2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)中國(guó)人民大學(xué)某中學(xué)七年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷含詳解

北京景山學(xué)校2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期

七年級(jí)數(shù)學(xué)期末試卷

一、選擇題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，每小題2分，共16分）

1.在一個(gè)三角形中，若其中一個(gè)內(nèi)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角的差，則這個(gè)三角形是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.都有可能

2.下列運(yùn)算中，正確的是（）

3

A.3x2+2x3=5X5B.a.a2=a3C.3a64-a-3a2D.（ab）=a,b

3.如圖，紅旗中學(xué)七年級(jí)（6）班就上學(xué)方式作出調(diào)查后繪制了條形圖，那么乘車(chē)上學(xué)同學(xué)人數(shù)占全班人數(shù)的（

人數(shù)

24

161111

A-B.-C.-D.一

85678

上學(xué)方式

步行乘車(chē)騎車(chē)

4.如圖,

甲B.乙C.丙

5.已知"”=2,a"=3,則a'"?"的值是（）

A.6B.18C.36D.72

6.已知線段8是由線段AB平移得到的，點(diǎn)4（-1,4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C（4,7）,則點(diǎn)8（Y,-1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的

坐標(biāo)為（）

A.(1,2)B.(2,9)C.(5,3)D.(-9,-4)

7.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

8.（a+b）"（〃為非負(fù)整數(shù)）當(dāng)〃=0,1,2,3,…時(shí)展開(kāi)情況如下所示:

(?+Z>)°=1^a+b^-a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b>f=a3+3a2b+?>ab2+by

a+b^=a4+4a3b+6a2b~+Aab3+b4(a+bf=a5+5a4b+10a3b2+\Oa2b3+5ab4+b5...

觀察上面式子的等號(hào)右邊各項(xiàng)的系數(shù)，我們得到了下面的表:

1331這就是南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中列出的一個(gè)神奇的“圖”，他揭示了

14641

15101051

（。+。）”展開(kāi)后各項(xiàng)系數(shù)的情況，被后人稱(chēng)為“楊輝三角”.根據(jù)這個(gè)表，你認(rèn)為（0+6）9展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的

和應(yīng)該是（）

A.128B.256C.512D.1024

二、填空題（每小題2分，共16分）

9.已知點(diǎn)尸坐標(biāo)是（一2,3）,則點(diǎn)P到x軸的距離是.

10.如圖，4ABe/ADCB,若AC=7,BE=5,則DE的長(zhǎng)為.

11.若卜+力卜_力卜2+力=》"_,〃，則加=

12.若/+/以+16是完全平方式，則加的值是.

13.如圖，在aABC中，是它的角平分線，OELAC于點(diǎn)E.若8c=6cm,DE=2cm,則△BCD的面積為

_____cm2

14.在中，A3=5,AC=3,A￡＞是8C邊上的中線，則AO的取

值范圍是.

15.小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分

線.如圖：一把直尺壓住射線OB,另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P,小明說(shuō)：“射線OP就

是NBOA的角平分線.”小明的做法，其理論依據(jù)是_

16.如圖I,AABC中，AD是/BAC的平分線，若AB=AC+CD,那么NACB與

ZABC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小明通過(guò)觀察分析，形成了如下解題思路:

如圖2,延長(zhǎng)AC到E,使CE=CD,連接DE.由

AB=AC+CD,可得AE=AB.又因?yàn)锳D是NBAC平分線，可得4ABD絲4AED,進(jìn)一步分析就可以得到

ZACB與/ABC的數(shù)量關(guān)系.

(1)判定4ABD與4AED全等的依據(jù)是；

(2)ZACB與NABC的數(shù)量關(guān)系為：.

三、解答題(本題共68分，第17題6分，第18題-20題每題5分，第21題6分，第22-24題，

每題5分，第25-26題6分，第27-28題，每題7分)解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.

17.計(jì)算：

(1)(12a?-6a~+3a)+3a

(2)(%+2/-2x(3x+y)+(x+y)(x-y).

