新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章復(fù)數(shù)7.1復(fù)數(shù)的概念7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義教師用書(shū)新人教A版必修第二冊(cè)

7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)任務(wù)1．把握用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．把握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念．(數(shù)學(xué)抽象)3．把握用向量的模來(lái)表示復(fù)數(shù)的模的方法．(規(guī)律推理)我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，因此實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，復(fù)數(shù)作為數(shù)系的擴(kuò)充，能不能進(jìn)行幾何表示呢？讓我們來(lái)一起探究吧！學(xué)問(wèn)點(diǎn)1復(fù)數(shù)的幾何意義1．復(fù)平面(1)復(fù)平面：建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．(2)實(shí)軸：坐標(biāo)系中的x軸叫做實(shí)軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)．(3)虛軸：坐標(biāo)系中的y軸叫做虛軸，除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．1．實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，這句話對(duì)嗎？[提示]不正確．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0，0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z＝0＋0i＝0，表示的是實(shí)數(shù)．2．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)：復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)；(2)復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)：復(fù)數(shù)z＝a＋bi平面對(duì)量OZ．學(xué)問(wèn)點(diǎn)2復(fù)數(shù)的模1．定義：向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模或確定值．2．記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|．3．公式：|z|＝|a＋bi|＝a2學(xué)問(wèn)點(diǎn)3共軛復(fù)數(shù)1．定義：一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．2．表示：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即假如z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi．2．共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有什么關(guān)系？[提示]它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)原點(diǎn)是實(shí)軸和虛軸的交點(diǎn)． ()(2)若OZ＝(0，－3)，則OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3i． ()(3)復(fù)數(shù)z＝－1－2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限． ()[答案](1)√(2)√(3)×2．已知復(fù)數(shù)z＝1＋2i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝________．5[∵z＝1＋2i，∴|z|＝12+23．復(fù)數(shù)z＝－3－2i的共軛復(fù)數(shù)z＝________．[答案]－3＋2i類型1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的關(guān)系【例1】求實(shí)數(shù)a分別取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝a2-a-6a+3＋(a2－2a－15)i((1)在復(fù)平面的其次象限內(nèi)；(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方．[解](1)點(diǎn)Z在復(fù)平面的其次象限內(nèi)，則a解得a＜－3．(2)點(diǎn)Z在x軸上方，則a解得a＞5或a＜－3．即當(dāng)a＞5或a＜－3時(shí)，點(diǎn)Z在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方．[母題探究]1．本例中題設(shè)條件不變，求復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)在x軸上時(shí)，實(shí)數(shù)a的值．[解]點(diǎn)Z在x軸上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5．故a＝5時(shí)，點(diǎn)Z在x軸上．2．本例中條件不變，假如點(diǎn)Z在直線x＋y＋7＝0上，求實(shí)數(shù)a的值．[解]由于點(diǎn)Z在直線x＋y＋7＝0上，所以a2-a-6a+3＋a2－2a即a3＋2a2－15a－30＝0，所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±15．所以a＝－2或a＝±15時(shí)，點(diǎn)Z在直線x＋y＋7＝0上．利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)解題的步驟(1)首先確定復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，從而確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)．(2)依據(jù)已知條件，確定實(shí)部與虛部滿足的關(guān)系．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)已知a∈R，則復(fù)數(shù)(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第________象限．(2)已知復(fù)數(shù)x2－6x＋5＋(x－2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)_______．(1)四(2)(1，2)[(1)由于a2＋a＋1＝a+122＋34>0，－(a2－2a＋3)＝－(a－故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．(2)由于復(fù)數(shù)x2－6x＋5＋(x－2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以x2-6x+5<0，所以所求實(shí)數(shù)x的取值范圍是(1，2)．]類型2復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對(duì)應(yīng)【例2】在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋4i，－3i，2，O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求向量OA+OB和(2)求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．