2024屆河北省保定市高三上學期期末數(shù)學試題和答案

2023—2024學年度第一學期高三期末調(diào)研考試數(shù)學試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆2B把答題卡對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用格皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.Axx2x60，B2,3，則AB（）1.集合A.C.3D.2,3B.22.已知i為虛數(shù)單位，且zi1i，則zz（A.1B.2C.3.已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結論正確的是（）D.2）A.//，m//，則m//C.mn，m，n//，則2xm,x0B.m，n，m//，n//，則//D.m，m//n，//，則n4.若fx是奇函數(shù)，則（）nxx0A.m1，n2C.m1，n2B.m1，n2D.m1，n25.已知銳角的頂點在原點，始邊在x軸非負半軸，現(xiàn)將角的終邊繞原點逆時針轉后，交以原點為圓心345的單位圓于點P,y，則cos的值為（）334433433334A.B.C.D.1010101034556.已知向量a,，b為單位向量，且滿足abb2a，則向量b在向量a方向的投影向量為（）11553455321056855A.,B.,C.,D.,7.保定的府河發(fā)源于保定市西郊，止于白洋淀藻雜淀，全長26公里.府河作為保定城區(qū)主要的河網(wǎng)水系，是城區(qū)內(nèi)主要的排瀝河道.府河橋其橋拱曲線形似懸鏈線，橋型優(yōu)美，是我市的標志性建筑之一，懸鏈線函數(shù)形式xxeeaxx為yee，當其中參數(shù)a1時，該函數(shù)就是雙曲余弦函數(shù)coshx，類似地有雙曲正弦aa22exex函數(shù)sinhx.若設函數(shù)fxsinhxcoshx，若實數(shù)x滿足不等式f3x4fx0，則x22的取值范圍為（）A.4,1B.1,4C.1D.1,4x22y228.在橢圓1（ab0）中，F(xiàn)，F(xiàn)分別是左，右焦點，P為橢圓上一點（非頂點），I為12ab△IF1F213△PFF內(nèi)切圓圓心，若，則橢圓的離心率e為（）12S△PF12131233A.B.C.D.32二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.從50個個體中隨機抽取一個容量為20的樣本，則每個個體被抽到的概率為0.4B.數(shù)據(jù)11，19，15，16，19眾數(shù)是19，中位數(shù)是15C.數(shù)據(jù)0，1，5，6，7，11，12，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7D.對于隨機事件A與B，若PB0.3，PBA0.7，則事件A與B獨立110.先將函數(shù)fx位長度，最后把所得圖象向上平移一個單位長度，得到函數(shù)gx的圖象，則關于函數(shù)gx，下列說法正確的是（A.最小正周期為sinx圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標不變，再把圖象向右平移個單2）B.在上單調(diào)遞增44223C.x,時gx,2D.其圖象關于點,0對稱211.已知曲線C：mx21my21，則以下說法正確的是（）1A.若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則0m2B.若曲線C為焦點在x軸上的橢圓，則其短軸長取值范圍是2,2212m1mC.曲線C為橢圓時，離心率為mm1D.若曲線C為雙曲線，則浙近線方程為yx12.《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在四面體S中，△ABC是直角三角形，B為直角，點E，F(xiàn)分別是SB，BC的中點，且AESC，SAAB2，26，BC4，則（）A.平面B.四面體S是鱉臑C.E是四面體S外接球球心D.過A、E、F三點的平面截四面體S的外接球，則截面的面積是3三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓O：x2y4，過M3作圓O的切線l，則直線l的傾斜角為______.214.保定某中學舉行歌詠比賽，每班抽簽選唱5首歌曲中的1首（歌曲可重復被抽?。瑒t高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率為______.log7b1315.等差數(shù)列a前13項和為91，正項等比數(shù)列b滿足ba，則blog72nn7771______.16.已知不等式e1baxb對任意的實數(shù)x恒成立，則的最大值為______.aa四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3AasinCb.（1）求角C的大??；（2）若ACB的角平分線交AB于點D，CD4，AD2DB，求a.18.（12分）在菱形ABCD中，23，BCD60，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，將菱形ABCD沿BD折起，使，M為線段BD中點.（1）求大??；（2）求直線AC與平面所成角的大小.19.（12分）n11在正項數(shù)列a中，a3，且12nn2.nann是常數(shù)列，并求數(shù)列a的通項公式；n（1）求證：數(shù)列n314Sn（2）若bn，記數(shù)列b的前n項和為S，求證：.n1a1nn16n120.（12分）p2已知拋物線C：x22py（p0）的焦點為F，準線交y軸于點E，點H,p，若△的面積為1，過點H作拋物線C的兩條切線切點分別為M，N.（1）求p的值及直線MN的方程；（2）點B是拋物線弧MN上一動點，點B處的切線與，分別交于點C，D，證明：MCCHHDDN.21.（12分）杭州亞運會吉祥物為一組名為“江南憶”的三個吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“蓮蓮”，聚焦共同的文化基因，蘊含獨特的城市元素.本次亞運會極大地鼓舞了中國人民參與運動的熱情.某體能訓練營為了激勵參訓隊員，在訓練之余組織了一個“玩骰子贏禮品”的活動，他們來到一處訓練場地，恰有20步臺階，現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則往上爬兩步臺階，否則爬一步臺階，再重復以上步驟，當隊員到達第7或第8步臺階時，游戲結束.