18.已知(a+b)2=10,(a—b)2=2,^.a2+b2>質(zhì)的值.

19.如圖，AB，CD交于點(diǎn)O,AD//BC.請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使得

,并加以證明.

20.如圖，在AABC中，ADJ.BC于D,AE平分N84C.若NC=70°,ZB=40°,求ND4E的度數(shù).

21.已知點(diǎn)P（2a—7,3-a）.

(1)若點(diǎn)尸在第三象限，求。的取值范圍；

(2)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為11,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

22.已知a,h,c是△ABC的三邊，若a,b,a^+^lab+lhc-lh2,請(qǐng)你判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由.

23.如圖，在△ABC中，ZC=90°,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在8C上求作一點(diǎn)￡>,使得點(diǎn)。到A8的距離等于CD(保留

作圖痕跡，不寫(xiě)作法).

24.某校為了解落實(shí)“雙減”政策后學(xué)生每天完成書(shū)面作業(yè)的時(shí)間r(單位：分鐘)的情

況，在全校隨機(jī)抽取部分小學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，按四個(gè)組別進(jìn)行整理，繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，請(qǐng)根據(jù)圖

表信息解答下列問(wèn)題：

抽取的學(xué)生作業(yè)時(shí)間統(tǒng)計(jì)表

組別調(diào)查結(jié)果人數(shù)(人)

A30<r<60120

B60<r<90a

C90<r<120180

Dr>12090

抽取的學(xué)生作業(yè)時(shí)間統(tǒng)計(jì)圖

AH304V60

20%8.60這，〈90

BC904V120

35%

D/2120

(1)這次調(diào)查抽取學(xué)生的總?cè)藬?shù)是,B組的學(xué)生人數(shù)。=；

(2)該校共有學(xué)生1500人，請(qǐng)估算該校每日書(shū)面作業(yè)時(shí)間不少于90分鐘的學(xué)生人數(shù)；

(3)請(qǐng)結(jié)合數(shù)據(jù)對(duì)該?！半p減”工作提出一條合理性建議.

25.如圖，△ACB中，點(diǎn)。是A3邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E是。。的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作C口〃A3交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

)求證：△ADE^AFCE；

⑵若CD=CF,Z￡>CF=120%求的度數(shù).

26.如圖，已知班、CF是“SC的邊AC、A8上的高，戶是BE上的一點(diǎn)，且BP=AC,。是CE的延長(zhǎng)線上

的一點(diǎn)，且CQ=A8,求證：AQ=AP且AQ_LAP.

.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，A(a,O),8伽0),C(—L2),且|a+2|+S—3)2=0.

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CO軸交)，軸于點(diǎn)。，點(diǎn)P為線段8延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP,0E平分

ZAOP,OFLOE.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)義竺的值是否會(huì)改變？若不變，求其值；若改變，說(shuō)明理由.

ZDOE

28.對(duì)于代數(shù)式，不同的表達(dá)形式能表現(xiàn)出它的不同性質(zhì).例如代數(shù)式A=X2-4X+5,若將其寫(xiě)成A=(x-2)2+1

的形式，就能看出不論字母x取何值，它都表示正數(shù)；若將它寫(xiě)成4=。-1)2-2(》-1)+2的形式，就能與代數(shù)式

8=2x+2建立聯(lián)系.下面我們改變x的值，研究一下A,B兩個(gè)代數(shù)式取值的規(guī)律：

X-2-10123

B=^-2x+21052125

2

A=(X-1)-2(X-1)+217P5212

(1)表中p的值是；

(2)觀察表格可以發(fā)現(xiàn)：

若x=m時(shí)，8=2尤+2=〃，則工=〃?+1時(shí)，A=x2-4x+5=n.我們把這種現(xiàn)象稱(chēng)為代數(shù)式A參照代數(shù)式

B取值延后，此時(shí)延后值為1.

