高中數(shù)學(xué)必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練 (三十七)

必修二第八章第六節(jié)《空間直線'平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練(37)

1.如圖所示，在四棱錐P-4BCD中，PAABCD,AB=BC=2,AD=CD=yfl，PA=73,

^ABC=120°,G為線段PC上的點(diǎn)，。為AC,BD交點(diǎn)、.

(1)證明：BD_L平面4PC;

(2)若G滿足PC_L平面BGD,求”的值.

GC

2.如圖所示，AB是回0的一條直徑，PA垂直于回。所在的平面，C是圓周上不同于A,B的一動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：APBC是直角三角形；

(2)若24=48=2,且當(dāng)直線PC與平面ABC所成角的正切值為加時(shí)，求直線AB與平面PBC所成

角的正弦值

3.如圖，在三棱柱4BC中，點(diǎn)E,F分別在棱BBi，CCi上(均異于端點(diǎn))，4B=AC,4ABE=

乙ACF,BBi_L平面AEF.

4(

(1)求證：四邊形8EFC是矩形；

(2)若4E=EF=2,BE=爭(zhēng)求平面ABC與平面AEF所成銳二面角的余弦值.

4.如圖，在直角梯形AEF5中，AE1EF,且BF=EF=24E=4,直角梯形。出尸的可以通過(guò)直

角梯形AEFB以直角E尸為旋轉(zhuǎn)軸得到.

(1)求證：平面G5EF1平面BCiF；

(2)若二面角G-EF-B域,求直線GE與平面力Bq所成角的正弦值.

5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAl￥i?ABCD,CDLAD,BC//AD,BC=CD=1AD.

p

(I)求證：CDLPD；

(n)求證：BD_L平面尸AB；

(IE)在棱P。上是否存在點(diǎn)M,使CM〃平面PA8,若存在，確定點(diǎn)M的位置，若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

6.如圖，已知三棱柱4BC-A181G的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面BCG/為菱形，G為其兩

對(duì)角線的交點(diǎn)，BCr=2V3,4c=2&，D,E分別為&G，BB1的中點(diǎn)，頂點(diǎn)員在底面ABC

的射影。為底面中心.

(1)求證：DE〃平面ABC；,且々C1平面

(2)求三棱錐/一ABC］的體積.

7.如圖所示,正方形ABC。所在平面與梯形48MN所在平面垂直,MB〃4N,M4=AB=2,BM=4,

CN=2V3.

I)

(1)證明：平面DMN_L平面BCM

(2)求二面角C-MN—。的余弦值.

8.如圖所示，在三棱柱—中，AB=BC,點(diǎn)①在平面ABC的射影為線段AC的中點(diǎn),

側(cè)面4&GC是菱形，過(guò)點(diǎn)為,B,。的平面a與棱4cl交于點(diǎn)E.

(1)判斷四邊形BBiED的形狀并證明；

(2)求CB］與平面4BB14所成角的正弦的最大值.

9.在底面為菱形的四棱柱ABCD-aB1C1D1中，AB=441=2,A1B=A1D,zBAD=60°,ACn

BD=0,平面&BDL平面A8CD

(1)證明：B\C”平面A、BD；

(2)求三棱錐&-。的體積.

10.如圖，多面體ABC￡＞所中，四邊形ABCD為矩形，二面角a—CD—F為60。，DE//CF,CD1DE,

AD=2,DE=DC=3,CF=6.

(1)求證：8/7/平面AOE；

(2)求直線AC與平面CDEF所成角的正弦值.

11.如圖，在三棱錐P-48C中，Z1P8C為等邊三角形，點(diǎn)。為8c的中點(diǎn)，AC1PB,平面PBC_1_平

面ABC.

(1)求證：平面P4cl平面P3C；

(2)已知E為P0的中點(diǎn)，尸是A8上的點(diǎn)，AF=/L4B.若EF〃平面PAC,求;I的值.

12.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面4BC。為平行四邊形，^BAD=60°,PA=AD=PD=2,

側(cè)面PAD，底面A8C￡>,E,尸分別為PC,A8的中點(diǎn).

(I)求證：EF〃平面PAO；

(□)當(dāng)AP1BD時(shí)，求直線PC與平面PA。所成角的正弦值.

13.如圖，在直角梯形ABC。中，AB//CD,AB1AD,且4B=4。=1CD=1.現(xiàn)以為一邊向梯

形外作正方形AOEF,然后沿邊AD將正方形AOEF折疊，使E。J.OC,M為E。的中點(diǎn)，如圖

2.

圖2

(1)求證：AM"平面BEC,

(2)求證：平面BCD1平面BDE；

(3)若DE=1,求點(diǎn)。到平面BCE的距離。

14.如圖，三棱錐P—4BC中，P4J_平面4BC,PA=AC=2,BC=6，/.BAC=60°,。是PA

的中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在PB上，pF=3FB-

(1)證明：平面P4B_L平面PBC；

(2)證明：EF〃平面ABC；

(3)求二面角B-CD-A的正弦值.

