第03講 平面向量基本定理及坐標表示（人教A版2019必修第二冊）（原卷版）

第03講平面向量基本定理及坐標表示【人教A版2019】·模塊一平面向量基本定理·模塊二平面向量的坐標表示·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一平面向量基本定理1．平面向量基本定理(1)平面向量基本定理如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，，使.若，不共線，我們把{，}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.(2)定理的實質(zhì)由平面向量基本定理知，可將任一向量在給出基底{，}的條件下進行分解——平面內(nèi)的任一向量都可以用平面內(nèi)任意不共線的兩個向量線性表示，這就是平面向量基本定理的實質(zhì).【考點1用基底表示向量】【例1.1】（2023上·北京·高三校考階段練習）如圖，在△ABC中，D是BC的中點．若BA=a,DA=

A．3a-2b B．12a+【例1.2】（2023上·重慶·高三重慶八中校考階段練習）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，2AE=ED，則BEA．-56ABC．-56AB【變式1.1】（2023上·山西朔州·高三?？奸_學考試）如圖，在△ABC中，設AB=a，AC=b，BD=2DC，

A．115a-C．-23a【變式1.2】（2023·全國·高三專題練習）如圖為正六邊形ABCDEF，其中點O為正六邊形ABCDEF的中心，設AB=a，AF=b，若BM=MC，

A．56a+C．-35a【考點2利用平面向量基本定理求參數(shù)】【例2.1】（2023上·山東·高三校聯(lián)考開學考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，O為對角線的交點，E為AD的中點，F(xiàn)為CO的中點，若EF=xOC+yOD，則

A．1 B．2 C．53 D．【例2.2】（2023上·北京順義·高三牛欄山一中校考期中）在△ABC中，AD=32DC，P是直線BD上的一點，若AP=tA．-13 B．13 C．-【變式2.1】（2023上·遼寧大連·高三大連八中?？计谥校┰谌切蜛BC中，點D是AB邊上的四等分點且AD=3DB，AC邊上存在點E滿足EA=λCEλ>0，直線CD和直線BE交于點F，若FC=μDF

A．2 B．3 C．4 D．5【變式2.2】（2023上·河北滄州·高三校聯(lián)考期中）如圖，△BCD與△ABC的面積之比為2，點P是區(qū)域ABCD內(nèi)任意一點（含邊界），且AP=λAB+μACλ,μ∈R

A．0,1 B．0,2 C．0,3 D．0,4【考點3平面向量基本定理的應用】【例3.1】（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知平行四邊形ABCD，若點M是邊BC的三等分點（靠近點B處），點N是邊AB的中點，直線BD與MN相交于點H，則BHBD=（A．23 B．25 C．15【例3.2】（2022·高一課時練習）已知a、b為不共線的向量，AB=a+5b，BC=-2A．A，B，C三點共線C．A，B，D三點共線【變式3.1】（2023下·浙江·高一校聯(lián)考階段練習）如圖所示，△ABC中，點D是線段BC的中點，E是線段AD上的動點，則BE=xBA+yBC，則

A．1 B．3 C．5 D．8【變式3.2】（2023下·江蘇南京·高一校聯(lián)考階段練習）在△ABC中，點P是AB上一點，點Q滿足CQ=2QB，AQ與CP的交點為甲：CP=12丙：S△AMP:S如果只有一個是假命題，則該命題為（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁模塊二模塊二平面向量的坐標表示1．平面向量的正交分解及坐標表示(1)正交分解不共線的兩個向量相互垂直是一種重要的情形，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.(2)向量的坐標表示如圖，在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為，，取{，}作為基底.對于平面內(nèi)的任意一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得=x+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)①.其中x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標，①叫做向量的坐標表示.

顯然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).(3)點的坐標與向量的坐標的關系區(qū)別表示形

式不同向量=(x,y)中間用等號連接，而點A(x,y)中間沒有等號.意義

不同點A(x,y)的坐標(x,y)表示點A在平面直角坐標系中的位置，=(x,y)的坐標(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應指明點(x,y)或向量(x,y).聯(lián)系向量的坐標與其終點的坐標不一定相同.當平面向量的起點在原點時，平面向量的坐標與向量終點的坐標相同.2．平面向量線性運算的坐標表示(1)兩個向量和（差）的坐標表示由于向量=(,)，=(,)等價于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).

這就是說，兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差).(2)向量數(shù)乘的坐標表示由=(x,y)，可得=x+y，則=(x+y)=x+y，即=(x,y).

這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.

3．平面向量數(shù)量積的坐標表示(1)平面向量數(shù)量積的坐標表示由于向量=(,)，=(,)等價于=+，=+，所以=(+)(+)=+++.又=1，=1，==0，所以=+.

這就是說，兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.(2)平面向量長度（模）的坐標表示若=(x,y)，則或.

其含義是：向量的長度(模)等于向量的橫、縱坐標平方和的算術平方根.

如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為(,)，(,)，那么=(-,-)，||=.

4．平面向量位置關系的坐標表示(1)共線的坐標表示①兩向量共線的坐標表示設=(,)，=(,)，其中≠0.我們知道，，共線的充要條件是存在實數(shù)，使=.如果用坐標表示，可寫為(,)=(,)，即，消去，得-=0.這就是說，向量，(≠0)共線的充要條件是-=0.②三點共線的坐標表示若A(,)，B(,)，C(,)三點共線，則有=，

???????從而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，

或由=得到(-)(-)=(-)(-)，

或由=得到(-)(-)=(-)(-).

由此可知，當這些條件中有一個成立時，A,B,C三點共線.