[解](1)由已知得OA，OB，OC所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋4i，－3i，2，則OA＝(1，4)，OB＝(0，－3)，OC＝因此OA+OB＝(1，1)，AC＝OC-OA＝故OA+OB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋AC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1－4i．(2)法一：由已知得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(1，4)，(0，－3)，(2，0)，則AC的中點(diǎn)為32，2，由平行四邊形的性質(zhì)知BD若設(shè)D(x0，y0)，則有0+x0故D(3，7)．即頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋7i．法二：由已知得OA＝(1，4)，OB＝(0，－3)，OC＝(2，0)，所以BA＝(1，7)，BC＝(2，3)，由平行四邊形的性質(zhì)得BD＝BA+BC＝(3，所以O(shè)D＝OB+BD＝(3，7)，于是D(3，即頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋7i．解決復(fù)數(shù)與平面對(duì)量一一對(duì)應(yīng)的問(wèn)題時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為工具，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．在復(fù)平面內(nèi)，分別用點(diǎn)和向量表示下列復(fù)數(shù)：4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．[解]如圖(1)，點(diǎn)A，B，C，D，E分別表示復(fù)數(shù)4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．如圖(2)，向量OA，OB，OC，OD，OE分別表示復(fù)數(shù)4，2＋i，－i類型3復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用【例3】已知復(fù)數(shù)z1＝3－i，z2＝－12＋3(1)求|z1|，|z2(2)設(shè)z∈C，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則滿足|z2|≤|z|≤|z1|的點(diǎn)Z組成的集合是什么圖形？并作圖表示．[解](1)|z1|＝|3＋i|＝32+|z2|＝-12所以|z1|＞|z(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2．不等式1≤|z|≤2等價(jià)于不等式組z由于滿足|z|≤2的點(diǎn)Z組成的集合是圓心在原點(diǎn)、半徑為2的圓及其內(nèi)部(包括邊界)，而滿足|z|≥1的點(diǎn)Z組成的集合是圓心在原點(diǎn)、半徑為1的圓的外部(包括邊界)，所以滿足條件的點(diǎn)Z組成的集合是一個(gè)圓環(huán)(包括邊界)，如圖中陰影部分所示．1．復(fù)數(shù)的模的計(jì)算計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí)，應(yīng)先確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，再利用模長(zhǎng)公式計(jì)算．雖然兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大?。?．復(fù)數(shù)模的幾何意義(1)|z|表示點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離，可依據(jù)|z|滿足的條件推斷點(diǎn)Z的集合表示的圖形；(2)利用復(fù)數(shù)模的定義，把模的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題解決．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)(2022·廣西桂林期末)滿足1≤z≤3的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為()A．π B．2πC．8π D．9π(2)若復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，則z的共軛復(fù)數(shù)z＝________．(1)C(2)－15－8i[(1)滿足1≤z≤3的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形為以原點(diǎn)為圓心，半徑分別為1和3構(gòu)成的圓環(huán)，所以面積為π×32－π×12＝8π．故選C．(2)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝a2+b2，代入方程得a＋bi＋a2∴a+解得a=∴z＝－15＋8i,z的共軛復(fù)數(shù)z＝－15－8i．]1．復(fù)數(shù)z＝3－5i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(3，－5) B．(3，5)C．(3，－5i) D．(3，5i)A[復(fù)數(shù)z＝3－5i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，－5)．]2．已知z＝m－1＋(m＋2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－1，2) B．(－2，1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)B[∵z＝m－1＋(m＋2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限，∴m－1<0，m＋2>0，解得－2<m<1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2，1)．]3．在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，向量OA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1－2i，若點(diǎn)A關(guān)于虛軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，則向量OB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．－2－i B．2＋iC．1－2i D．－1＋2iC[由題意可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，－2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，－2)，故向量OB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1－2i．]4．向量a＝(3，4)，設(shè)向量a對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則z的共軛復(fù)數(shù)z＝________，|z|＝________．[答案]3－4i5回顧本節(jié)學(xué)問(wèn)，自主完成以下問(wèn)題：1．復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、復(fù)平面內(nèi)的向量有什么關(guān)系？[提示]復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)、與復(fù)平面上以原點(diǎn)為始點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．