15.如圖所示，AEABCD,CF//AE,AD//BC,AD1.AB,AB=AD=1,AE=BC=

2.

(1)求證：8F〃平面4OE；

(2)求直線CE與平面BOE所成角的正弦值；

16.如圖，A8CDFE是由兩個(gè)全等的菱形AB"和C0FE組成的空間圖形，AB=2,〃BAF=4ECD=

(1)求證：BD1DC；

(2)如果二面角B-E尸-。的平面角為60。，求直線8。與平面8CE所成角的正弦值.

17.如圖，已知三棱柱板(7一4/停1中,4411底面4BC,4BAC=90°,AA1=l,AB=y/3,AC=2,

民尸分別為棱CCi，BC的中點(diǎn).

(1)求異面直線EF與所成角的大小;

(2)若G為線段441的中點(diǎn)，試在圖中作出過(guò)民F,G三點(diǎn)的平面截該棱柱所得的多邊形，并求該

截面分三棱柱成兩部分(較小部分與較大部分)的體積的比值.

18.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面ABC。為平行四邊形，E為側(cè)棱PA的中點(diǎn).

(1)求證：PC〃平面BZJE；

(2)若PC1PA,PD=AD,求證：PA_L平面BDE.

19.如圖，在直三棱柱ABC—必當(dāng)?shù)闹?，AB=AC=5,BB「BC=6,D,E分別是和&C的

中點(diǎn).

D

(I)證明：DE，平面BBiCiC；

(11)求三棱錐“-EBC的體積與三棱柱ABC-aBiG體積的比值.

20.如圖所示，四棱錐P—中，四邊形48co為正方形，E為尸。中點(diǎn).

(1)證明：PB〃平面EAC；

(2)若P。1平面E4C,二面角E-4C-。的大小為453尸為BC的中點(diǎn)，求AF與平面E4c所

成角的正弦值.

【答案與解析】

1.答案：(1)證明：???在四棱錐P—4BCD中，Ml?ABCD,BDc?ABCD,

：.P41BD,

vAB=BC=2,AD=CD=V7,

設(shè)AC與8。的交點(diǎn)為。，則BO是AC的中垂線，

故。為AC的中點(diǎn)，且BDJ.4C,

而P力C\AC=A,：.BD_1_面PAC；

(2)解：若G滿足PCJjtiBG。，

,：OGu平面BGD,

???PC1OG,且PC=y/PA2+AC2=V15.

由ACOG7CAP,可得靠啜，即墨=涌,

解得GC=亞變，

5

廠

???PnGc=PnC-GrrC=V/T1F5----2-^-/15=—3V^1―5，

.PG_3

**GC-2*

解析：本題考查了直線和平面垂直的判定及性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬中檔題,

(1)利用直線和平面垂直的判定定理證得BD，面PAC-,

(2)由△COGs/kSP,可得*=解得GC的值，可得PG=PC-GC的值，從而求得分的值.

/1C1CGC

2.答案：（1）證明：?；P4_L平面ABC,BCu平面ABC,

PA1BC,

又：乙4cB是直徑AB所對(duì)的圓周角，

Z.ACB=90°,BC1AC.

"APOAC=A,AP,ACu平面PAC,

???8C1平面PAC,PCu平面PAC,

???BC1PC,

所以APBC是直角三角形；

(2)解：如圖，過(guò)A作4HJ.PC于H,

"BCinPAC,.-.BC1AH,

vPCC\BC=C,PC、BCu平面PBC,

AHJ■平面PBC,則N4B”即為直線AB與平面PBC所成的角，

vPA1平面ABC,NPC4即是尸C與平面ABC所成的角，

???tanz.PCA=—=y/2,

AC

又24=2,AC=V2,

.??在直角APZC中，AH=.PAAC=

\IPAZ2+AC23

在直角△ZB"中，sinZ-ABH=

23

即直線48與平面PBC所成角正弦值為理.

3

解析：本題考查平面與平面垂直的判定，考查線面角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，屬于中

檔題.

(1)要證明APBC是直角三角形，只需證明BC1PC,通過(guò)證明BC_L平面PAC即可；

(2)利用直線PC與平面A8C所成角正切值為遮，求出AC,在直角△P4C中，求出AH,在直角△ABH

中，可求A8與平面PBC所成角正弦值.

