正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像

7.3.1正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像

。常考題型目錄

題型1正弦函數(shù)周期性的應(yīng)用.......................................................................3

題型2五點(diǎn)作圖法畫正弦函數(shù)圖像...................................................................5

題型3正弦函數(shù)與不等式...........................................................................12

題型4與正弦函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問題..................................................................18

題型5正弦函數(shù)的奇偶性...........................................................................27

?類型1函數(shù)奇偶性的判斷...................................................................27

?類型2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用...................................................................28

題型6利用單調(diào)性比較大小........................................................................31

題型7正弦函數(shù)的值域與最值問題..................................................................36

?類型1普通型..............................................................................37

?類型2二次函數(shù)............................................................................38

?類型3反比例型函數(shù).......................................................................41

?類型4對(duì)勾函數(shù)............................................................................41

?類型5根號(hào)函數(shù)............................................................................42

?類型6含參最值（取值范圍）問題............................................................42

?類型7有解問題............................................................................43

?類型8不等式恒成立問題...................................................................46

?類型9解答題..............................................................................48

任知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一,函數(shù)的周期性

（1）一般地，設(shè)函數(shù)4M的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)非零常數(shù)7?，使得對(duì)每一個(gè)尾。都有x+七。，且拉

+7）=癡,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)廠叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

（2）如果在周期函數(shù)4M的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)叫做的最小正周期.

2.正弦、余弦函數(shù)的周期性

正弦函數(shù)片sinM*GR）和余弦函數(shù)片cosM*eR）都是周期函數(shù)，2代（ZGZ，且石0）都是它們的周期.最

小正周期為2TL

知識(shí)點(diǎn)二.正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)正弦函數(shù)丫=5加

定義域R

值域[-1,1]

奇偶性奇函數(shù)

周期性最小正周期21

增區(qū)間［20O-g,200+芻

單調(diào)區(qū)間kez

減區(qū)間［20〃+g,2口口+靜

最大值點(diǎn)(2口口+弓,7)

最值點(diǎn)kez

最小值點(diǎn)(20口-目,—7)

對(duì)稱中心kwZ（女4,0）

.7C

對(duì)稱軸keZX=K7C-\——

2

知識(shí)點(diǎn)三.正弦曲線

1.定義：正弦函數(shù)片sinx,xwR的圖象叫正弦曲線.

2.正弦函數(shù)圖象的畫法

⑴幾何法：

①利用單位圓上點(diǎn),sin用)畫出y=sinx,x￡［0,2n］的圖象；

②將圖象向左、向右平行移動(dòng)(每次2Tl個(gè)單位長(zhǎng)度).

(2)五點(diǎn)法:

(TT)(3n、

①畫出正弦曲線在【0,2E上的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,0),T,1,(n,0),行，-1,(2n,0),用光滑的

一(2)--------12)----------

曲線連接；

②將所得圖象向左、向右平行移動(dòng)(每次2n個(gè)單位長(zhǎng)度).

C題型分類

題型1正弦函數(shù)周期性的應(yīng)用

【方法總結(jié)】求三角函數(shù)周期的方法

(1)定義法：即利用周期函數(shù)的定義求解.

⑵公式法：對(duì)形如y=As\r\{(vx+3)或y=Acos(cux+9)(4,3,謾常數(shù)，加0,3#0)的函數(shù),T

2TI

(3)觀察法：即通過觀察函數(shù)圖象求其周期.

、

TI

【例題1】定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期為TT，且當(dāng)XG0時(shí)，

f(x)=sinx,則f［三-等于()

7

也也

11

B-C.D.安

A-》222

【答案】D

啕㈤nA/3

【解析】3'3sin32'

【變式1-1]1.(2023?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)0(。是以4為周期的奇函數(shù)，且。(-1)=1,則

sinn￡7(5)+g=.

【答案】-1

【分析】利用周期性和奇偶性求得口(5)，代入計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)椤?0(。是奇函數(shù)，所以0(1)=-0(-1)=-1,

又因?yàn)榈闹芷跒?,所以0(5)=0(1)=-1,

所以sinn/7(5)+]=sinf-n+1)=sin(一=-1，

故答案為：-1

【變式1-1】2.已知0(。是定義域?yàn)镽且周期為2的函數(shù)，當(dāng)Oe[-1,1)時(shí)，0(。=

-2ZJ2+4,-1<D<0,

則0(3).嗚=()

sinOQO<U<1,

A.V3B.-A/3C.-1D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性及其解析式分別求出口(3)、口仔)的值，進(jìn)而求口(3)?口得)即可.

OU

【詳解】???￡7(。的周期為2,則0(￡7+2)=￡7(￡7),又￡7(￡7)=「2彳著不1<D<0,

smUU,0<U<1,

.R(3)=￡7(3-4)=0(-1)=2,￡7(y)=□怎-2)=0(》=si吟=[

故。(3)-口電=1.

故選：D.

3ncosx-z-<x<0,

【變式1-1]3.設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽,最小正周期為萬的函數(shù)，若f(x)=jz2則f

[sinx,0<x<n,

15*

--的值等于()

47

A.1B.C.0

'2。?邛

【答案】B

'15n\「3n3n’3T?|3TT

【解析】f=f-3~4=sin—=--.

\"JLzlJ42

【變式1-1]4.已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x+2)=-品(f(x)tO).

Q)求證：函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；⑵若f(l)=-5,求偵5))的值.