①若代數(shù)式。參照代數(shù)式B取值延后，相應(yīng)的延后值為2,求代數(shù)式。；

②已知代數(shù)式31-10X+6參照代數(shù)式3/-4X+C?取值延后，請(qǐng)直接寫(xiě)出C的值.

北京景山學(xué)校2022?2023學(xué)年度第一學(xué)期

七年級(jí)數(shù)學(xué)期末試卷

一、選擇題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，每小題2分，共16分）

1.在一個(gè)三角形中，若其中一個(gè)內(nèi)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角的差，則這個(gè)三角形是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.都有可能

A

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和可求解AABC的一內(nèi)角為90°,進(jìn)而可判斷三角形的形狀.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)三角形為AABC，且NA=N3—NC,

則

???A+NC+N3=180。，

2/8=180。，

：.?B90?,

"RC為直角三角形，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出三角形最大角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

2.下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.3X2+2X3=5X5B.a.a'a'C.3a64-aMa2D.（所=/b

B

【分析】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則、同底數(shù)基乘法、整式除法、積的乘方法則分別進(jìn)行計(jì)算，然后選擇正確選項(xiàng).

【詳解】A.不是同類(lèi)項(xiàng)項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.az2=a3,計(jì)算正確，故本選項(xiàng)正確；

C.3a^=3a\計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.Cab）3=aV,計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類(lèi)項(xiàng)法則、同底數(shù)基乘法、整式除法、積的乘方等運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解答本題的

關(guān)鍵.

3.如圖，紅旗中學(xué)七年級(jí)（6）班就上學(xué)方式作出調(diào)查后繪制了條形圖，那么乘車(chē)上學(xué)的同學(xué)人數(shù)占全班人數(shù)的（）

B

【分析】乘車(chē)的同學(xué)占全班的比例為8+48,計(jì)算即得答案.

【詳解】解：由圖中得乘車(chē)上學(xué)的人數(shù)是8人，全班人數(shù)為24+8+16=48(人),

...乘車(chē)上學(xué)同學(xué)人數(shù)占全班人數(shù)的8+48=二，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，熟練掌握觀察條形統(tǒng)計(jì)圖的方法來(lái)解答.

4.如圖，已知AABC,下面甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形中，與AABC全等的是()

A.甲B.乙C.丙

乙50。(

%58°72。入

Cb'

B

【分析】根據(jù)三角形全等的判定逐個(gè)判定即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，

B選項(xiàng)符合邊角邊判定，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的幾個(gè)判定.

5.已知屋'=2,a"=3.則a""”的值是()

A.6B.18C.36D.72

【分析】根據(jù)同底數(shù)基的乘法的逆運(yùn)算和幕的乘方得出=廢％2"="".(優(yōu))2,再代入數(shù)據(jù)即可得出答案.【詳

解】解：當(dāng)d"=2,a"=3時(shí)，

a",+2n=a"'-a2n=。叫(優(yōu)7=2x9=18，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)嘉的乘法的逆運(yùn)算和基的乘方，正確變形、計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

6.已知線段C。是由線段AB平移得到的，點(diǎn)A(-1,4)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C(4,7),則點(diǎn)B(-4,-1)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的

坐標(biāo)為()

A.(1,2)B.(2,9)C.(5,3)D.(-9,-4)

A

【詳解】解：?.?線段。是由線段A8平移得到的，

而點(diǎn)4-1,4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C（4,7）,

由A平移到C點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加5,縱坐標(biāo)增加3,

則點(diǎn)8（-4,-1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,2）.

故選：A

7.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

C

【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為"，由"邊形的內(nèi)角和等于180。（n-2）,

可得方程180（77-2）=1080,

解得：n=8.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出一元一次方程.

