2024屆江蘇省揚州市高三上學期期初模擬數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚州市2024屆高三上學期期初模擬數(shù)學試題一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，得，，∴.故選：D．2.在中，“”是“”的（）A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.充要條件〖答案〗D〖解析〗由正弦定理得，且，若，則，所以，所以，故充分性成立；若，則由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得，所以，，故必要性成立.所以“”是“”的充要條件.故選：D.3.重慶八中五四頒獎典禮上有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6個節(jié)日，在排演出順序時，要求A，B相鄰，C，D不相鄰，則該典禮節(jié)目演出順序的不同排法種數(shù)為（）A.288種 B.144種 C.72種 D.36種〖答案〗B〖解析〗A，B相鄰，捆綁作為一個節(jié)目與、進行全排列，然后把、插入其中的四個空檔中，排法總數(shù)為．故選：B．4.唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝．它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖2所示．已知球的半徑為R，酒杯的容積，則其內(nèi)壁表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設圓柱部分的高是，所以，所以所以，內(nèi)壁表面積為，故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題可得，即．原式．故選：．6.已知橢圓C：的左、右焦點分別為、，過的直線與橢圓交于M、N兩點，若的周長為16，離心率，則面積的最大值為（）A.12 B.2 C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗依題意，周長，解得，而橢圓的離心率，則其半焦距，因此，橢圓C：，，顯然直線不垂直于y軸，設其方程為，由消去x得：，設，則有，，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此當時，取得最小值4，即，的面積，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為12.故選：A7.已知，則（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗故選:A.8.設函數(shù)f（x）=logax（a＞0，a≠1），若f（x1x2…x2018）=4，則f（x12）+f（x12）+…+f（x20182）的值等于（）A.4 B.8 C.16 D.〖答案〗B〖解析〗∵函數(shù)f（x）＝logax（a＞0，a≠1），f（x1x2…x2018）＝4，∴f（x1x2…x2018）＝loga（x1x2…x2018）＝4，∴f（x12）+f（x12）+…+f（x20182）＝loga（x1x2…x2018）2＝2loga（x1x2…x2018）＝2×4＝8．故選B．二、多項選擇題9.已知復數(shù)，則下列說法正確的是（）A.復數(shù)的實部是1，虛部是2B.復數(shù)的模為C.復數(shù)D.復數(shù)是方程的一個根〖答案〗BD〖解析〗因為復數(shù)所以復數(shù)的實部是1，虛部是，A錯誤，，B正確，，C錯誤，因為，即復數(shù)是方程的一個根，D正確.故選：BD.10.如圖，直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，點P是經(jīng)過點的半圓弧上的動點（不包括端點），點Q是經(jīng)過點D的半圓弧上的動點（不包括端點），則下列說法正確的是（）A.四面體PBCQ的體積是定值B.的取值范圍是C.若與平面ABCD所成的角為，則D.若三棱錐的外接球表面積為S，則〖答案〗BCD〖解析〗直四棱柱中，點P到底面ABCD的距離為，設點Q到BC的距離為h，則，因為不是定值，故四面體PBCQ的體積不是定值，故A錯誤；在中，，，因為，所以，則，故B正確；因為平面ABCD，所以是與平面ABCD所成的角，則，因為，所以，故C正確；以D為原點，分別以為x，y，z軸，建立空間直角坐標系：則，線段BC的中點為，線段的中點為，設球心為，，則，由得，化簡得，即，易知，則，，所以外接球的表面積為，故D正確，故選：BCD11.