3.答案：解：(1)證明：在三棱柱ABC-41/C1中，BB["CC],

又因?yàn)锽Bi_L平面AEF,AE,AFu平面AEF,

所以BBil.AE,BB1VAF,CCXLAF,

所以N.AEB=NAFC=:,

因?yàn)锳B=AC,BBi=CC],Z.ABE=/LACF,

所以側(cè)面44/18與側(cè)面A&CiC的面積相等，

所以4E=4F,

因?yàn)锳B=AC,

所以AZEB三△AFC,

所以EB=FC,

所以四邊形BEFC為平行四邊形，

又因?yàn)锽Bi_L平面AEF,EFu平面AEF,

所以BBi1EF,

.??四邊形8EFC是矩形；

(2)取EF中點(diǎn)為G,連接AG,如圖:

由（1）得AE=A尸,

***AG-LEFt

?：BBi1平面AEF,BBiu平面BB",

平面4EF平面BBiCiC,平面4EFn平面BBiCiC=EF,AGu平面AEF,

：.AG_L平面BBGC,

取8c的中點(diǎn)H,以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線GF,GA,GH分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示：

則平面AEF的一個(gè)法向量為蘇=(0,0,1).

因?yàn)?E=EF=2,

所以4G=百，

則4(0,V3,0),B(-1,0,C(1,0,

所以荏=(-1,-6，務(wù)而=(1,-馮多，

設(shè)平面ABC的法向量為雨=(x,y,z),

貝您巧=。,

C4C?五二0

(—X—V3y+—z=0

所以1,

[x—V3y+yz=0

所以％=0,3y=z,設(shè)y=l,則z=3,

所以底=(0,1,3),

設(shè)平面48c與平面AEr所成銳二面角的平面角為a,

所以cosa=|cos＜濟(jì)房＞|=|黯卜甯.

解析：本題考查線面垂直的判定、線面垂直的性質(zhì)、利用空間向量求面面的夾角，屬于中檔題.

(1)先證出四邊形BEFC為平行四邊形，再證出B&1EF,即可證出結(jié)果；

(2)先證出4G，平面8&C1C,建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面平面AEb的一個(gè)法向量為汨與平面A8C

的法向量為尻，代入公式cosa=|cos＜席底＞|=|=2即可求出結(jié)果.

4.答案：(1)證明：

在直角梯形AEFB中,4E1EF,且直角梯形DiEFG是通過(guò)直角梯形AEF3以直線EV為軸旋轉(zhuǎn)而得，

所以QEIEF.

所以BFJ.EF,CrF1EF.

又BFnQF=F,BF,C/u平面BQF,

所以EF，平面BCi?

又EFu平面GDiEF,所以平面GDiEFJ_平面BCI/.

(2)解：由(1)可知BF1EF,QF1EF.

因?yàn)槎娼荊-EF-B為半

所以NC/B=；.

過(guò)點(diǎn)尸作平面AEFB的垂線，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz.

由BF=EF=2AE=4

可得：E(4,0,0),G(0,2,2V3).B(0,4,0),4(4,2,0).

所以而=(-4,2,0)，CjB=(0,2,-2V3).西=(-4,2,2遮).

設(shè)平面.的法向量為L(zhǎng)，則伊露V。，即裝建z：°o

令z=l,則y=%,x=號(hào)于是元=(今次,1).

所以直線QE與平面ABC1所成角的正弦值為

In-ECjI_2辰_V114

I同I西一手X4回一句'

解析：本題考查線面垂直的判定、平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面角，正確運(yùn)用向量法是關(guān)鍵.

(1)利用平面與平面垂直的性質(zhì)證明EF1平面BGF,即可證明平面CiDiEF，平面BC】F；

(2)以F為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面4BQ的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求

直線GE與平面48cli所成角的正弦值

5.答案：(I)證明：因?yàn)镻4,平面ABC。，CDu平面4BCD,

所以CD_LP4因?yàn)镃D1AD,PAf\AD=A,PA,ADu平面PAO.

所以CD1平面PAD.

因?yàn)镻Ou平面PA。，所以CDJ.PD.

(□)因?yàn)镻4J■平面4BC￡),BDu平面力BC。,

所以BD1P4在直角梯形ABC。中，BC=CD=^AD,

由題意可得48=BD=&BC，

所以力。2=432+B￡)2,所以BDJ.AB.

因?yàn)镻4n4B=4,P4,4Bu平面PA8.

所以BD1平面PAB.

(HI)解：在棱尸。上存在點(diǎn)M,使CM〃平面PAB,且〃是PD的中點(diǎn).

證明：取P4的中點(diǎn)N,連接MMBN,

因?yàn)镸是尸。的中點(diǎn)，所以MN2LAD.

2

因?yàn)锽C=^AD<所以MN=BC-

所以MNBC是平行四邊形，所以CM〃BN.

因?yàn)镃MC平面PAB,BNu平面PA&

所以CM〃平面PAB.

