影響線-靜定梁的影響線（建筑力學）

影響線一、靜力法作單跨靜定梁的影響線靜力法就是以單位移動荷載F=1的作用位置x為自變量，利用靜力平衡條件求出某量值與x的函數(shù)關系式（即影響線方程），再據(jù)此作出影響線的方法。(一)簡支梁的影響線１．反力影響線如圖15-2（a）所示簡支梁，作支座反力ＦAy、ＦBy的影響線。選取A點為坐標原點，以梁軸線為x軸，設F=1作用位置為x,顯然x∈［0，l］。設支座反力向上為正，由梁整體的平衡條件∑MＢ＝0得FＡy＝（l－x）/l（a）∑MＡ＝0得FＢy＝x/l（b）

靜定梁的影響線影響線式（a）、式(b)分別為反力FＡy、FBy的影響線方程。由方程可繪出FＡy、FBy的影響線，如圖15-2（d）、（e）所示。作影響線時，通常規(guī)定正值畫在基線的上方，負值畫在基線的下方，并標出正負號。

2．彎矩影響線作簡支梁截面K的彎矩影響線，彎矩規(guī)定以下側纖維受拉為正。由于單位移動荷載F=1在K截面左邊和右邊時，ＭＫ的表達式不同，故應分別考慮，分段列出影響線方程。當F=1在AK段移動時，取K截面右邊為隔離體，如圖15-2（b）所示。由∑MＫ＝0，得ＭＫ＝ＦBy·b＝（x/l）·b(0≤x≤a)(c)當F=1在KB段移動時，取K截面左邊即AK段為隔離體，可得ＭＫ＝ＦＡy·a＝[(l－x)/l]·a(a≤x≤l)（d）式(c)、式(d)是ＭＫ影響線方程，作ＭＫ影響線如圖15-2（f）所示。由圖可見，ＭＫ影響線由左、右兩段直線組成，并形成一個三角形。當Ｆ=1移動到Ｋ截面時，彎矩ＭＫ為極大值ab/l。3．剪力影響線作簡支梁截面Ｋ的剪力影響線，剪力正負號規(guī)定同前面。和彎矩影響線一樣，需分段列出剪力影響線方程。當Ｆ=1在AK段移動時，取KB段為隔離體，如圖15-2(b)所示。由∑Fy＝0，得ＱＫ＝－ＦＢy＝－x/l(0≤x＜a)（e）當Ｆ=1在KB段移動時，取AK段為隔離體，如圖15-2（c）所示。由∑Ｆy＝0，得ＱＫ＝ＦAy＝(l－x)/l(a＜x≤l)（f）由ＱＫ影響線方程（e）和（f）可知，ＱＫ影響線由左、右兩段互相平行的直線段組成，繪出影響線如圖15-2（g）所示。影響線在K點處有突變，表明F＝1由K截面的左側移動到右側時，ＱＫ發(fā)生了突變，突變值等于1。而當F=1正好作用于K點時，ＱＫ的值是不確定的。

綜合以上的分析，靜力法作影響線步驟可歸納如下：（1）選取坐標系，以坐標x表示單位移動荷載F=1的作用位置。（2）由平衡條件求出反力或內力的表達式，即為影響線方程。（3）根據(jù)影響線方程畫出影響線，并標上正負號。為了更好地掌握影響線的概念，現(xiàn)把簡支梁的彎矩影響線與恒載作用下彎矩圖的區(qū)別對比如下：簡支梁的彎矩影響線——承受的荷載為單位移動荷載，橫坐標x表示單位移動荷載的作用位置，縱坐標y表示單位移動荷載作用在該點時指定截面彎矩的大?。粡澗貓D——承受的荷載為作用位置固定不變的實際荷載，橫坐標x表示梁各截面位置，縱坐標y表示對應截面彎矩的大小。（二）外伸梁影響線1．反力影響線要作如圖15-3（a）所示外伸梁支座反力的影響線，仍選A為坐標原點，由平衡條件∑ＭＢ＝0和∑ＭＡ＝0得兩支座反力ＦＡy、ＦＢy的影響線方程為ＦＡy＝(l－x)/lＦＢy＝x/l可見方程與相應簡支梁的反力影響線方程完全相同，反力影響線如圖15-3（b）、(c)所示。很明顯，簡支梁的反力影響線向外伸部分延長，即得到外伸梁的反力影響線。2．跨間各截面內力影響線如圖15-3（a）所示，K截面在AB段內，現(xiàn)討論ＭＫ、ＱＫ的影響線。按簡支梁求彎矩和剪力影響線方程同樣的方法可求出{ＭＫ＝b/l·x(-l１＜x≤a)ＭＫ＝[(l－x)/l]·a(a≤x＜l+l2){QＫ＝－x/l(-l１＜x＜a)ＱＫ＝(l－x)/l(a＜x＜l＋l2)外伸梁影響線方程與簡支梁的方程形式完全相同，影響線如圖15-3(d)、(e)所示。與圖15-2比較發(fā)現(xiàn)，簡支梁的彎矩和剪力影響線向外伸部分延長即得外伸梁的影響線。