定義：若存在非零常數(shù)k，T，使得函數(shù)f(x)滿足f(x+T)=f(x)+k對定義域內(nèi)任意實數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)f(x)為“k距周期函數(shù)”，其中T稱為函數(shù)的“類周期”．則（）A.一次函數(shù)均為“k距周期函數(shù)”B.存在某些二次函數(shù)為“k距周期函數(shù)”C.若“1距周期函數(shù)”f(x)的“類周期”為1，且f（1）=1，則f(x)=xD.若g(x)是周期為2函數(shù)，且函數(shù)f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域為[0，1]，則函數(shù)f(x)=x+g(x)在區(qū)間[2n，2n+2]上的值域為[2n，2n+1]〖答案〗AD〖解析〗A．設一次函數(shù)為，則，其中，A正確；B．設二次函數(shù)為（），，若是“k距周期函數(shù)”，則，則，不滿足新定義，B錯誤；C．設，則是“1距周期函數(shù)”，且類周期為1，，C錯；D．設，則，即，則，D正確．故選：AD．12.設，是一個隨機試驗中兩個事件，且，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A：，，所以，故A錯誤；對于B：，，∴，，故B正確；對于C：，，∴，故C正確.對于D：，，∴，∴，∴，所以D正確.故選：BCD.三、填空題13.某產(chǎn)品的年廣告費用與年銷售額的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表年廣告費用（萬元）4235年銷售額（萬元）493954經(jīng)測算，年廣告費用與年銷售額滿足線性回歸方程，則的值為________．〖答案〗26〖解析〗由題得回歸方程是經(jīng)過樣本中心點是，且，所以，解得．故〖答案〗為：2614.若為等差數(shù)列的前n項和，且，則數(shù)列的通項公式是______________．〖答案〗，〖解析〗因為等差數(shù)列滿足，所以，所以，又因為，所以，即，所以，所以，.故〖答案〗為：，.15.方程的解集為________〖答案〗〖解析〗方程3sinx=1+cos2x,即3sinx=1+1?2,即2+3sinx?2=0，求得sinx=?2(舍去),或sinx=，∴，故〖答案〗為16.在△ABC中，角，，所對的邊分別為，，c．已知．，則角的大小________.〖答案〗〖解析〗∵在中，根據(jù)正余弦定理知，，同理可得∵∴，∵，可得，∴，∵，∴等式兩邊約去，可得，∵，∴角的大?。省即鸢浮綖椋?四、解答題17.已知函數(shù)，且的圖象在點處的切線與直線垂直．(1)求a的值及的極值；(2)是否存在區(qū)間，使得函數(shù)在此區(qū)間上存在極值和零點?若存在，求實數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：(1)由，得，因為的圖象在點處的切線與直線垂直，所以，解得．所以，令，得，因為當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．故在處取得極大值1，無極小值．(2)由(1)，知在上單調(diào)遞減，且，又在上單調(diào)遞增，且，，所以由零點存在定理，得在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點．若函數(shù)在區(qū)間上存在極值和零點，則，解得．所以存在符合條件的區(qū)間，此時實數(shù)的取值范圍為．18.設數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列，對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)記為，記數(shù)列的前項和為，求使得的最小整數(shù)．解：（1）當時，，得，當時，由，得，所以，，所以，所以數(shù)列是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以（2）由（1）得，因為數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)，所以，所以，，所以，所以數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)，所以，由，得，即，當時，，當時，，因為隨的增大而增大，所以的最小整數(shù)為5.19.在①，②，③，這三個條件中選擇一個，補充在下面問題中，并給出解答如圖，在五面體中，已知___________，，，且，.（1）求證：平面與平面；（2）線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，說明理由.