(diǎn)A為直徑ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)B為⊙C上一點(diǎn)，連接AB，且AB為⊙C切線，連接BD，BE．（1）如圖1，當(dāng)AB＝8，ED＝12時(shí)，求AE的長(zhǎng)；（2）如圖2，若tan∠BAE＝，作∠BAE的平分線AF，且與BE交于點(diǎn)F；若AF＝2，求⊙C的半徑．【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得∠ABD＝∠E，由此可得△ABD∽△AEB，所以AB：AE＝AD：AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AE的長(zhǎng)；（2）連接BC，利用tan∠BAE＝＝，設(shè)AB＝4x，則BC＝3x，則AC＝5x，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，由于DH∥BC，利用平行線分線段成比例定理得到比例式，求得DH，AH，BH，則tan∠ABD可求，利用∠ABD＝∠E，tanE可得；過點(diǎn)F作FM⊥CE于M，利用角平分線的性質(zhì)定理可得FE＝BE；利用勾股定理分別在Rt△BDE和Rt△FME中用x表示出線段BD，BE，F(xiàn)M，EM．最后在Rt△AFM中利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程求得x的值，⊙C的半徑可求．【解答】解：（1）∵AB為⊙C切線，∴∠ABD＝∠E，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△AEB，∴AB：AE＝AD：AB，∵AB＝8，DE＝12，∴8：（AD+12）＝AD：8，解得AD＝4（負(fù)值舍去），∴AE＝AD+DE＝16．（2）如圖，連接BC，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，則BC⊥AB，∴DH∥BC．∴tan∠BAE＝＝，設(shè)AB＝4x，則BC＝3x，則AC＝5x，∵CD＝CB＝3x，∴AD＝AC﹣CD＝2x．∵DH∥BC，∴＝＝．∴＝＝．∴DH＝x，AH＝x.∴BH＝AB﹣AH＝x，在Rt△BHD中，tan∠HBD＝＝＝．∵∠ABD＝∠E，∴tanE＝tan∠HBD＝．如圖，過點(diǎn)F作FM⊥CE于M，∵tanE＝，∴＝．∴AE＝AC+CE＝8x．∵AF是∠BAC的平分線，∴＝＝＝．∴FE＝BE．在Rt△BDE中，tanE＝＝，則BE＝2BD．∵BD2+BE2＝DE2，∴BD2+（2BD）2＝（6x）2．∴BD＝x，∴BE＝2BD＝x．∴FE＝x．在Rt△BDE中，tanE＝＝，則ME＝2MF．∵FM2+ME2＝FE2，∴FM2+（2MF）2＝（x）2．∴FM＝x．∴ME＝2FM＝x，∴AM＝AE﹣ME＝（8﹣）x＝x．在Rt△AFM中，∵AM2+FM2＝AF2，∴（x）2+（x）2＝42．解得：x＝±（負(fù)數(shù)不合題意，舍去）．∴x＝．∴⊙C的半徑CE＝3x＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道圓的綜合題，主要考查了圓的切線的判定，圓周角定理及其推論，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用，一元二次方程的解法．連接經(jīng)過切點(diǎn)的半徑和構(gòu)造恰當(dāng)?shù)闹苯侨切问墙忸}的關(guān)鍵．8．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝4，BC＝10，sinC＝，以AB為直徑作⊙O，把⊙O沿水平方向平移x個(gè)單位，得到⊙O′，A'B'為直徑AB平移后的對(duì)應(yīng)線段．（1）當(dāng)x＝0，且M為⊙O上一點(diǎn)時(shí)，求DM的最大值；（2）當(dāng)B′與C重合時(shí)，設(shè)⊙O′與CD相交于點(diǎn)N，求點(diǎn)N到AB的距離；（3）當(dāng)⊙O′與CD相切時(shí)，直接寫出x的值2或12．【分析】（1）當(dāng)x＝0，連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)M，則此時(shí)DM的值最大，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，易證四邊形ABED是矩形，可得AB＝DE，AD＝BE＝4，解Rt△DEC求出DE＝8，CD＝10，可得⊙O的半徑為4，利用勾股定理求出OD，即可得到DM的最大值；（2）當(dāng)B'與C重合時(shí)，⊙O'與CD相交于點(diǎn)N，則⊙O向右平移了10個(gè)單位長(zhǎng)度，連接OO'，則OO'＝10，連接A'N，過點(diǎn)N作NF⊥A'B'于點(diǎn)F，如圖，解Rt△A'B'N，求出A'N，B'N，然后根據(jù)等積法求出NF即可解決問題；（3）當(dāng)⊙O'與CD相切，在CD的左邊時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P，如圖，則A'B'ED是矩形，A'D、CD、B'C都是⊙O'的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得A'D＝PD，B'C＝PC，求出A'D＝4﹣x，B'C＝10﹣x，根據(jù)CD＝PD+PC＝A'D+B'C列方程求出x即可；當(dāng)⊙O'與CD相切，在CD的右邊時(shí)，同理求解即可．