解析：本題考查了線面平行的判定、線面垂直的判定、線面垂直的性質(zhì)，考查了學(xué)生的推理能力

(I)先證得CD_L平面PAD.由線面垂直的性質(zhì)得：CD1PD；

(11)由8。_1.「4、BDJMB可證得8。_L平面FAB；

(DI)取PA的中點(diǎn)N,連接MMBN,證得MN8C是平行四邊形，所以CM〃BN,故可得結(jié)論

6.答案：解：(1)證明：取4必的中點(diǎn)”，連接EH,DH,

可得EH〃/IB,EHC平面4BCi，ABu平面486，

則EH〃平面ABC1，

同理DH〃4G，又DHC平面4BG，的u平面ABC；,

則DH〃平面ABC1，

又DHnEH=H,DH,EHu平面EDH

所以平面ABC1〃平面EDH,

又DEu平面DE”，所以DE〃平面ABC1，

菱形JBCCi中,BC'LBC

因?yàn)楫?dāng)在底面的射影。為底面的中心，

所以當(dāng)。1平面A8C,

因?yàn)?。為中心，△ABC為等邊三角形,

所以C。J.4B,

所以當(dāng)C14B,

又ABnBG=B,AB,BC]u平面ABC1

所以&C1平面ABC1；

(2)由(1)知々Cd■平面ABC1，

設(shè)%C與BG交于G,

又頂點(diǎn)B]在底面ABC的射影。為底面中心，

可得BiC=B]B=2,BiG==1,

且ACIBBi，進(jìn)而4C_L4Ai，ACr=A1C,

因?yàn)锳B=2,BCr=2V3.ACi=2V2,

AB2+ACl=BCl，所以4B14C],

三棱錐/一ABC1的體積V=js“BQ'BIG=xIx2x2V2x1=

解析：(1)取A&的中點(diǎn)H,連接EH,DH,由三角形的中位線定理和線面平行的判定定理，以及面

面平行的判定定理和性質(zhì)，可證明DE〃平面ABC1；再由線面垂直的性質(zhì)和判定，可證明B]C_L平面

ABC^

(2)由線面垂直的性質(zhì)和勾股定理，結(jié)合棱錐的體積公式，可得所求值.

本題考查線面平行與線面垂直的判定，以及棱錐的體積的求法，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中

檔題.

7.答案：(1)證明：?.?平面ABC。_L平面A8MM平面ABC。C平面4BMN=4B,BC1AB,

BC1平面ABNM,

vMNu平面ABMN,BNu平面ABMN,

BC1MN,BC1BN,

由BC=2,CN=2相得BN=Vt/V2-BC2=2應(yīng)，

由N4=48=2,可得4BJ.4N,

在直角梯形ABMN中可得MN=2V2,

由BM=4,BN=MN=2V2.可得BN?+MN2=BAf2,

???BN1MN,

BCnBN=B,且BC,BNu平面BCN,

：.MN，平面BCN,

,:MNu平面DMN,

二平面DMN，平面BCN；

(2)解：如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BM,3c所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-盯z,

則8(0,0,0),C(0,0,2),0(2,0,2),M(0,4,0),N(2,2,0),MN=(2,-2,0)，CN=(2,2,-2),

DN=(0,2,-2)>

設(shè)元=Oi，%,zj是平面CMN的法向量，

則尸跡=0,(2X1-2yi=0

l元?CN=0I2/+2yx-2z1=O'

取%i=1,得完=(1,1,2),

設(shè)方=(%2，y2，Z2)是平面OWN的法向量，

則理.亞=0,即席-碧藍(lán)

(m-DN=0以及-2Z2=0

取Z2=1,得沅=(1,1,1),

設(shè)二面角C-MN-D的平面角為0,由圖可知。為銳角，

i.八］\nm\lxl+lxl+2xl272

mi222

人"c°S?=\n\-\m\=V1+1+2XV12+I2+I2=

所以二面角C一MN-。的余弦值為度.

3

解析：本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系，平面向量的法向量等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)BC14B以及面面垂直的性質(zhì)，得到BCJL平面ABMW,得到BC_LMN,BC1BN,由題可得

AB1AN,進(jìn)而求出BN1MN,得到MN_L平面BCN,進(jìn)而得到平面DMNJ_平面BCN；

(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BM,BC所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系8-xyz,求得

平面CMN和平面OMN的法向量,設(shè)二面角C-MN-。的平面角為仇利用夾角公式進(jìn)行求解即可.

8.答案：解：(1)四邊形BBiED為矩形，證明如下：

取41cl中點(diǎn)為E,連接BiE,DE,在三棱柱4BC—4B1G中，側(cè)面為平行四邊形，所以

又因?yàn)?/C平面44CC1，&Au平面4遇CCi，所以3山〃平面4MCC1.

因?yàn)閡平面BBi。，且平面n平面44CC1=DE,所以B\B//DE.

因?yàn)樵谌庵鵄BC-AiBiG中，平面.AZ??！ㄆ矫?8道1，平面88山n平面4BC=BD,

平面BB/n平面&BiG=BiE,所以BD〃Z7|E,所以四邊形為平行四邊形.

