高考數(shù)學微專題集專題5非對稱韋達定理的處理微點2非對稱韋達定理的處理綜合訓練(原卷版+解析)

專題5非對稱韋達定理的處理微點2非對稱韋達定理的處理綜合訓練微專題5非對稱的“韋達定理”的處理微點2非對稱韋達定理的處理綜合訓練1．已知、分別是橢圓的右頂點和上頂點，、在橢圓上，且，設直線、的斜率分別為、，證明：為定值．2．已知橢圓：（）的左右焦點分別為，，分別為左右頂點，直線：與橢圓交于兩點，當時，是橢圓的上頂點，且的周長為．(1)求橢圓的方程；(2)設直線交于點，證明：點在定直線上．(3)設直線的斜率分別為，證明：為定值．3．在平面直角坐標系中，如圖，已知的左、右頂點為、，右焦點為，設過點的直線、與橢圓分別交于點、，其中，，．（1）設動點滿足，求點的軌跡；（2）設，，求點的坐標；（3）設，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關）．4．如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓，．點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點．(1)求直線與直線交點M的軌跡方程;(2)設動圓與相交于四點，其中，．若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值．5．已知橢圓左頂點為，為原點，，是直線上的兩個動點，且，直線和分別與橢圓交于，兩點（1）若，求的面積的最小值；（2）若，，三點共線，求實數(shù)的值.6．已知橢圓:的長軸長為4，左、右頂點分別為，經(jīng)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點（不與點重合）.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）求四邊形面積的最大值；（3）若直線與直線相交于點，判斷點是否位于一條定直線上？若是，寫出該直線的方程.（結論不要求證明）7．已知分別是橢圓的左、右焦點，P是橢圓C上的一點，當PF1⊥F1F2時，|PF2|＝2|PF1|．（1）求橢圓C的標準方程：（2）過點Q（﹣4，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點M關于x軸的對稱點為點M′，證明：直線NM′過定點．8．已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．9．如圖，為坐標原點，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點，且（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于異于的兩點，直線交于點．求證：點的縱坐標為定值3．10．已知橢圓的長軸長為6，離心率為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設橢圓C的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為A，B，點M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點，且，記直線AM，BN的斜率分別為，且,求直線的方程.專題5非對稱韋達定理的處理微點2非對稱韋達定理的處理綜合訓練微專題5非對稱的“韋達定理”的處理微點2非對稱韋達定理的處理綜合訓練1．已知、分別是橢圓的右頂點和上頂點，、在橢圓上，且，設直線、的斜率分別為、，證明：為定值．2．已知橢圓：（）的左右焦點分別為，，分別為左右頂點，直線：與橢圓交于兩點，當時，是橢圓的上頂點，且的周長為．(1)求橢圓的方程；(2)設直線交于點，證明：點在定直線上．(3)設直線的斜率分別為，證明：為定值．3．在平面直角坐標系中，如圖，已知的左、右頂點為、，右焦點為，設過點的直線、與橢圓分別交于點、，其中，，．（1）設動點滿足，求點的軌跡；（2）設，，求點的坐標；（3）設，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關）．4．如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓，．點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點．(1)求直線與直線交點M的軌跡方程;(2)設動圓與相交于四點，其中，．若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值．5．已知橢圓左頂點為，為原點，，是直線上的兩個動點，且，直線和分別與橢圓交于，兩點（1）若，求的面積的最小值；（2）若，，三點共線，求實數(shù)的值.6．已知橢圓:的長軸長為4，左、右頂點分別為，經(jīng)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點（不與點重合）.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）求四邊形面積的最大值；（3）若直線與直線相交于點，判斷點是否位于一條定直線上？若是，寫出該直線的方程.