【解答】解：（1）如圖，當(dāng)x＝0，連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)M，則此時(shí)DM的值最大，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，∵∠A＝∠B＝∠DEB＝90°，∴四邊形ABED是矩形，∴AB＝DE，AD＝BE＝4，∴EC＝BC﹣BE＝10﹣4＝6，∵在Rt△DEC中，sinC＝，∴設(shè)DE＝4k，CD＝5k（k＞0），由勾股定理得：EC2+DE2＝CD2，即62+（4k）2＝（5k）2，整理得：k2＝4，∵k＞0，∴k＝2，∴DE＝4k＝8，CD＝5k＝10，∴AB＝DE＝8，∴OA＝OB＝4，∴OD＝＝4，∴DM＝，即DM的最大值為；（2）當(dāng)B'與C重合時(shí)，⊙O'與CD相交于點(diǎn)N，則⊙O向右平移了10個(gè)單位長(zhǎng)度，連接OO'，則OO'＝10，連接A'N，過點(diǎn)N作NF⊥A'B'于點(diǎn)F，如圖，則∠A'NB'＝90°，在Rt△CDE中，，，∵A′B′∥AB∥DE，∴∠A'B'N＝∠CDE，在Rt△A'B'N中，A'B'＝AB＝8，∵，，∴，，∵，∴，∴點(diǎn)N到AB的距離為；（3）當(dāng)⊙O'與CD相切，在CD左邊時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P，如圖則四邊形A'B'ED是矩形，A'D、CD、B'C都是⊙O'的切線，∴A'D＝PD，B'C＝PC，∵AA'＝BB'＝x，∴A'D＝4﹣x，B′C＝10﹣x，∵CD＝PD+PC＝A'D+B'C，∴10＝4﹣x+10﹣x，解得：x＝2；當(dāng)⊙O'與CD相切，在CD的右邊時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為Q，則四邊形ABB'A'是矩形，A'D、CD、B'C都是⊙O'的切線，∴A'D＝QD，B'C＝QC，∵AA'＝BB'＝x，∴A'D＝x﹣4，B'C＝x﹣10，∵CD＝QD+QC＝A'D+B'C，∴10＝x﹣4+x﹣10，∴x＝12；綜上所述：當(dāng)⊙O′與CD相切時(shí)，x＝2或12；故答案為：2或12．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的判定，解直角三角形，勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，平移的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理等知識(shí)，熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角，從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等是解題的關(guān)鍵．9．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為對(duì)角線，AC＝AD，直徑AE交CD于點(diǎn)F，連接DE．（1）如圖1，求證：AE⊥CD；（2）如圖2，連接BD交AC于點(diǎn)G，∠AGD+∠ADC＝180°，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)G作GH⊥CD于H，過點(diǎn)A作AM∥BD交⊙O于點(diǎn)M，若BG＝GH，AE＝10，求線段AM的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)等弦對(duì)等弧可得弧AC＝弧AD，進(jìn)而得出∠ADC＝∠AED，由AE為⊙O的直徑，得出∠ADE＝90°，根據(jù)∠ADC+∠CDE＝∠AED+∠CDE＝90°，得出∠AFD＝∠AED+∠CDE＝90°，即可得證；（2）證明△ABC≌△AGD（SSS），進(jìn)而得出BC＝CD，即可得證；（3）連接BO、OD連接CO交BD于L，延長(zhǎng)CO交AM于K，證明Rt△GLC≌Rt△CHG，得出CH＝GL，設(shè)GH＝CL＝a，CH＝GL＝b，在Rt△CLD中，CD2＝CN2+DN2得出a＝3b，進(jìn)而得出cos∠LCD＝，由垂徑定理，得出∠AKO＝∠OFC＝90°，AK＝MK＝AM，則∠LCD＝∠OAK，cos∠OAK＝，根據(jù)AO＝AE＝5，即可求解．