解：（1）若選①，取中點，中點，中點，連接，，，四邊形為平行四邊形，，，又，，，，又，，又，，平面，平面，平面，平面平面，，，又平面，平面平面，平面，又，，；若選②，，，，平面，平面，平面，平面平面，取中點，中點，連接，，，又平面，平面平面，平面，又，，；若選③，取中點，中點，連接，，，又，；分別為中點，，又，，四邊形為平行四邊形，；，，，，，，，，，又，，又，，平面，平面，平面，平面平面，又，平面，平面平面，平面，又，，；綜上所述：兩兩互相垂直，則以為坐標原點，為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，平面，平面的一個法向量；設平面的法向量，則，令，解得：，，，，即，平面與平面.（2）設在線段上存在點，使得平面與平面夾角的余弦值等于，由（1）得：，，設平面的法向量，則，令，則，，；，化簡可得：，解得：或（舍），，，；綜上所述：在線段上存在點，滿足，使得平面與平面夾角的余弦值等于.20.政府舉辦“全民健身乒乓球比賽”，比賽規(guī)則為：每隊4人，2男（男1號，男2號），2女（女1號，女2號），比賽時第一局兩隊男1號進行單打比賽，第二局兩隊女1號進行單打比賽，第三局兩隊各派一名男女運動員參加混雙比賽，第四局兩隊男2號進行單打比賽，第五局兩隊女2號進行單打比賽，五局三勝，先勝3局的隊獲勝，比賽結(jié)束.某隊中的男甲和男乙兩名男隊員，在比賽時，甲單打獲勝的概率為，乙單打獲勝的概率為，若甲排1號，男女混雙獲勝的概率為；若乙排1號，男女混雙獲勝的概率為（每局比賽相互之間不受影響）（1）記表示男甲排1號時，該隊第一局和男女混雙兩局比賽獲勝局數(shù)，求的分布列；（2）若要該隊第一局和男女混雙這兩局比賽獲勝局數(shù)的數(shù)學期望大，甲、乙兩人誰排1號？加以說明.解：（1）的可能取值為，，，，故分布列為：012（21）由（1）知，甲排1號時，期望值為，設表示男乙排1號時，該隊第一局和男女混雙兩局比賽獲勝局數(shù)，則的可能取值為，則，，，故期望值，因為，故乙排1號時期望值更大.21.已知橢圓的上頂點為M?右頂點為N.(點O為坐標原點)的面積為1，直線被橢圓C所截得的線段長度為.（1）橢圓C的標準方程；（2）試判斷橢圓C內(nèi)是否存在圓，使得圓O的任意一條切線與橢圓C交于A，B兩點時，滿足為定值？若存在，求出圓O的方程；若不存在，請說明理由.解：（1）由題意知，，由，得.設直線與橢圓C交于點，，則.把代入橢圓方程，得，故，即.由①②，解得或(舍去)，所以橢圓C的標準方程為.（2）假設存在這樣的圓O，設.當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為.由，得.設，，則，.故.由，得.由③④，得，當與k無關時，，，即圓O的半徑為.當直線AB的斜率不存在時，若直線AB的方程為，將其代入橢圓C的方程，得，，此時.若直線AB的方程為，同理可得.綜上，存在滿足題意的圓O，其方程為.22.已知函數(shù)，.（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)的圖象恒在直線的下方.①求的取值范圍；②求證：對任意正整數(shù)，都有.（1）解：，，由已知可得，解得.則，，其中.令，得.當時，；當時，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.所以，函數(shù)的極大值為，無極小值；（2）①解：由條件知，只需，即對任意的恒成立，即，其中，令，則，即，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，列表如下：極大值所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，，，因此，實數(shù)的取值范圍是；②證明：由①可知，當時，對任意的恒成立，令，則，所以，所以.江蘇省揚州市2024屆高三上學期期初模擬數(shù)學試題一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，得，，∴.故選：D．2.在中，“”是“”的（）A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.充要條件〖答案〗D〖解析〗由正弦定理得，且，若，則，所以，所以，故充分性成立；若，則由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得，所以，，故必要性成立.所以“”是“”的充要條件.故選：D.3.重慶八中五四頒獎典禮上有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6個節(jié)日，在排演出順序時，要求A，B相鄰，C，D不相鄰，則該典禮節(jié)目演出順序的不同排法種數(shù)為（）A.288種 B.144種 C.72種 D.36種〖答案〗B〖解析〗A，B相鄰，捆綁作為一個節(jié)目與、進行全排列，然后把、插入其中的四個空檔中，排法總數(shù)為．