（結論不要求證明）7．已知分別是橢圓的左、右焦點，P是橢圓C上的一點，當PF1⊥F1F2時，|PF2|＝2|PF1|．（1）求橢圓C的標準方程：（2）過點Q（﹣4，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點M關于x軸的對稱點為點M′，證明：直線NM′過定點．8．已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．9．如圖，為坐標原點，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點，且（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于異于的兩點，直線交于點．求證：點的縱坐標為定值3．10．已知橢圓的長軸長為6，離心率為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設橢圓C的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為A，B，點M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點，且，記直線AM，BN的斜率分別為，且,求直線的方程.參考答案：1．證明見解析分析：設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用斜率公式結合韋達定理可求得的值.【詳解】證明：由題意得，，則，設直線的方程為，設點、．由，消去得，，可得，且有，由韋達定理可得，，，，又由得，代入上式得：，所以，為定值.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.2．(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.分析：（1）根據(jù)給定條件，求出橢圓上頂點坐標，再結合即可求解作答.（2）設點，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，求出直線AM，AN的方程，再聯(lián)立求出交點Q的橫坐標即可作答.（3）利用（2）中信息，直接計算即可作答.(1)當時，直線：，令，得，即橢圓的上頂點為，則，又的周長為，即，，又，解得，所以橢圓的方程為.(2)由（1）知，，設，依題意，點A，B不在x軸上，由消去并整理得：，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線、的方程得，由得代入上式，得，于是得，所以直線交點在定直線上．(3)由（2）知，，由得：，所以為定值．【點睛】思路點睛：涉及動直線與圓錐曲線相交滿足某個條件問題，可設出直線方程，再與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理并結合已知推理求解.3．（1）；（2）；（3）證明見解析．分析：（1）根據(jù)橢圓的標準方程可得、、的坐標,設動點，根據(jù)條件，結合兩點間距離公式,化簡即可得解；（2）根據(jù)，代入橢圓方程即可求得、的坐標，進而求得直線與直線的方程，聯(lián)立兩條直線方程即可求得交點的坐標；（3）設出直線與直線的方程，分別聯(lián)立橢圓方程即可表示出、的坐標，討論與，并分別求得的值，即可求得所過定點的坐標.【詳解】（1）設點，則，，，由，得，化簡得，故所求點的軌跡為直線．（2）將，分別代入橢圓方程，以及，，得，，直線方程為，即，直線方程為，即，聯(lián)立方程組，解得，所以點的坐標為．（3）點的坐標為，直線的方程為，即，直線的方程為，即，分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，，解得、，若，且,得，此時直線的方程為，過點；若，則，直線的斜率，直線的斜率，所以,所以直線過點，因此直線必過軸上一定點.4．（1）（2）證明見解析【詳解】（1）設，又知，則直線的方程為①直線的方程為②由①②得③由點在橢圓上，故，從而代入③得（2）證明：設，由矩形ABCD與矩形的面積相等，得故因為點A，均在橢圓上，所以，由，知，所以.從而因此為定值考點定位：本大題主要考查橢圓、圓、直線的標準方程的求法以及直線與橢圓、圓的位置關系，突出解析幾何的基本思想和方法的考查：如數(shù)形結合思想、坐標化方法等5．（1）1；（2）分析：（1）由勾股定理、三角形面積可得：，，．再利用，即可得出．（2）設，可得方程為：，可得為，同理為，根據(jù)利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．【詳解】（1）由勾股定理、三角形面積可得：，,當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?，即的面積的最小值為1．（2）設，則方程為：，則為，同理為，，，得．【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、橢圓的參數(shù)方程、向量垂直與數(shù)量積的關系、勾股定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6．