在日ABC中，因?yàn)锳B=BC,力是AC的中點(diǎn)，所以BD14C.

由題可知，平面A8C,所以4iC_LBD,ArDLAC,

因?yàn)閍cr)4iD=。，所以8。_L平面acCi4,

所以8。IDE,故四邊形BBiED為矩形.

(2)由(1)知。B,AC,4D兩兩垂直，以O(shè)B,AC,4山所在直線分別為x軸、y軸、z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz.

設(shè)4D=1,BD=a,在△441。中，AAr=2AD,AArDA=90°,所以&。=痘,所以。(0,0,0),

4(0,-1,0),4I(O,O,V5),B(a,0,0),則標(biāo)=(0,1,痘),荏=(a,l,0).因?yàn)镋(0,l,b)，

所以西=屁+麗=(a,l,V3).即a(a,l,百).

因?yàn)镃(0,l,0),所以函*=(a,0,何設(shè)平面施出的法向量為記=(%/,z),則也竺'=°'即

In-AB—0,

戶儼=0,所以＞一產(chǎn)

令z=a,則丫=—8。，x=V3,所以冗=(百，一百a,a).

設(shè)CBi與平面4BB14所成角為仇

則sin。=\cos(n,CB^)\=］：；則［=y=====^y==

1'1,1InllcsJV3+4azxVa2+3

2顯a_2V32V32

-----------=—

42V12+153,

V4a+9+15al4a2+^+15

當(dāng)且僅當(dāng)4a2=2，即a=及時(shí)等號(hào)成立.

a2

故CBi與平面4BB14所成角的正弦值最大為|.

解析：本題主要考查線面平行的判定及面面平行的判定和性質(zhì)，考查線面垂直的判定定理及直線與

平面所成角，考查分析推理能力，屬于較難題.

(1)由已知根據(jù)線面平行的判定定理證得〃平面Z/CCi再運(yùn)用面面平行的判定和性質(zhì)證得四邊

形BBiED為平行四邊形，運(yùn)用線面垂直的判定定理可證得平面4CG4,從而得出結(jié)論.

(2)由⑴知QB,AC,&D兩兩垂直，以。B,AC,&D所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz.運(yùn)用線面角的向量求解方法可求得答案.

9.答案：(1)證明：依題意，A、B1〃AB,A1B1=AB,AB//CD,AB=CD,

.?.4/1=CD,A、B\"CD,

四邊形4B1CD是平行四邊形，

???BrCIIArD,

■：BjCC平面&BD,AXDu平面&BD,

?1?B￡U平面A[BD

(2)連接20,?；=&D,且。為8。的中點(diǎn)，.?.4。1BD,

???平面，平面ABCD,平面力iBDn平面4BCD=BD,Ax0u平面AiBD,

&。J_平面ABCD,

又AOu平面ABC。，：.AA0A.A0.

?.?四邊形ABCD為菱形，二40J.BD,

又41。08。=。，Ax0,8￡>u平面

???AOJ_平面4鳳，即COJL平面4遇。.

由(1)知,BiC〃平面&BD,

???點(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫?B。的距離等于點(diǎn)C到平面&B。的距離CO.

由A48。為等邊三角形，4B=44i=2,得：

BD=2,AO=CO=V3,&。=JAA^-AO2=1.

二三棱錐當(dāng)一&BD的體積為：加=白人BD,C。=：?/BD?4。?C。=：x2x1x百=4

1AIDU3n^DUJZo3

解析：略

10.答案：(1)證明：???四邊形4BC。是矩形，

BC//AD.

又ADu平面ADE,ADu平面ADE,

：.BC〃平面ADE,

■■DE//CF,CFC平面ADE,DEu平面ADE,

???CF〃平面ADE.

又：BCOCF=C,

.,?平面BCF〃平面ADE.

而B(niǎo)Fu平面BCF,

ABF〃平面4DE;

(2)解：??1CDLAD,CD1DE,

.?.乙4DE即為二面角A-CD-F的平面角，

???/LADE=60°,

又?；ADCDE=D,4。u平面ADE,DEADE,

???CD_L平面ADE,

又：CDu平面CDEF,

???平面CDEF1平面ACE,作AO1DE于。，連接CO,

???平面CDEF_L平面AOE,平面CDEFn平面4DE=DE,AO1DE,AOu平面AOE,則4。1平面CQEF.

所以直線AC與平面CDEF所成角為N4C。，

由幾何關(guān)系知4c=y/AD2+CD2=反，AO=AD-sin60°=?

所以si山C0=*普

解析：本題考查直線與平面，平面與平面平行及垂直的判定定理，性質(zhì)定理，考查直線與平面所成

的角以及二面角，屬于中檔題.