8.（a+。）”（〃為非負(fù)整數(shù)）當(dāng)鹿=0,1,2,3,…時(shí)的展開(kāi)情況如下所示：

+=1（a+*=a+b^a+b^=a2+2ab+b~（?+/?）3=?3+3a2h+3>ab2+h3

（a+b）“=<?4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）’="+5a4b+10a^b2+iOa2^+5ab4+。'…

觀察上面式子的等號(hào)右邊各項(xiàng)的系數(shù)，我們得到了下面的表：

1

11

121

1331這就是南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中列出的一個(gè)神奇的“圖”，他揭示了

14641

15101051

（。+3”展開(kāi)后各項(xiàng)系數(shù)的情況，被后人稱(chēng)為“楊輝三角”.根據(jù)這個(gè)表，你認(rèn)為（。+8）9展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的

和應(yīng)該是（）

A.128B.256C.512D.1024

C

【分析】由“楊輝三角”得到：（。+。）"（〃為非負(fù)整數(shù)）展開(kāi)式的項(xiàng)系數(shù)和為2".

【詳解】解：當(dāng)〃=0時(shí)，展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1=2。，

當(dāng)n-\時(shí)，展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為2=2、

當(dāng)"=2時(shí)，展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為4=22,

當(dāng)”=9時(shí)，展開(kāi)式的項(xiàng)系數(shù)和為=29=512,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了“楊輝三角”展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和的求法，通過(guò)觀察展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和，得到規(guī)

律即可求解.

二、填空題(每小題2分，共16分)

9.已知點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(一2,3),則點(diǎn)P到x軸的距離是.

3

【分析】根據(jù)點(diǎn)到x軸的距離等于縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，即可求解.

【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)是(一2,3),

所以點(diǎn)P到X軸的距離是3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，熟練掌握點(diǎn)到工軸的距離等于縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，到y(tǒng)軸的距離等于橫

坐標(biāo)的絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵.10.如圖，4ABC妾△QCB,若AC=7,BE=5,則。E的長(zhǎng)為.

【詳解】試題解析：:△ABC絲△OC8,

：.BD=AC=1,

?:BE=5,

：.DE=BD-BE=2

11.若-=-V，則祖=,n-.

①.4②,8

【分析】根據(jù)平方差公式，進(jìn)行乘法運(yùn)算，找到相、”的值便可求解.

【詳解】(-v+y2)(x-y2)(x2+/)=(x2+/)(x2-/)=x4-/

：.m=4,〃=8故答案為：4,8.

【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，熟練運(yùn)用平方差公式是解題的關(guān)鍵.

12.若f+〃猶+16是完全平方式，則加的值是.

±8【分析】根據(jù)完全平方公式，即可求解.

【詳解】解：；x?±8x+16=(x±4)2,x2+如+16是完全平方式,

m=±8.

故答案為：±8

【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式/±2出?+/=(.±8)2是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在△ABC中，C￡>是它的角平分線，OELAC于點(diǎn)E.若BC=6cm,DE=2cm,則△BC￡>的面積為

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)計(jì)算即可;

【詳解】作￡>尸±BC,

故答案是6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

14.在AABC中，AB=5,AC=3,AO是8。邊上的中線，則AO的取值范圍是

1<AT><4【分析】延長(zhǎng)AO到E,使。七=4),可證得△A8O四△EC。，可得CE=AB,再根據(jù)三角形的三

邊關(guān)系，即可求解.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AZ)到E,使。E=AQ,

,/AD是3c邊上的中線，

:.BD=CD,

在△ABO和AECD中，

'BD=CD

<NADB=NED,

DE=AD

：.△ABO也△ECD(SAS),

:.CE=AB,

AB=5,AC=3,

：.5-3<AE<5+3,

即2<AE<8,

."?1<AD<4.

故答案為：1<AD<4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意得到△ABDgZXECD是解題的

關(guān)鍵.

15.小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分

線.如圖：一把直尺壓住射線0B,另一把直尺壓住射線0A并且與第一把直尺交于點(diǎn)P,小明說(shuō)：“射線0P就

是NBOA的角平分線.”小明的做法，其理論依據(jù)是一

在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可證明.