【解答】（1）證明：在⊙O中，∵AC＝AD，∴弧AC＝弧AD，∴∠ADC＝∠AED，∵AE為⊙O的直徑，∴∠ADE＝90°，∴∠AFD＝∠AED+∠CDE＝90°，∴∠ADC+∠CDE＝∠AED+∠CDE＝90°，∴∠AFD＝∠AED+∠CDE＝90°，∴AE⊥CD；（2）證明：∵四邊形ABCD是⊙O內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠AGD＝180°，∴∠AGD＝∠ABC，∵∠AGD+∠AGB＝180°，∴∠AGB＝∠ADC，∵AD＝AC，則弧AD＝弧AC，∴∠ABD＝∠ADC＝∠AGB＝∠DGC＝∠ACD，∴AG＝AB，DG＝CD，∵AC＝AD，∴△ABC≌△AGD（SSS），∴BC＝DG＝CD，∴．（3）解：連接BO、OD連接CO交BD于L，延長(zhǎng)CO交AM于K，∵，∴OC⊥BD，∵DG＝CD，S△GCD＝GD×CL＝CD×GH，∵BG＝GH，∴GH＝CL＝BG，在Rt△GLC和Rt△CHG中，，∴Rt△GLC≌Rt△CHG（HL），∴CH＝GL，設(shè)GH＝CL＝a，CH＝GL＝b，∵BG＝GH，∴BL＝GB+GL＝LD＝a+b，∵BN＝DN，∴GD＝a+b+b＝a+2b＝CD，在Rt△CLD中，CD2＝CN2+DN2，∴（a+2b）2＝a2+（a+b）2，即（a﹣3b）（a+b）＝0，∴a＝3b，即CL＝3GL，∴GD＝GL+LD＝b+a+b＝a+2b＝5b．在Rt△CLD中，CL＝a＝3b，CD＝GD＝5b，∴cos∠LCD＝，∵AM∥BD，∴OK⊥AM，∴∠AKO＝∠OFC＝90°，AK＝MK＝AM，∴∠LCD＝∠OAK，∴cos∠OAK＝，∵AE＝10，∴AO＝AE＝5，∴AK＝AO﹣cos∠OAK＝3，∴AM＝2AK＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，三角形全等的判定與性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，⊙O是四邊形的外接圓，直徑為10，過點(diǎn)D作DP⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，AD平分∠PAC．（1）如圖1，若AC是⊙O的直徑，求證：PD與⊙O的相切；（2）若AC是⊙O的直徑，＝，求∠PDC的度數(shù)．（3）如圖2，若BC＝CD，求AB+AD的最大值．【分析】（1）連接OD，由DP⊥AB得∠PAD+∠PDA＝90°，根據(jù)AD平分∠PAC，即得∠DAC+∠PDA＝90°，而∠DAC＝∠ODA，即可得∠ODP＝90°，故PD與⊙O相切；（2）連接OD，先判斷出OD∥AB，得出∠AOD＝45°，進(jìn)而求出∠ODC＝°，即可求出答案；（3）連接AD，BD，在AC上截取AH＝AD，先判斷出△BDC是等邊三角形，得出DB＝DC，進(jìn)而判斷出△ADH是等邊三角形，得出∠ADH＝60°，AD＝DH，進(jìn)而判斷出△ADB≌△HDC（SAS），得出AB＝CH，即可求出答案．【解答】（1）證明：連接OD，如圖1：∵DP⊥AB，∴∠DPA＝90°，∴∠PAD+∠PDA＝90°，∵AD平分∠PAC，∴∠PAD＝∠DAC，∴∠DAC+∠PDA＝90°，∵OA＝OD，∴∠DAC＝∠ODA，∴∠ODA+∠PDA＝90°，即∠ODP＝90°，∴OD⊥PD，∵OD為⊙O的半徑，∴PD與⊙O相切；（2）解：連接OD，如圖1：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∵，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，由（1）知，PD⊥OD，∵PD⊥AB，∴OD∥AB，∴∠AOD＝∠BAC＝45°，∴∠ACD＝∠AOD＝°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACD＝°，∵∠ODP＝90°，∴∠PDC＝∠ODP+∠ODC＝°；（3）解：連接AD，BD，在AC上截取AH＝AD，如圖2：∵BC＝CD，∴＝，∴∠CAD＝∠BAC，∵AD平分∠PAC，∴∠CAD＝∠BAC＝∠DAP＝60°，∴∠DBC＝∠BDC＝60°，∴△BDC是等邊三角形，∴DB＝DC，∵∠DAC＝60°，AH＝AD，∴△ADH是等邊三角形，∴∠ADH＝60°，AD＝DH，∴∠ADH＝∠BDC＝60°，∴∠ADB＝∠HDC，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴AB＝CH，∴AB+AD＝CH+AH＝AC，∴當(dāng)AC為直徑，即AC＝10時(shí)，AB+AD取最大值是10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