(1)由已知條件，利用直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系先推導(dǎo)出平面BCF〃平面A。尸，由此能證

明8/7/平面4DE;

(2)根據(jù)已知條件可得C。_L平面ADE,由面面垂直的判定可得平面COEF1平面A3E,進(jìn)而可得4。1

平面CZ5EF,于是可知直線AC與平面CDEF所成角為〃C。，再計(jì)算sin-C。的值即可.

11.答案：(1)證明：:△PBC為等邊三角形，點(diǎn)。為8c的中點(diǎn)，POJ.BC,

,/平面PBC，平面ABC,平面PBCC平面4BC=BC,POu平面PBC,

POJ_平面ABC,

■：ACu平面ABC,

???PO1AC,

"AC1PB,POCPB=P,P8u平面PBC,POu平面PBC,

AC1平面PBC,

ACu平面PAC,

：.平面PAC_L平面PBC.

(2)解：取C。中點(diǎn)G,連結(jié)EG,FG,

???E為尸。的中點(diǎn)，二EG///PC,

■：EG仁平面PAC,PCu平面PAC,

：.EG〃平面PAC,

F是AB上的點(diǎn)，AF=XAB,EF〃平面PAC,

且EGCEF=E,EG,EFu平面EFG,

平面EFG〃平面PAC,

因?yàn)槠矫鍼ACfl平面4BC=AC,平面EFGn平面ABC=FG,

FG//AC,

解析：本題考查面面垂直，面面平行以及線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用；

(1)由已知平面PBCL平面A8C,又由APBC為等邊三角形，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，得到PO_LBC,利用

面面垂直的性質(zhì)得到P。J?平面A8C,進(jìn)一步利用線面垂直的性質(zhì)定理得到P。_LAC,結(jié)合已知的

ACLPB,利用線面垂直的判定定理得到AC_L平面PBC,繼續(xù)利用面面垂直的判定定理得到結(jié)論的

證明;

(2)取C。中點(diǎn)G,連結(jié)EG,FG,得至ljEG〃PC,利用線面平行的判定定理得到EG〃平面PAC,進(jìn)

一步利用面面平行的判定定理得到平面EFG〃平面PAC,于是得到FG〃4C,利用平行線的選擇得到

4的值.

12.答案：(I)證明：取PD的中點(diǎn)M,連結(jié)AM,ME,

1

由已知4F//ME//DC,S.AF=ME=-DC,

所以四邊形AFEM是平行四邊形，

所以EF〃4M,

又EF笈平面PAD,AFu平面PAD,

所以EF〃平面PAD;

（口）解：取A。的中點(diǎn)0,連結(jié)P0,

vPA=AD=PD=2,POLAD,

又平面PAD_L底面ABCD,平面P4DD底面ABC。=AD,POu平面PAD,

PO，平面ABCD.

又BDu平面ABCD,

PO1BD.

又TAPIB。，POCiAP=P,PO,APPAD,

..BD_L平面PAD,又40u平面PAD,

BD1>40.

又NB/W=60°,AB=2AD=4.

過(guò)點(diǎn)C作CG14。于點(diǎn)G,連結(jié)尸G,

由平面PAD_L平面ABCD,平面PADn底面力BCD=AD,CGu平面ABCD,

CG，平面PAD,

所以4CPG是直線PC與平面PAD所成角.

又CG=2小,PG=26,所以“PG=45°,

即直線PC與平面PAD所成角的正弦值為它.

2

解析：本題考查了線面平行的判定，考查了求線面角的方法，屬于中檔題.

(I)取尸。的中點(diǎn)M連結(jié)AM,ME,證得四邊形AFEM是平行四邊形，進(jìn)而證得EF〃平面尸4。；

(口)取AO的中點(diǎn)O,連結(jié)P0,過(guò)點(diǎn)C作CG1AD于點(diǎn)G,連結(jié)PG,證得NCPG是直線PC與平面

/X。所成角，進(jìn)而求得結(jié)果.

13.答案：(1)證明：取EC中點(diǎn)N,連結(jié)MN,BN,

在△EDC中，M,N分別為ED,EC的中點(diǎn)，

所以MN〃CD,且MN=：CD,

由已知A8〃C￡>,AB=^CD,

所以MN〃AB,且MN=4B,

所以四邊形4BMW為平行四邊形，

所以BN//4M,

又因?yàn)锽Nu平面BEC,且4M仁平面BEC,

所以ZM〃平面BEC.

(2)證明：在正方形ADE/中，EDLAD,

因?yàn)镋O_LOa,ADr\DC=D,AD,OCu平面ABC。，

所以ED1平面ABCD,BCu平面ABCD,

所以ED1BC.

又在直角梯形ABC。中，AB^AD=1,CD=2,Z.BDC=45°,

所以BC=夜，

在△BCD中，BD=BC=V2.CD=2,

所以+BC2=CD2,

所以8C_LB。，

因?yàn)镋DnBD=D,ED,BDu平面BOE,

所以BCJL平面UDE.