即：2．設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|等于多少？其幾何意義是什么？[提示]|z|＝x2+y2，其表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)3．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)z如何表示？[提示]z＝a－bi(a，b∈R)．課時(shí)分層作業(yè)(十七)復(fù)數(shù)的幾何意義一、選擇題1．若OZ＝(0，－3)，則OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)()A．等于0B．等于－3C．在虛軸上D．既不在實(shí)軸上，也不在虛軸上C[向量OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3i，在虛軸上．]2．若復(fù)數(shù)z＝－2＋i，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限C[復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z＝－2－i，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－2，－1)，位于第三象限．]3．設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x＋yi|＝()A．1 B．2C．3 D．2B[由于x，y∈R，(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y(tǒng)＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝12+124．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2－2|z|－3＝0，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合表示的圖形是()A．一個(gè)圓 B．線段C．兩點(diǎn) D．兩個(gè)圓A[∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，∴復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以3為半徑的一個(gè)圓．]5．(多選)(2022·山東威海一中月考)已知m，n∈R，復(fù)數(shù)z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2為純虛數(shù)，復(fù)數(shù)z1的共軛復(fù)數(shù)為z1，則(A．m＝－4B．z2＝C．z1＝－4－D．復(fù)數(shù)z1的虛部為－AC[由題可知z2＝m＋3i＋4－2i＝4+m＋i，對(duì)于A：由于z2為純虛數(shù)，所以m＝－4，故A正確；對(duì)于B：z2＝1，故B對(duì)于C：z1＝－4－3i，故C對(duì)于D：復(fù)數(shù)z1的虛部為－3，故D故選AC．]二、填空題6．若復(fù)數(shù)z1＝2＋bi與復(fù)數(shù)z2＝a－4i(a，b∈R)互為共軛復(fù)數(shù)，則a＝__________，b＝________．24[由于z1與z2互為共軛復(fù)數(shù)，所以a＝2，b＝4．]7．復(fù)數(shù)z＝x－2＋(3－x)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．(3，＋∞)[∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，∴x-2>0，8．設(shè)z為純虛數(shù)，且|z－1|＝|－1＋i|，則復(fù)數(shù)z＝________．±i[由于z為純虛數(shù)，所以設(shè)z＝ai(a∈R，且a≠0)，則|z－1|＝|ai－1|＝a2又由于|－1＋i|＝2，所以a2+1＝2，即a2＝所以a＝±1，即z＝±i．]三、解答題9．(源自北師大版教材)在復(fù)平面內(nèi)作出表示下列復(fù)數(shù)的點(diǎn)，并分別求出它們的模和共軛復(fù)數(shù)：(1)z1＝3－2i；(2)z2＝－1＋3i．[解]在復(fù)平面作圖如圖．(1)|z1|＝|3－2i|＝32+-22＝13(2)|z2|＝|－1＋3i|＝-12+32＝2，z10．當(dāng)23<m<1時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限D(zhuǎn)[由于23<m<1，所以3m－2>0，m－1<0，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．11．在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3－3i對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π3，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(A．23 B．－23iC．3－3i D．3＋3iB[復(fù)數(shù)3－3i對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)為(3，－3)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π3后得到新向量的坐標(biāo)為(0，－23)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2312．(多選)(2022·湖北宜昌市一中月考)已知復(fù)數(shù)z0＝1＋2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P0，復(fù)數(shù)z滿足z-1=zA．P0點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，B．復(fù)數(shù)z0的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)P0關(guān)于虛軸對(duì)稱C．復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在一條直線上D．滿足z-z0＝5的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)zACD[A．由于復(fù)數(shù)z0＝1＋2i，由復(fù)數(shù)的幾何意義知，P0點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，B．復(fù)數(shù)z0的共軛復(fù)數(shù)是z0＝1－2i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)P0C．設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，由于z-1=z-i，所以x-D．由于點(diǎn)P0到直線y＝x距離的最小值為d＝1-22＝22，所以滿足z-z0＝13．已知0<a<3，復(fù)數(shù)z＝a＋i(i是虛數(shù)單位)，則|z|的取值范圍是________．(1，10)[由于0<a<3，復(fù)數(shù)z＝a＋i(i是虛數(shù)單位)，所以|z|＝a2+1∈(1，10)14．已知復(fù)數(shù)z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝3sinθ＋icosθ，求當(dāng)θ滿足什么條件時(shí)：(1)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；(2)|z2|＜2．[解](1)在復(fù)平面內(nèi)，z1與z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則cosθ=3sinθsin2θ=所以θ＝2kπ＋76π(k∈Z)(2)由|z2|＜2，得3sinθ2即3sin2θ＋cos2θ＜2，所以sin2θ