線判定、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形判定及性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，作出輔助線構(gòu)造出等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠CAB，交BC于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若求，tan∠D的值；（3）在（2）的條件下，連接點(diǎn)C及AB與⊙O的切點(diǎn)交AD于點(diǎn)G，⊙O的半徑為3，求點(diǎn)C與該切點(diǎn)間的距離．【分析】（1）作OH⊥AB于H，利用角平分線的性質(zhì)可得OC＝OH，即可證明結(jié)論；（2）利用兩個(gè)角相等證明△EAC∽△CAD，得，可得答案；（3）設(shè)CE＝x，則CD＝2x，ED＝x，可得x的值，再說明AO是CH的垂直平分線，利用等積法求出CG的長(zhǎng)即可．【解答】（1）證明：作OH⊥AB于H，∵AO平分∠CAB，∴OC＝OH，∴AB是⊙O的切線；（2）解：連接CE，∵ED是直徑，∴∠ECD＝90°，∴∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠D，∵∠EAC＝∠CAE，∴△EAC∽△CAD，∴，∴tanD＝；（3）在Rt△DCE中，設(shè)CE＝x，則CD＝2x，ED＝x，∴x＝6，∴x＝，在Rt△ACO和Rt△AHO中，∵OC＝OH，OA＝OA，∴Rt△ACO≌Rt△AHO（HL），∴AC＝AH，∴AG垂直平分CH，∵，∴CG＝＝＝，∴CH＝2CG＝，∴點(diǎn)C與該切點(diǎn)間的距離為．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，利用等積法求出CG的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．12．3如圖，平行四邊形ABCD中，AC⊥BC于C，AB＝10，，經(jīng)過點(diǎn)C作圓O和AB邊切于E點(diǎn)（E點(diǎn)可與點(diǎn)A、B重合），分別交BC邊，AC邊于點(diǎn)F，G．（1）BC的長(zhǎng)為8；（2）若點(diǎn)O在邊BC上，求的長(zhǎng)；（3）嘉琪說：“若點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，則點(diǎn)D一定在圓O上”．你覺得嘉琪的判斷對(duì)嗎？請(qǐng)說明理由；（4）設(shè)圓O的半徑為r，直接寫出r的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義以及勾股定理即可求解（2）若點(diǎn)O在邊BC上，AC切⊙O于點(diǎn)C，連接OE，根據(jù)同角的三角函數(shù)求出OE，即可求解；（3）比較OD與半徑的大小即可；（4）當(dāng)CE為⊙O的直徑時(shí)，半徑r最小，此時(shí)，Rt△ABC斜邊上的高CE為⊙O的直徑，根據(jù)三角形的面積可得CE，即可求出半徑r的最小值，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，半徑r最大，連接OB，過O作ON⊥BC于N，根據(jù)等角的三角函數(shù)求出OB，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵AC⊥BC于C，AB＝10，∴sinB＝＝，∴AC＝6，在Rt△ABC中，∵BC2+AC2＝AB2，∴BC＝＝8．故答案為：8．（2）如圖2，當(dāng)圓O在BC上時(shí)，∵∠ACB＝90°，∴AC切圓O于C點(diǎn)，連接OE．∵圓O和AB邊切于點(diǎn)E，∴∠OEB＝90°，∴AE＝AC＝6，∴BE＝AB﹣AE＝4，∵tanB＝＝，∴OE＝3，由于圓O在BC上，∴∠FOC＝180°，∴弧CF的長(zhǎng)為＝3π．（3）不對(duì)，理由如下：如圖3，作OE⊥AD于E，連接OA、OD，作OF⊥AC于F，∴AF＝FC＝＝3，∵AB切圓O于A點(diǎn)，∴∠OAB＝90°，∴∠OAC+∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠OAC＝∠B，∵∠FAE＝∠AFO＝∠AEO＝90°，∴四邊形AFOE是矩形，∴OE＝AF＝3，OE∥AF，∴∠AOE＝∠OAC＝∠B，∴AE＝OE?tan∠AOE＝3×＝，OA＝＝3＝，∴DE＝AD﹣AE＝8﹣＝，在Rt△DOE中，∵OD＞DE，∴OD＞，∴OD＞OA，∴D在圓O的外部．（4）如圖4，當(dāng)CE為圓O直徑時(shí)，圓O半徑最小，S△ABC＝AC?BC＝AB?CE，∴CE＝，∴半徑r最小為：．