專題2.1 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（壓軸題專項(xiàng)講練）（北師大版）（原卷版）

專題2.1一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【典例1】已知關(guān)于x的二次方程x2（1）a為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不同的正根；（2）a為何值時(shí)，方程只有一個(gè)正根．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等正根，則根的判別式Δ=(-a)2-4(a2-4)>0，x?+x?＞0，（2）根據(jù)一元二次方程只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，分為三種情況，一是有且只有一個(gè)正根，二是有兩個(gè)根其中一個(gè)是正根，另一個(gè)根式負(fù)根或0，結(jié)合判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系列不等式，求出a的值即可．【解題過程】解：（1）根據(jù)題意得，方程x2∴Δ=-a2且x?+x?=a＞0②，x?·x?=a2-4＞0③，解由①②③組成的不等式組得，2＜a＜43故當(dāng)2＜a＜43（2）Ⅰ當(dāng)方程x2∴Δ=-a2且x?+x?=a＞0②，x?·x?=a2-4＞0③，解①得：a=433或a=﹣當(dāng)a=433時(shí)，滿足②、而a=﹣433不滿足故當(dāng)a=43Ⅱ當(dāng)方程x2則Δ=-a2且x?·x?=a2-4＜0②解①得：-4解②得：-2＜a＜2，即-2<a<2Ⅲ當(dāng)方程x2-ax+a則Δ=-a2且x?·x?=a2-4=0②x?+x?=a＞0③解①得：-4解②得：a=±2，由③a＞0即a=2綜上所述：-2<a≤21．（2022·四川宜賓·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范圍是（）A．﹣27＜a＜25 B．a(chǎn)＞25 C．a(chǎn)＜﹣27 D．﹣22．（2023春·安徽安慶·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若方程x2+2px-3p-2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2滿足A．0 B．-34 C．-1 D3．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，給出三個(gè)結(jié)論：①這兩個(gè)方程的根都負(fù)根；②(m-1)2A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)4．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程x2-(n+2)x-2n2=0的兩個(gè)根為5．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的方程x2-(m-2)x-m24=0兩個(gè)實(shí)根x16．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+2bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根x1，x2，且a＞b＞c，a+b+c＝0，設(shè)d=x1-x27．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根，甲由于看錯(cuò)了二次項(xiàng)系數(shù)，求得兩個(gè)根為3和6，乙由于看錯(cuò)了某一項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，求得兩個(gè)根為3+21和8．（2022春·四川內(nèi)江·九年級(jí)專題練習(xí)）將兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程整理成ax+h2+k＝0（a≠0，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個(gè)方程為“同源二次方程”．已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）與方程x+12-2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)根為x19．（2022秋·廣東江門·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另外一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于“倍根方程”①方程x2-x-2=0是“倍根方程②若(x-2)(mx+n)=0是“倍根方程”，則4m③若p,q滿足pq=2，則關(guān)于x的方程px2+3x+q=0是“④若方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”10．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使1x1-1x11．（2022·浙江·九年級(jí)自主招生）已知方程x2+4x+1=0的兩根是α、（1）求|α-β|的值；（2）求αβ（3）求作一個(gè)新的一元二次方程，使其兩根分別等于α、β的倒數(shù)的立方．（參考公式：x312．（2022春·四川南充·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：關(guān)于x的方程(k-1)x（1）求k的取值范圍．（2）若x1，x2是方程(k-1)x2-2kx+k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，問：是否存在實(shí)數(shù)k13．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于x的一元二次方程x2（1）求證：這個(gè)方程的一根大于2，一根小于2；（2）若對(duì)于a=1，2，3，…，2019，2020時(shí)，相應(yīng)得到的一元二次方程的兩根分別為α1和β1,α214．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一元二次方程x2+2ax+6-a=0的根x1（1）兩個(gè)根同為正根；（2）兩個(gè)根均大于1；（3）x115．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)杭州外國(guó)語學(xué)校?？计谀┰O(shè)m是不小于﹣1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）若x12+（2）令T＝mx11-x116．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)石獅市石光中學(xué)校考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+（1）求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若m<0，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2（其中x1<x（3）若m為正整數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程mx2+3m+1x+3=0m≠0的兩個(gè)根都是整數(shù)，a與a+bb≠0分別是關(guān)于x17．（2022秋·福建·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的方程mx（1）若方程的兩根之和為整數(shù)，求m的值；（2）若方程的根為有理根，求整數(shù)m的值．18．（2022秋·四川資陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，則稱這個(gè)方程為請(qǐng)閱讀以上材料，回答下列問題：（1）判斷一元二次方程x2+9x+14=0是否為“限根方程（2）若關(guān)于x的一元二次方程2x2+k+7x+k2+3=0是“限根方程（3）若關(guān)于x的一元二次方程x2+1-mx-m=0是“限根方程19．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)福建省泉州第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知方程①：2(x-k)=x-4為關(guān)于x的方程，且方程①的解為非正數(shù)；方程②：(k-1)x（1）求k的取值范圍；（2）如果方程②的解為負(fù)整數(shù)，k-m=2，2k-（3）當(dāng)方程②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x1+x20．（2022春·湖南邵陽·