（Ⅰ），離心率（Ⅱ）（Ⅲ）分析：（Ⅰ）由題意可知：m＝1，可得橢圓方程，根據(jù)離心率公式即可求出（Ⅱ）設直線CD的方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達定理，由SACBD＝S△ACB+S△ADB，換元，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形ACBD面積的最大值．（Ⅲ）點M在一條定直線上，且該直線的方程為x＝4【詳解】（Ⅰ）由題意，得,解得.所以橢圓方程為.故，，.所以橢圓的離心率.（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，由題意，得的方程為，代入橢圓的方程，得，，又因為，，所以四邊形的面積.當直線的斜率存在時，設的方程為，，，聯(lián)立方程消去，得.由題意，可知恒成立，則，四邊形的面積，設，則四邊形的面積，，所以.綜上，四邊形面積的最大值為.（Ⅲ）結論：點在一條定直線上，且該直線的方程為.【點睛】本題考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查弦長公式的應用，體現(xiàn)了“設而不求”的解題思想方法，函數(shù)性質(zhì)的運用，計算量大，要求能力高，屬于難題．7．（1）；（2）直線過定點.分析：（1）由橢圓的定義和已知條件得，又由可得出點P的坐標，代入橢圓的標準方程中可解出，從而得出橢圓的標準方程；（2）設出直線l的方程，點M、N的坐標，直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得點M、N的坐標的關系，再表示出直線的方程，將點M、N的坐標的關系代入可得直線NM′所過的定點.【詳解】（1）由得，，由橢圓的定義得，，，，所以點P的坐標為，將點P的坐標代入橢圓的方程中有，又，，解得或，當，，故舍去；當，，所以橢圓的標準方程為：.（2）由題意可知，直線l的斜率必然存在,故設直線l的方程為，設，則，聯(lián)立方程組，得，，解得，，，又，，設直線的方程為，，當時，，所以直線過定點.【點睛】本題考查橢圓的定義和簡單的幾何性質(zhì)，求橢圓的標準方程，以及直線與橢圓的位置關系中直線過定點的問題，關鍵在于將目標條件轉(zhuǎn)化到直線與橢圓的交點的坐標上去，屬于較難題.8．（Ⅰ）；（Ⅱ）1.分析：(Ⅰ)由題意得到關于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；(Ⅱ)首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA,NA的方程確定點P,Q的縱坐標，將線段長度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標比值的問題，進一步結合韋達定理可證得，從而可得兩線段長度的比值.【詳解】(Ⅰ)設橢圓方程為：，由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(Ⅱ)[方法一]：設，，直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，即：，則：.直線MA的方程為：，令可得：，同理可得：.很明顯，且，注意到，，而，故.從而.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何含義法①當直線l與x軸重合，不妨設，由平面幾何知識得，所以．②當直線l不與x軸重合時，設直線，由題意，直線l不過和點，所以．設，聯(lián)立得．由題意知，所以．且．由題意知直線的斜率存在．．當時，．同理，．所以．因為，所以．【整體點評】方法一直接設直線的方程為：，聯(lián)立方程消去y，利用韋達定理化簡求解；方法二先對斜率為零的情況進行特例研究，在斜率不為零的情況下設直線方程為，聯(lián)立方程消去x，直接利用韋達定理求得P,Q的縱坐標，運算更為簡潔，應為最優(yōu)解法.9．（1）；（2）3分析：（1）由得，再根據(jù)焦距等于其長半軸長可求，故可得橢圓的方程.（2）設直線方程為，，【詳解】解：（1）由題意可知：,，又，有，故橢圓的方程為：．（2）由題意知直線的斜率存在，設其方程為，用的橫坐標表示的縱坐標，再聯(lián)立的方程和橢圓的方程，消去得，利用韋達定理化簡的縱坐標后可得所求的定值.設（），聯(lián)立直線方程和橢圓方程得，消去得，,，且有，又，，由得，故，整理得到，故．故點的縱坐標為3．【點睛】求橢圓的標準方程，關鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.直線與圓錐曲線的位置關系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關于或的一元二次方程，再把要求解的目標代數(shù)式化為關于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關系式，該關系中含有或，最后利用韋達定理把關系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點、定值、最值問題.10．（1）（2）【解析】（1）根據(jù)長軸長為6，