如圖5，當(dāng)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，圓O半徑最大，如圖，連OB、OC，過O作OH⊥BC于H，可證∠ABC＝∠BOH，∴tan∠ABC＝＝tan∠BOH＝，由BH＝BC＝4，可得OH＝，∴OB＝＝，即半徑為．綜上所述，半徑r的取值范圍為：≤r≤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用，掌握平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，O為AB上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，D的⊙O分別交AB，AC于點(diǎn)E、F，連接OF交AD于點(diǎn)G．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）求證：AD2＝AB?AF；（3）若BE＝8，tanB＝，求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）先判斷出OD∥AC，得出∠ODB＝90°，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出∠AEF＝∠B，再判斷出∠AEF＝∠ADF，進(jìn)而得出∠B＝∠ADF，進(jìn)而判斷出△ABD∽△ADF，即可得出結(jié)論；（3）連接EF，在直角三角形BOD中，根據(jù)勾股定理可得BO的長(zhǎng)度用BD和OD表示，進(jìn)而得sinB＝＝，設(shè)圓的半徑為r，由sinB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出r的值，由直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到EF與BC平行得到sin∠AEF＝sin∠B，進(jìn)而求出AF的長(zhǎng)，再根據(jù)（2）的結(jié)論可求出AD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖1，連接OD，則OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∵點(diǎn)D在⊙O上，∴BC是⊙O的切線；（2）證明：如圖2，連接OD，DF，EF，∵AE是⊙O的直徑，∴∠AFE＝90°＝∠C，∴EF∥BC，∴∠B＝∠AEF，∵∠AEF＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，由（1）知，∠BAD＝∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴＝，∴AD2＝AB?AF；（3）解：如圖3，連接EF，在Rt△BOD中，tanB＝＝，∵OD2+BD2＝OB2，設(shè)OD為5x，則BD為12x，由勾股定理得BO＝＝13x，∴sinB＝＝，設(shè)半徑為r，則＝，解得r＝，∴AE＝15，AB＝AE+BE＝23，∵AE為直徑，∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∴sin∠AEF＝＝，∴AF＝AE×＝15×＝，∵AD2＝AB?AF，∴AD＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用，掌握切線的判定，圓周角的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．14．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度數(shù)；（2）求證：DF是⊙O的切線；（3）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．【分析】（1）直接利用圓周角定理得出∠CDE的度數(shù)；（2）直接利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，進(jìn)而得出答案；（3）利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理表示出AD，DC的長(zhǎng)，再利用圓周角定理得出tan∠ABD的值．【解答】（1）解：∵對(duì)角線AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°；（2）證明：∵∠EDC＝90°，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切線；（3）解：如圖所示：可得∠ABD＝∠ACD，∵∠E+∠DCE＝90°，∠DCA+∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴＝，∴DC2＝AD?DE∵AC＝2DE，∴設(shè)DE＝x，則AC＝2x，則A