【詳解】因?yàn)橹背叩膶挾纫粯?，故點(diǎn)P到A0與B0的距離相等，故可知P0為角平行線.

【點(diǎn)睛】此題主要考查角平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì).

16.如圖1,AABC中，AD是NBAC的平分線，若AB=AC+CD,那么NACB與NABC有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？小明通過(guò)觀察分析，形成了如下解題思路：

延長(zhǎng)AC到E,使CE=CD,連接DE.由

可得△ABDgAAED,進(jìn)一步分析就可以得到

ZACB與NABC的數(shù)量關(guān)系.

(1)判定4ABD與aAED全等的依據(jù)是

(2)ZACB與/ABC的數(shù)量關(guān)系為：.

?.SAS(2).ZACB^2ZABC

【分析】(1)根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：(1)；AE=AB,ZBAD=ZCAD,AD=AD,

.?.△ABD^AAED(SAS),

故答案為：SAS；

(2)ZACB=2ZABC

理由如下：

/\ABD=i\AED,

:.ZB=NE,

■：CD=CE,

:./CDE=/E,

ZAC3=2NE,

ZACB=2ZABC.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本題共68分，第17題6分，第18題-20題每題5分，第21題6分，第22-24題，

每題5分，第25-26題6分，第27-28題，每題7分)解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.17.

計(jì)算：

(1)(12Q3-6a~+3a)+3a

(2)(x+2y)~-2x(3x+y)+(x+y)(x-y).

(1)4a2-24+1；

(2)—4%2+2xy+3_y'.

【分析】(1)直接利用整式的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；

(2)直接利用乘法公式以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案.

【小問(wèn)1詳解】

解：(12/—+3a)+3a

=12a33a—6。~+3a+3a+3a=4ci~—2a+1；

【小問(wèn)2詳解】

解：(x+2y)~—2x(3x+y)+(x+y)(x—y)

=x2+4xy+4y2-6x2-2xy+x2-y2=-4x2+2xy+3y2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

18.已知(a+6)2=io,5―bp=2,^.a2+b2>ah的值.

/+=6;ah=2

【分析】利用完全平方公式求解即可.

【詳解】解：???3+加2=10,3一份2=2,

a2+b2=g[(a+Z?)2+(a—0)2]=(x(10+2)=6,

"=；x[(a+〃)2—(a—b)2]=；x(10—2)=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式(a±〃)2=a2±2aA+/是解答本題的關(guān)鍵.

19.如圖，AB，CD交于點(diǎn)O,AD//BC.請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使得

,并加以證明.

添加條件AO=3O(AZ)=3C或。0=8),理由見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法即可判斷.

【詳解】添加條件AO=3O(AT)=3C或OO=CO).

證明：Z4=ZB.

NA=NB,

在A4。。和ABOC中，，AO=BO,

ZAOD=NBOC.

：.AAOD^ABOC(ASA).

添加OD=OC或AD=BC同法可證.

故答案OA=OB或OD=OC或AD=BC.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

20.如圖，在44BC中，ADJ.BC于D,AE平分/B4C.若NC=70。，ZB=40°,求ND4E的度數(shù).

【分析】根據(jù)垂直的定義得到NAOC=90°，利用角平分線的定義得到NE4C=LNB4C,再根據(jù)三角形內(nèi)角

2

和定理計(jì)算即可；

【詳解】解：?.?4OS3C于。，

/.ZADC=90°,

ZZMC=90°-ZC,

,?*AE平分NB4C,

ZEAC=-ZBAC,

2

ZfiAC=180°-Zfi-ZC.AZE4C=90°--ZB--ZC,

22

/.ZDAE=ZEAC-ZDAC

=90?！猤/C—（9（V—NCj=g（NC—NB）,

VZC=70°,NB=40°,

ZDA￡=1（70o-40°）=15°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合角平分線性質(zhì)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

21.已知點(diǎn)*20—7,3—Q）.