(2)夾角的坐標表示設，都是非零向量，=(,)，=(,)，是與的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標表示可得==.(3)垂直的坐標表示設=(,)，=(,)，則+=0.

即兩個向量垂直的充要條件是它們相應坐標乘積的和為0.【考點1平面向量線性運算的坐標表示】【例1.1】（2022下·云南·高一統(tǒng)考期末）已知向量a=1,1，b=2,0，則A．3,0 B．3,1 C．5,0 D．5,1【例1.2】（2023·全國·高三專題練習）已知向量a=(5,2),b=(-4,-3)A．(-23,-12) B．(23,12)C．(7,0) D．(-7,0)【變式1.1】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）在正六邊形ABCDEF中，直線ED上的點M滿足AM=AC+mAD，則A．1 B．12 C．13 D【變式1.2】（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知向量a,b滿足2a-b→=0,3，a→-2b→A．-1 B．0 C．1 D．25【考點2平面向量數(shù)量積的坐標表示】【例2.1】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知向量a=-1,3,bA．32 B．12 C．-1【例2.2】（2023·全國·模擬預測）已知平面向量a，b滿足a=(1,2)，|b-2a|=5且A．4 B．5 C．5 D．2【變式2.1】（2023·全國·模擬預測）已知平面向量a=1,1，b=1,-1，若實數(shù)m，n滿足mn=-1，則a+mA．5π6 B．π2 C．π【變式2.2】（2023上·江蘇南京·高三校聯(lián)考期中）在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°．P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=1，則PA?PB的取值范圍是（

A．[-5,3] B．[-4,6]C．[-23,4] D【考點3向量共線、垂直的坐標表示】【例3.1】（2023下·江蘇連云港·高一?？茧A段練習）已知向量a=(2,-3)，b=(1,5)，c=(x,4)(1)求x的值；(2)若b⊥(λa+b【例3.2】（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習）已知向量b與向量a=2,-1,2共線，且a?(1)求向量b的坐標；(2)求實數(shù)k的值.【變式3.1】（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知a,b為平面向量，且(1)若b=2,1，且ka-b(2)若a//b，且b=35【變式3.2】（2023下·江蘇南通·高一?？茧A段練習）已知向量a=(3,2)，b(1)當2a-b(2)當c=(-8,-1)，a//(b+c)，求向量【考點4向量坐標運算與平面幾何的交匯】【例4.1】（2023下·云南曲靖·高一?？茧A段練習）已知點O0,0，A2,1，B4,3(1)若點P在第一象限，求t的取值范圍；(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應的t值；若不能，請說明理由.【例4.2】（2023下·四川成都·高一成都七中?？计谥校┮阎狾0,0，向量OA=2,1(1)如圖，若四邊形OACB為平行四邊形，求點C的坐標；(2)若點P為線段AB的靠近點B的三等分點，求點P的坐標.【變式4.1】（2023下·安徽宿州·高一統(tǒng)考期中）平面內(nèi)給定三個向量a=2,2,(1)求實數(shù)k關于n的表達式；(2)如圖，在△ABC中，G為中線AM的中點，過點G的直線與邊AB,AC分別交于點P,Q（P,Q不與A重合）.設向量AP=k+3AB,【變式4.2】（2023·全國·高一課堂例題）如圖，已知點O為平面直角坐標系的原點，點A的坐標為(12,8)，點B的坐標為(-4,12)，作BD⊥OA，垂足為點D．

(1)求OA，OB，AB；(2)求cos∠AOB(3)將OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到OA'(4)求BD；(5)求S△OAB模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）若AB=3,4，A點的坐標為-2,-1，則B點的坐標為（A．1,3 B．1,-3 C．-5,-5 D．5,52．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一?？计谥校┰Oe1,eA．e2和e1+e2C．2e1-4e2和-3．（2023上·西藏林芝·高三?？茧A段練習）已知向量a=3,2，b=0,-1，則A．6,0 B．-6,0 C．-6,-8 D．6,84．（2023上·河北保定·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，AE和BD相交于點F．記AB=a，AD=

A．CF=-23C．CF=-135．（2023下·河北石家莊·高一校考期中）已知平行四邊形ABCD中，DE=12DC，若AC=λA．32 B．-32 C．26．（2023上·北京順義·高三校考期中）已知平面向量a=(-1,2)，b=(3,-2)，c=(t,t)，若(a+A．52 B．-45 C．-7．（2023上·山東日照·高三?？茧A段練習）如圖，OM//AB，點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且OP=xOA+yOB，則實數(shù)對

A．13,-34 B．-138．（2023·全國·模擬預測）已知向量a=(x,1)，b=(2,y)，c=(x,y).若(a+b)⊥(A．2 B．3 C．5 D．69．（2023上·寧夏銀川·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量a=1,2，b=2,-2，c=1,m，若A．22 B．32 C．9210．（2023上·湖南邵陽·高三校考階段練習）如圖，在△ABC中，點D在線段AB上，且AD=13AB，E是CD的中點，延長AE交BC于點H，點P為直線AH上一動點（不含點A），且AP=λAB+μAC（λ,μ∈R）,若A．12 B．23 C．3411．（2023上·河南焦作·高三校考階段練習）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC和BD交于點M，E在BC上，且BE:EC=1:2，直線DE與AB的延長線交于點F，記AB=a，

(1)試用a，b表示MA、MB；(2)試用a，b表示DF．12．（2023下·新疆喀什·高一?？计谀┮阎猘=2,3，b=(1)2a(2)a?(3)a+