故選：B．4.唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝．它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖2所示．已知球的半徑為R，酒杯的容積，則其內(nèi)壁表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設圓柱部分的高是，所以，所以所以，內(nèi)壁表面積為，故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題可得，即．原式．故選：．6.已知橢圓C：的左、右焦點分別為、，過的直線與橢圓交于M、N兩點，若的周長為16，離心率，則面積的最大值為（）A.12 B.2 C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗依題意，周長，解得，而橢圓的離心率，則其半焦距，因此，橢圓C：，，顯然直線不垂直于y軸，設其方程為，由消去x得：，設，則有，，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此當時，取得最小值4，即，的面積，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為12.故選：A7.已知，則（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗故選:A.8.設函數(shù)f（x）=logax（a＞0，a≠1），若f（x1x2…x2018）=4，則f（x12）+f（x12）+…+f（x20182）的值等于（）A.4 B.8 C.16 D.〖答案〗B〖解析〗∵函數(shù)f（x）＝logax（a＞0，a≠1），f（x1x2…x2018）＝4，∴f（x1x2…x2018）＝loga（x1x2…x2018）＝4，∴f（x12）+f（x12）+…+f（x20182）＝loga（x1x2…x2018）2＝2loga（x1x2…x2018）＝2×4＝8．故選B．二、多項選擇題9.已知復數(shù)，則下列說法正確的是（）A.復數(shù)的實部是1，虛部是2B.復數(shù)的模為C.復數(shù)D.復數(shù)是方程的一個根〖答案〗BD〖解析〗因為復數(shù)所以復數(shù)的實部是1，虛部是，A錯誤，，B正確，，C錯誤，因為，即復數(shù)是方程的一個根，D正確.故選：BD.10.如圖，直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，點P是經(jīng)過點的半圓弧上的動點（不包括端點），點Q是經(jīng)過點D的半圓弧上的動點（不包括端點），則下列說法正確的是（）A.四面體PBCQ的體積是定值B.的取值范圍是C.若與平面ABCD所成的角為，則D.若三棱錐的外接球表面積為S，則〖答案〗BCD〖解析〗直四棱柱中，點P到底面ABCD的距離為，設點Q到BC的距離為h，則，因為不是定值，故四面體PBCQ的體積不是定值，故A錯誤；在中，，，因為，所以，則，故B正確；因為平面ABCD，所以是與平面ABCD所成的角，則，因為，所以，故C正確；以D為原點，分別以為x，y，z軸，建立空間直角坐標系：則，線段BC的中點為，線段的中點為，設球心為，，則，由得，化簡得，即，易知，則，，所以外接球的表面積為，故D正確，故選：BCD11.定義：若存在非零常數(shù)k，T，使得函數(shù)f(x)滿足f(x+T)=f(x)+k對定義域內(nèi)任意實數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)f(x)為“k距周期函數(shù)”，其中T稱為函數(shù)的“類周期”．則（）A.一次函數(shù)均為“k距周期函數(shù)”B.存在某些二次函數(shù)為“k距周期函數(shù)”C.若“1距周期函數(shù)”f(x)的“類周期”為1，且f（1）=1，則f(x)=xD.若g(x)是周期為2函數(shù)，且函數(shù)f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域為[0，1]，則函數(shù)f(x)=x+g(x)在區(qū)間[2n，2n+2]上的值域為[2n，2n+1]〖答案〗AD〖解析〗A．設一次函數(shù)為，則，其中，A正確；B．設二次函數(shù)為（），，若是“k距周期函數(shù)”，則，則，不滿足新定義，B錯誤；C．設，則是“1距周期函數(shù)”，且類周期為1，，C錯；D．設，則，即，則，D正確．故選：AD．12.