3．外伸部分內力影響線現(xiàn)作外伸部分CA段上E截面的ＭＥ、ＱＥ影響線。以E截面為坐標原點，F(xiàn)=1作用點到E的距離為x，如圖15-4（a）所示。當F=1在CE段上時，有ＭＥ＝－xＱＥ＝－1當F=1在ED段上時，有ＭＥ＝０ＱＥ＝０由此可作出ＭＥ、ＱＥ的影響線如圖15-4（b）、(c)所示。

影響線一、靜力法作單跨靜定梁的影響線靜力法就是以單位移動荷載F=1的作用位置x為自變量，利用靜力平衡條件求出某量值與x的函數(shù)關系式（即影響線方程），再據(jù)此作出影響線的方法。(一)簡支梁的影響線１．反力影響線如圖15-2（a）所示簡支梁，作支座反力ＦAy、ＦBy的影響線。選取A點為坐標原點，以梁軸線為x軸，設F=1作用位置為x,顯然x∈［0，l］。設支座反力向上為正，由梁整體的平衡條件∑MＢ＝0得FＡy＝（l－x）/l（a）∑MＡ＝0得FＢy＝x/l（b）

靜定梁的影響線影響線式（a）、式(b)分別為反力FＡy、FBy的影響線方程。由方程可繪出FＡy、FBy的影響線，如圖15-2（d）、（e）所示。作影響線時，通常規(guī)定正值畫在基線的上方，負值畫在基線的下方，并標出正負號。

2．彎矩影響線作簡支梁截面K的彎矩影響線，彎矩規(guī)定以下側纖維受拉為正。由于單位移動荷載F=1在K截面左邊和右邊時，ＭＫ的表達式不同，故應分別考慮，分段列出影響線方程。當F=1在AK段移動時，取K截面右邊為隔離體，如圖15-2（b）所示。由∑MＫ＝0，得ＭＫ＝ＦBy·b＝（x/l）·b(0≤x≤a)(c)當F=1在KB段移動時，取K截面左邊即AK段為隔離體，可得ＭＫ＝ＦＡy·a＝[(l－x)/l]·a(a≤x≤l)（d）式(c)、式(d)是ＭＫ影響線方程，作ＭＫ影響線如圖15-2（f）所示。由圖可見，ＭＫ影響線由左、右兩段直線組成，并形成一個三角形。當Ｆ=1移動到Ｋ截面時，彎矩ＭＫ為極大值ab/l。3．剪力影響線作簡支梁截面Ｋ的剪力影響線，剪力正負號規(guī)定同前面。和彎矩影響線一樣，需分段列出剪力影響線方程。當Ｆ=1在AK段移動時，取KB段為隔離體，如圖15-2(b)所示。由∑Fy＝0，得ＱＫ＝－ＦＢy＝－x/l(0≤x＜a)（e）當Ｆ=1在KB段移動時，取AK段為隔離體，如圖15-2（c）所示。由∑Ｆy＝0，得ＱＫ＝ＦAy＝(l－x)/l(a＜x≤l)（f）由ＱＫ影響線方程（e）和（f）可知，ＱＫ影響線由左、右兩段互相平行的直線段組成，繪出影響線如圖15-2（g）所示。影響線在K點處有突變，表明F＝1由K截面的左側移動到右側時，ＱＫ發(fā)生了突變，突變值等于1。而當F=1正好作用于K點時，ＱＫ的值是不確定的。

綜合以上的分析，靜力法作影響線步驟可歸納如下：（1）選取坐標系，以坐標x表示單位移動荷載F=1的作用位置。（2）由平衡條件求出反力或內力的表達式，即為影響線方程。（3）根據(jù)影響線方程畫出影響線，并標上正負號。為了更好地掌握影響線的概念，現(xiàn)把簡支梁的彎矩影響線與恒載作用下彎矩圖的區(qū)別對比如下：簡支梁的彎矩影響線——承受的荷載為單位移動荷載，橫坐標x表示單位移動荷載的作用位置，縱坐標y表示單位移動荷載作用在該點時指定截面彎矩的大小；彎矩圖——承受的荷載為作用位置固定不變的實際荷載，橫坐標x表示梁各截面位置，縱坐標y表示對應截面彎矩的大小。（二）外伸梁影響線1．反力影響線要作如圖15-3（a）所示外伸梁支座反力的影響線，仍選A為坐標原點，由平衡條件∑ＭＢ＝0和∑ＭＡ＝0得兩支座反力ＦＡy、ＦＢy的影響線方程為ＦＡy＝(l－x)/lＦＢy＝x/l可見方程與相應簡支梁的反力影響線方程完全相同，反力影響線如圖15-3（b）、(c)所示。很明顯，簡支梁的反力影響線向外伸部分延長，即得到外伸梁的反力影響線。2．跨間各截面內力影響線如圖15-3（a）所示，K截面在AB段內，現(xiàn)討論ＭＫ、ＱＫ的影響線。按簡支梁求彎矩和剪力影響線方程同樣的方法可求出{ＭＫ＝b/l·x(-l１＜x≤a)ＭＫ＝[(l－x)/l]·a(a≤x＜l+l2){QＫ＝－x/l(-l１＜x＜a)ＱＫ＝(l－x)/l(a＜x＜l＋l2)外伸梁影響線方程與簡支梁的方程形式完全相同，影響線如圖15-3(d)、(e)所示。與圖15-2