規(guī)定：到達第7步臺階，認定失??；到達第8步臺階可贏得一組吉祥物.假設平地記為第0步臺階.記隊員到達第n步臺階的概率為P（0n8），記P1.n0（1）投擲4次后，隊員站在的臺階數(shù)為第X階，求X的分布列；n1（2）（ⅰ）求證：數(shù)列PP（1n7）是等比數(shù)列；n（ⅱ）求隊員贏得吉祥物的概率.22.（12分）1已知函數(shù)fxexax2.2（1）若fx在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若fx有兩個極值點分別為x，x（x22），當1時，證明：11.121高三期末調(diào)研數(shù)學試題參考答案一、選擇題1B2345678DDADCAB二、選擇題9101112ACDABABDABD三、填空題45313.（或寫為150°）14.15.1316.362四、解答題17.【解】（1）由cAasinCb及正弦定理，可得3sinCAsinAsinC3sinB.因為sinBsinACsinACAsinC，所以sinAsinC3sinAC.又sinA0，所以sinC3C，則tanC3，又C，所以C.3（2）∵CD為ACB的平分線，AD2DB，1BCdACd△BCD△ACDBDAD設點D到BC和AC的距離為d，則2，12BCBD即，∴b2a，又∵△ACD△BCD△ABC，ACAD1113∴4bsin4asinabsin，則有aa2，2626232∴a23或a0（舍去），所以a23.（2）方法2：∵CD為ACB的平分線，AD2DB，由內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，b2a，又∵C由余弦定理AB2a，∴B，323又∵AD2DB，∴BDa，又∵CD4，3a2∴在RtCBD中，a216，∴a23.318.【解】（1）方法1：由已知得三棱錐ABCD為正四面體，棱長為23，又∵E，M，F(xiàn)分別為AB，BD，CD中點∴EM3又∵AFBF3，∴EF6∵EM2EF2，∴，∴902方法2：取BC中點N，連接∵ANBC，，N∴平面AND，∴BCAD又∵EM//AD，//∴，∴90方法3：∵M為BD中點，∴AMBD，CMBD，∴平面，∴平面AMC平面，平面平面BCDCM，∴過A作AOCM，則AO平面，以O為坐標原點，所在直線為x軸，過O作CD垂線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標系.B3,0，D3,0，C2,0,0，A0,0,221211123,03,22，BC221EM33，∴，∴9004（2）∵M為BD中點，∴AMBD，CMBD，∴平面，∴平面AMC平面，平面平面BCDCM，∴過A作AOCM，則AO平面，以O為坐標原點，所在直線為x軸，過O作CD垂線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標系.B3,0，D3,0，C2,0,0，A0,0,221211123,03,22，BC22設平面法向量為nx,y,znEM0x3y22z0得nMF03x3y0令x1，則y3，z2，∴n3,22461222,0,22，∴sinn,AC2∴AC與平面所成角為45°n2n119.【解】（1）方法1：aaaaa2，aaaa2，12nn1n112nnn21，即aa2n1nn1an1n相除得aan所以ann1，即nan1nan，1n1n1nn2211所以，所以，所以lg3n1nn1n1an結合lg3，即數(shù)列是常數(shù)列nn1n所以ann3lg3n，所以n3nn1（1）方法2：∵aaaa2，12nnn1兩邊取對數(shù)得，aaaan①123n2n∴aaaaa②123n1n12n1nnn1①－②得.annaaa，即an，nn1n12222n1an∴n1.所以lg3，即數(shù)列是常數(shù)列，nn1n1n所以ann3lg3n，所以n3nn3n111（2）bnnn3311a1nn12n131n11111111Sn.n2311321321331n1311111n1114Sn23113114231n113又因為Sn単調(diào)遞增，所以SS，n116314即Sn1611p20.【解】（1）△即拋物線方程為C：xxHp1，所以p222224y，H2x2x方法1：C：y，y，4220402x,，切線斜率為設切點0x2120，此切線過H2xxx切線方程為y004解得x2，或x4，得兩切點坐標M2,1，N4,4.00所以直線MN方程為x2y40方法2：設Mx,y，Nx,y，在拋物線上，所以x2141，x224y2，11221212y1xxx112yy12yy1切線方程分別為：yy2xxx2222x2121，即Mx,y，Nx,y均在直線x2y2上，1122又因為兩切線相交于H22x2y22即x2y40.（2）方法1：設切點Bx,y，（2x4）BBBx2121xB42B化簡得yxBxxxx可得過B點切線為：yBB42x1由第一問方法知M2,1，H2點，可得直線方程為y1聯(lián)立解得C點橫坐標CxB121同理由N，H坐標可得直線方程y2x4，可得D點橫坐標xDxB2211xB1xB1C2xD14D2，2結論得證CH1x112x2xCBB2212yy121相減：xH方法2：2yy2221212xxx11Bx,y，過B的切線yyxxx，交yy3333311x2x得xC3，同理xD3，221x31CH1C1x2323，xHC1x2x13221xxx232NDxHxD1323222xDx2322MCCHHD所以DN21321.【解】（1）解：由題意得每輪游戲爬一步臺階的概率為，爬兩步臺階的概率為3所以隨機變量X可能取值為4，5，6，7，82416312324514可得PX，PXC3813381221312248128682734PXC4，PXC333381411PX381所以X的分布列：X456788132812481P（2）解：（?。┳C明：n1，即爬一步臺階，是第1次擲骰子，213向上點數(shù)不是3的倍數(shù)概率p，則pp1103到達第n步臺階有兩種情況：①前一輪爬到第n2步臺階，又擲骰子是3的倍數(shù)得爬兩步臺階，其概率為1pn232②前一輪爬到第n1步臺階，又擲骰子不是3的倍數(shù)爬一步臺階，其概率為n13123所以nn2n1（n,7）31所以pnpn1pn1pn2（n,7）311所以數(shù)列np（n,7）是首項為，公比為的等比數(shù)列.n133（此題也可用概率知識分別求出p，p，……，p具體值，再一一驗證也可.）12