設，是一個隨機試驗中兩個事件，且，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A：，，所以，故A錯誤；對于B：，，∴，，故B正確；對于C：，，∴，故C正確.對于D：，，∴，∴，∴，所以D正確.故選：BCD.三、填空題13.某產(chǎn)品的年廣告費用與年銷售額的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表年廣告費用（萬元）4235年銷售額（萬元）493954經(jīng)測算，年廣告費用與年銷售額滿足線性回歸方程，則的值為________．〖答案〗26〖解析〗由題得回歸方程是經(jīng)過樣本中心點是，且，所以，解得．故〖答案〗為：2614.若為等差數(shù)列的前n項和，且，則數(shù)列的通項公式是______________．〖答案〗，〖解析〗因為等差數(shù)列滿足，所以，所以，又因為，所以，即，所以，所以，.故〖答案〗為：，.15.方程的解集為________〖答案〗〖解析〗方程3sinx=1+cos2x,即3sinx=1+1?2,即2+3sinx?2=0，求得sinx=?2(舍去),或sinx=，∴，故〖答案〗為16.在△ABC中，角，，所對的邊分別為，，c．已知．，則角的大小________.〖答案〗〖解析〗∵在中，根據(jù)正余弦定理知，，同理可得∵∴，∵，可得，∴，∵，∴等式兩邊約去，可得，∵，∴角的大?。省即鸢浮綖椋?四、解答題17.已知函數(shù)，且的圖象在點處的切線與直線垂直．(1)求a的值及的極值；(2)是否存在區(qū)間，使得函數(shù)在此區(qū)間上存在極值和零點?若存在，求實數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：(1)由，得，因為的圖象在點處的切線與直線垂直，所以，解得．所以，令，得，因為當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．故在處取得極大值1，無極小值．(2)由(1)，知在上單調(diào)遞減，且，又在上單調(diào)遞增，且，，所以由零點存在定理，得在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點．若函數(shù)在區(qū)間上存在極值和零點，則，解得．所以存在符合條件的區(qū)間，此時實數(shù)的取值范圍為．18.設數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列，對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)記為，記數(shù)列的前項和為，求使得的最小整數(shù)．解：（1）當時，，得，當時，由，得，所以，，所以，所以數(shù)列是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以（2）由（1）得，因為數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)，所以，所以，，所以，所以數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)，所以，由，得，即，當時，，當時，，因為隨的增大而增大，所以的最小整數(shù)為5.19.在①，②，③，這三個條件中選擇一個，補充在下面問題中，并給出解答如圖，在五面體中，已知___________，，，且，.（1）求證：平面與平面；（2）線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，說明理由.解：（1）若選①，取中點，中點，中點，連接，，，四邊形為平行四邊形，，，又，，，，又，，又，，平面，平面，平面，平面平面，，，又平面，平面平面，平面，又，，；若選②，，，，平面，平面，平面，平面平面，取中點，中點，連接，，，又平面，平面平面，平面，又，，；若選③，取中點，中點，連接，，，又，；分別為中點，，又，，四邊形為平行四邊形，；，，，，，，，，，又，，又，，平面，平面，平面，平面平面，又，平面，平面平面，平面，又，，；綜上所述：兩兩互相垂直，則以為坐標原點，為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，平面，平面的一個法向量；設平面的法向量，則，令，解得：，，，，即，平面與平面.（2）設在線段上存在點，使得平面與平面夾角的余弦值等于，由（1）得：，，設平面的法向量，則，令，則，，；，化簡可得：，解得：或（舍），，，；綜上所述：在線段上存在點，滿足，使得平面與平面夾角的余弦值等于.20.政府舉辦“全民健身乒乓球比賽”，比賽規(guī)則為：每隊4人，2男（男1號，男2號），2女（女1號，女2號），比賽時第一局兩隊男1號進行單打比賽，第二局兩隊女1號進行單打比賽，第三局兩隊各派一名男女運動員參加混雙比賽，第四局兩隊男2號進行