因?yàn)锽Cu平面BCD,

所以平面BCD_L平面BDE.

(3)解：設(shè)點(diǎn)D到平面BCE的距離為h,

由(2)BCJ■平面BOE,可在BC1BE,

因?yàn)镈E=1,AB=AD=^CD=1,所以BO=&，BC=V2.BE=W，

所以SABDC=$xV2Xy/2=1,S^BEC=gXV3XV2=當(dāng),

根據(jù)％-BCE=%-BCD，即§SABEC.h=^SABCD,DE,

-x—?h=-x1x1,解得九=—>

3233

即點(diǎn)D到平面BCE的距離為漁.

3

解析：本題考查簡(jiǎn)單多面體及其結(jié)構(gòu)特征，線面平行的判定、面面垂直的判定，利用三棱錐的體積

求空間中點(diǎn)到平面的距離，考查空間中直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和

思維能力，是中檔題.

(1)取EC的中點(diǎn)M連結(jié)MMBN,則有MN〃CD,結(jié)合已知可得四邊形ABNM為平行四邊形，則

BN//AM,根據(jù)線面平行的判定定理可得4M//平面BEC；

(2)由已知可證得ED_L平面ABCC,即可得ED1BC,求解直角三角形可得BC18D,再由線面垂直

的判定得到BC，平面BDE.,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證.

(3)設(shè)點(diǎn)。到平面BCE的距離為山由已知條件得到以B。，BC,BE的值，即可得到S^DC，ShBEC,

再根據(jù)三棱錐的體積公式，結(jié)合力_8庭=%-BCD，即可求解點(diǎn)。到平面BCE的距離.

14.答案：解：(1)在A4BC中，由余弦定理得DC?=AB2+4C2-2aB-4CcosN8AC,

即,-24B+1=0,^AB=1,.-.AB2+BC2=AC2,則4BC=90°,???BC1AB.

因?yàn)镻A1平面ABC,BCu平面ABC,所以P4_LBC.

?-?PAC\AB=B,PA、ABu平面PAB,BC_L平面PAB.

???BCu平面P8C,.?.平面PBC_L平面PAB；

(2)證法一：過(guò)點(diǎn)尸作FA〃/PA交AB于點(diǎn)M,取AC的中點(diǎn)N,連接MN、EN.

MB

?.?點(diǎn)E為CQ的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，.?.EN〃A。，EN=^AD.

又。是P4的中點(diǎn)，E是C。的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PB上，而=3還，且FM〃P'，

FM=^PA=^AD,FNHAD,：.FM“ENAFM=EN,

所以四邊形MFEN為平行四邊形，，EF〃.UN,

???EF仁平面ABC,MNu平面ABC,：.EF//平面ABC-,

法二：取AO中點(diǎn)G,連接GE、GF,

???G、E分別為A。、CO的中點(diǎn)，.?.GE〃AC.

???GEC平面ABC,ACu平面ABC,：,GE//平面ABC.

???G為AO的中點(diǎn)，。為PA的中點(diǎn)，AG=；P4則PG=34G,

24

%-PF=即PF=3F8,=喋=3,二.GF//.AZ?.

ACror

VGF仁平面ABC,ABu平面ABC,GF//平面ABC.

因?yàn)镚EClGF=G,GE、GFu平面GEF,所以平面GEF〃平面ABC,

???EFu平面GEF,所以EF//平面ABC；

(3)過(guò)點(diǎn)8作8H14C,垂足為“，在平面BCO內(nèi)過(guò)點(diǎn)8作801DC,垂足為。,

vPA_L平面ABC,BHu平面ABC,：.BH1PA,

■■BH1AC,PAQAC=A,PA、PCu平面PAC,BHJ?平面PAC,

???CDu平面PAC,CDLBH,

?：CD1BO,BOCBH=B,BO、BHu平面BO”，C。_L平面BO”.

???OHu平面BOH,OH1CD,則4B。"為二面角B-CD-4的平面角，

由等面積法可得BH=絲竺=巫,

AC2

VBCl￥ifiPAB,BDc^PAB,：.BC1BD,

在RMBC。中，BC=V3-BD=y/AD2+AB2=V2.CD=y/AD2+AC2=遮，

,J3_

由等面積法得BO=更經(jīng)=0，則sin4B。"=瞿=3=乎.

CD5BO同4

5

因此，二面角CD—4的正弦值為4.

4

解析：【試題解析】

本題考查平面與平面垂直的證明、直線與平面平行的證明，以及二面角正弦值的求解，考查推理論

證能力與計(jì)算能力，題目較難.