(1)若點(diǎn)尸在第三象限，求〃的取值范圍；

(2)點(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離為11,求點(diǎn)p的坐標(biāo).

7

(1)3＜。＜—

2

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11,一6）或（一11,5）

[2?-7<0

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)若在第三象限可知《、八，進(jìn)而問(wèn)題可求解；

3-a<Q

（2）根據(jù)點(diǎn)尸到），軸的距離為11可知|2。一7|=11,進(jìn)而問(wèn)題可求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：由題意得：

,2〃-7<07

,解得：3<6;<—；

3-QVO2

【小問(wèn)2詳解】

解：由題意得：|2a—7|=11,

解得：或。二一2,

，當(dāng)。=9時(shí)，則3—。二一6；

當(dāng)。二一2時(shí)，貝！）3—。=5,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11,一6）或（一11,5）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)所在的象限，熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

22.已知a,b,。是4ABC的三邊，若m江c滿足a2+c2=2ah+2bc-2b2,ABC的形狀，并說(shuō)明理由.4ABC

是等邊三角形，理由見(jiàn)解析.

【分析】運(yùn)用完全平方公式將等式化簡(jiǎn)，可求a=b=c,則4ABC是等邊三角形.

【詳解】解：AABC是等邊三角形，理由如下：

*/a2+c2=2ab+2hc-2b2

'a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0

（a-b）2+（b-c）2=0

a-b=O,b-c=O,

a=b,b=c,

a=b=c

???AABC是等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，整式的混合運(yùn)算，熟練運(yùn)用完全平方公式解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.

23.如圖，在AABC中，ZC=90°,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在3C上求作一點(diǎn)O,使得點(diǎn)。到A3的距離等于CD（保留

作圖痕跡，不寫(xiě)作法）.

見(jiàn)解析

AR

【分析】要使點(diǎn)。到A3的距離等于CD,只能是/C4B的角平分線，按照角平分線的作圖方法作出圖形即可.

【詳解】解：作出NC43的角平分線和8c交于點(diǎn)如下圖所示:

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理以及角平

分線的畫(huà)法是解決本題的關(guān)鍵.

24.某校為了解落實(shí)“雙減”政策后學(xué)生每天完成書(shū)面作業(yè)的時(shí)間r(單位：分鐘)的情況，在全校隨機(jī)抽取部分小

學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，按四個(gè)組別進(jìn)行整理，繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，請(qǐng)根據(jù)圖表信息解答下列問(wèn)題：

抽取的學(xué)生作業(yè)時(shí)間統(tǒng)計(jì)表

組別調(diào)查結(jié)果人數(shù)(人)

A30<r<60120

B60<t<90a

C90<r<120180

Dt>12090

抽取的學(xué)生作業(yè)時(shí)間統(tǒng)計(jì)圖

430W/<60

8.60?90

C90&V120

D/2120

(1)這次調(diào)查抽取學(xué)生的總?cè)藬?shù)是，B組的學(xué)生人數(shù)。=；

(2)該校共有學(xué)生1500人，請(qǐng)估算該校每日書(shū)面作業(yè)時(shí)間不少于90分鐘的學(xué)生人數(shù):

(3)請(qǐng)結(jié)合數(shù)據(jù)對(duì)該?！半p減”工作提出一條合理性建議.

(1)600,210

(2)該校每日作業(yè)時(shí)長(zhǎng)不少于90分鐘的學(xué)生人數(shù)為675人

(3)建議該學(xué)校作業(yè)布置要減少題量或降低難度.(答案不唯一)

【分析】(1)根據(jù)總?cè)藬?shù)=A組人數(shù)+A組所占百分比，總?cè)藬?shù)x8組百分比，即可求出本題答案；(2)1500x不低于

90分鐘學(xué)生的百分比，即可求出結(jié)果；（3）合理即可.

【小問(wèn)1詳解】

這次調(diào)查抽取學(xué)生的總?cè)藬?shù)是600,B組的學(xué)生人數(shù)。=210；

故答案為：600,210；

小問(wèn)2詳解】

1500x（1-55%）=675（人），

答：該校每日作業(yè)時(shí)長(zhǎng)不少于90分鐘的學(xué)生人數(shù)為675人：

【小問(wèn)3詳解】

該校每日作業(yè)時(shí)長(zhǎng)不少于90分鐘的學(xué)生人數(shù)占比高達(dá)45%,建議該學(xué)校作業(yè)布置要減少題量或降低難度.（答案

不唯一，理由合理即可，沒(méi)有結(jié)合數(shù)據(jù)得1分）

【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖，考查數(shù)據(jù)處理和分析的能力，解題關(guān)鍵在從不同的圖中讀出相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)

量.

25.如圖，/XACB中，點(diǎn)。是A8邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CV〃A3交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

⑵若CD=CF,Z￡>CF=120%求的度數(shù).

（1）見(jiàn)解析（2）ZACD=30°

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，得出DE=CE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出=,

NDAE=NCFE,即可解得.

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ZB￡）C=60°,再根據(jù)zMOE三△尸CE得出AD^CF,再根據(jù)已知可得AD=CD,

即可求得.

【小問(wèn)1詳解】

證明：???點(diǎn)E是的中點(diǎn)，

DE=CE，

?：CF//AB,

ZADE=ZFCE,ZDAE=ZCFE,

在AADE和AECE中，

NADE=NFCE

<NDAE=NCFE,

DE=CE

AADE三AFCE(AAS)；

【小問(wèn)2詳解】

解：,/CF//AB,NDCF=120°,

：.ZBDC+4DCF=180°,

ZBDC=60°,

由(1)可知，ZXADE^AFCE.

AD=CF,

CD=CF,

AD=CD>

：.ZACD=ACAD=-4BDC=30°.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識(shí),

熟練掌握平行線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.26.如圖，已知跖、CF是廿3。的邊AC、AB上的

高，P是BE上的一點(diǎn)，且3P=AC,。是CF的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CQ=AB,求證：4。=42且4。，4/\

【分析】先利用SAS定理證出AAPB會(huì)AQAC,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AP=AQ,ZBAP^ZCQA,然

后根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余、等量代換即可得.

【詳解】證明：:BE、CF是AABC的邊AC、A8上的高，

:.CF±AB,BE1AC，

:.ZAEB=ZAFC=90°,

ZABP=90°-ABAC=ZQCA.

在△APB和△QAC中，

BP^CA

<NABP=ZQCA,

AB=QC

.?.△APB%04c(SAS).

AP^AQ,NBAP=NCQA.

又?.CAB,

ZCQA+ZQAF=90°,

NBAP+AQAF=90°,即NPAQ=90°,

...APA.AQ.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余，正確找出兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵.

27.如圖在平面直角坐標(biāo)系中，A（a,0）,6e,0）,C（-l,2）,且

（1）求4,6的值；

（2）在y軸的上存在一點(diǎn)M,使S.OM=gs08c，求點(diǎn)M的坐標(biāo);

（3）如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CCy軸交），軸于點(diǎn)O,點(diǎn)P為線段延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP,OE平分

ZAOP,OF±OE.當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)區(qū)"的值是否會(huì)改變？若不變，求其值；若改變，說(shuō)明理由.

乙DOE

（1）a=—2,b=3

（2）（05）或（0,-5）,

Z.OPD區(qū)要=2,理由見(jiàn)解析

（3）-------的值是定值,

NDOE4DOE

【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，即可進(jìn)行解答；

（2）先根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)求出求出S“BC的值，再根據(jù)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)最后根據(jù)三角形的

面積公式將54。用表示出來(lái)即可；

（3）根據(jù)得出NAQE+NFQB=90°,NEOP+ZPOFugO。，再根據(jù)OE平分NAOP得出

ZAOE=NEOP,進(jìn)而得出ZDQ￡=ZF。？，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N