(1)利用余弦定理計(jì)算出4B=1,由勾股定理可得出BC1AB,再由PAL平面ABC,可得出BC1PA,

利用直線與平面垂直的判定定理可證明出BC1平面PAB,然后利用平面與平面垂直的判定定理可證

明出平面H4BJ_平面PBC；

(2)證法一：過(guò)點(diǎn)尸作FA〃/P.A交A8于點(diǎn)M,取AC的中點(diǎn)N,連接MMEN,證明四邊形MFEN

為平行四邊形，可得出EF〃.UN,然后利用直線與平面平行的判定定理可證明出EF〃平面ABC；

證法二：取AO中點(diǎn)G,連接GE、GF,證明平面GEF〃平面A8C,即可得出EF〃平面A8C；

(3)過(guò)點(diǎn)8作J.AC,垂足為H,在直角Z1DBC中過(guò)點(diǎn)B作BOJ.DC,垂足為。，證明出CDJ■平面

BOH,可知二面角B-C。一4的平面角為NB。"，計(jì)算出RMB?！敝械?。和BH,然后利用銳角三

角函數(shù)的定義求出sin/BOH即可.

15.答案：證明：g：AD“BC,BCBCF,AD笈平面BCF,

平面BCF,

AE//CF,CFu平面BCF,AEC平面BCF,

AE〃平面BCF,

y.'-ADCiAE=A,AD.AEADE,

平面4DE〃平面BCF,

vBFu平面BCF,

：.B"/平面ADE.

解：(2)設(shè)C到面BOE的距離為/?,設(shè)直線CE與平面BOE所成角為0,

因?yàn)锳Q1AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

所以SABCD=yX2xl=l,

因?yàn)?E1平面ABC￡>,所以4E148,4E1/W

所以BE=DE=V5,因?yàn)锽D=V2,

所以SABDE=2,

因?yàn)?-BDE=VE-BCD，

所以gxjxhuqxlxZ,解得h=g；

因?yàn)槊?BC,AD1AB,

所以AC=V14-4=V5?

所以EC=3,

4

所以直線CE與平面BOE所成角的正弦值sin。=Z=±

39

解析：本題考查直線與平面平行的判定，面面平行，直線與平面所成角的計(jì)算，考查學(xué)生空間想象

能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)利用線面平行判定定理，得到平面BCF,AE〃平面BCF,即可證明平面4DE〃平面BCF,

從而得到BF〃平面ADE；

(2)利用等體積%-皿￡=%-BCD，計(jì)算出C到面BCE的距離為八=再計(jì)算直線CE與平面BDE所

成角的正弦值；

16.答案：解：(I)證明：如圖，取EF的中點(diǎn)G,連接BG,DG,

在菱形ABEF中，

因?yàn)镹B4F=60°,

所以4BEF是正三角形，

所以EF1BG,

同理，在菱形C￡?FE中，可證EFJ.DG,

又BG,DGu平面BDG,BGdDG=G,

所以EPJ.平面BDG,

BDu平面BDG,

所以EFJ.BD,

又因?yàn)镃D〃EF,

所以BD1DC；

（II）由（I）知，NBGD就是二面角B—EF—C的平面角，

即NBGO=60°,

又BG=GD=遮,

所以4BOG是正三角形，故有BD=

如圖，取OG的中點(diǎn)O,連接BO,則B0J.DG,

又由（I）得EF_LB。，EFC\DG=G,EF、0Gu平面CQFE,

所以，30，平面。。下￡,且8。=|,

又BD1DC,

在直角dBDC中，BC=<7,

所以SABCE=3"巾”/-：=乎,

設(shè)。到平面BCE的距離兒

則0-DCE寸0?SADCE=|X|XTX4=T，

1Jc1>3V7>/3

VD-BCE=3SABCE="X/lX—=y,

所以力=也，

7

即直線BO與平面BCE所成角的正弦值為上=也.

BD7

解析：本題考查了證明直線垂直的方法，二面角及求直線與平面所成角的正弦值，屬于中檔題.

(1)取)的中點(diǎn)6,連接BG,DG,易證EF1BG,同理可證EFLDG,可證EFJ.平面3DG,

可證EFLBD,由此可得答案；

(II)如圖，取。G的中點(diǎn)0,連接B。，則BOLDG,可分別求出S.BCE，S^CE的面積，設(shè)。到平面

BCE的距離〃，然后利用等積法求出兒由此可得答案.

17.答案：解(1)連接BG，則為2BCG的中位線，

故N4BC1為所求異面直線所成的角.又1A1B1,AXCX1&A,且A4inA1B1=

414,4/1u平面ABBSi，

故&GJ■平面4BB1人,ZCMJB=90°.

在Rtaa.%3中，公。1=2,ArB=2

故"BCi=45°,

故異面直線EF與所成角的大小為45。.

(2)取AB中點(diǎn)M,連接MF,MG,EG.

則MF〃AC//EG,即M、F、E、G四點(diǎn)共面，則EFMG為所求截面的多邊形.

連接AF,GF,

^ABC-A1B1C1~SAABC,=-x2xV3xl=V3

^GMA-ECF—^G-AMF+^F-ACEG=§S44MF*GA