111

證明⑴???f(x+2)=-------,.-.f(x+4)=--------=-------=f(x),，f(x)是周期函數(shù)，4就是它的

XTX+/aL

fX

一個(gè)周期，

-1-11

⑵解.4是f(x)的一個(gè)周期.，f(5)=f(l)=-5,.-.f(f(5))=f(-5)=f(-l)=-——^―==c-

T-1+zT1□

TT~|「5

【變式1-1]5.已知f(x)是以TT為周期的偶函數(shù)，且xe0,5時(shí)，f(x)=1-sinX,求當(dāng)xw開，3TT時(shí)f(x)

的解析式.

5-I「n]」n

【解析】XW開，3n時(shí)，3n-XW0,5,因?yàn)閤G0,Q時(shí)，f(x)=1-sinx,所以f(3n-x)=l-sin(3

n-x)=1-sinx.又f(x)是以n為周期的偶函數(shù)，所以f(3n-x)=f(-x)=f(x),所以f(x)的解析式為f(x)=1

-5'

-sinx,xepr,3n.

題型2五點(diǎn)作圖法畫正弦函數(shù)圖像

【方法總結(jié)】五點(diǎn)法作丫=$加,xe[O,2川的圖象的步驟：

fn1f3n)

①確定五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：幽，T,1,。，0)-,-1,(2n,0),

\r71/7

②描點(diǎn)作圖.

【例題2-1]用五點(diǎn)法畫y=3sinx,在[0,2n]的圖象時(shí)，下列哪個(gè)點(diǎn)不是關(guān)鍵點(diǎn)()

/八

Tl3n

A一—B-,3C.(n,0)D.(2n,0)

6'2

\))

【答案】A

TT3TT

【解析】五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是0,-,n,y,2n.

【變式2-1]1.用“五點(diǎn)法"作函數(shù)O=2sin@￡[0,2a上的圖象時(shí)，應(yīng)取的五個(gè)點(diǎn)依次為

【答案】(0,0)仔2)30)(苧，-2)(2&0)

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的"五點(diǎn)"，即可代換求出.

【詳解】由洋=sinGl"五點(diǎn)"(0,0),侈1),(a0),(箓一1),(200)即可知，函數(shù)知=2sin。田0,20

上應(yīng)取的五個(gè)點(diǎn)為(0,0),(f,2),(￡70),(手，一2),(20,0).

故答案為：(0,0),(f,2),(￡70),(苧,-2),(20,0).

【變式2-1】2.用“五點(diǎn)法"畫函數(shù)y=2-3sinx的圖象時(shí)，首先應(yīng)描出五點(diǎn)的橫坐標(biāo)是()

nn3nITJTI

li

AO15KB.0,-zTTzy,2n

nnTI2n

C.0，n,2TT,3TI,4nD0————

'6'3'2'3

【答案】B

n37T

【解析】所描出的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)與函數(shù)y=sinx的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，即0,5,TT,萬，2兀

【例題2-2】用五點(diǎn)描點(diǎn)法作下列函數(shù)的圖像：

(1)￡7=1-s\nDfDe[0t2/J\;

⑵。=1+sin/J；UE[-LJ,IJ\.

(3)￡7=sin(￡7+￡7)-1.

(4)ZZ7=sinZ7-2zDe[-O,U\;

(5)0=1-2sin。，He[0,2。.

【詳解】(1)由題意,利用五點(diǎn)法作出函數(shù)。=1-sin￡7口￡[02。)的簡(jiǎn)圖：

列表：

D3D

n0口2￡7

~2T

sinZZZ010-10

D

10121

=1-sin/Z7

描點(diǎn)、連線，可得函數(shù)。=1-sinO,￡76[0,2。]的圖象，如圖所示,

(2)由函數(shù)。=1+sinaOe[-C,!J\,

列表:

_Da

n-n0[J

~2

sinZZZ0-1010

D

10121

=1-sin￡7

描點(diǎn)、連線，可得函數(shù)0=1+sin。,Oe[-Z7,口的圖象，如圖所示,

_3D_D

X-2D-D0

~~T~~2

D

D+口0D

~~2~2

sin(￡7+D)0-1010

sin(ZZ7+ZZ7)

-1-2-10-1

-1

描點(diǎn)作圖如圖所示.

(4)列表：

_Dn

X-u0口

~~2~2

sinx0-1010

sinx-2-2-3-2-1-2

描點(diǎn)，畫出圖形如下：

(5)列表：

D30

X0D2口

~2~T

sinx010-10

l-2sinx1-1131

描點(diǎn)，畫出圖形如下：

【例題2-3]函數(shù)片sin（-吊，xe[0,2n]的簡(jiǎn)圖是（）

【答案】B

【解析】由y=sin（-M=-sinx可知，其圖象和y=sinx的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.

生排除A9

【變式2-3】1,函數(shù)。=2—sin。，口6[0,221的簡(jiǎn)圖是（）

【答案】A

【分析】利用五點(diǎn)作圖法可得出函數(shù)口=2-sin。，De@2￡7）的簡(jiǎn)圖.

【詳解】列表:

D3口

D0[J2口

~2~T

sin/7010-10

21232

=2-sin￡7

觀察各圖象發(fā)現(xiàn)A項(xiàng)符合.

故選：A.

【變式2-3]2.函數(shù)y=sin兇的圖象是（）

sinx,x>Q,

【解析】片sin|M=結(jié)合選項(xiàng)可知選B.

-sinx,%<0,

【變式2-3]3.如圖中的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是（）

A.y=|sinMB.y-sin兇

C.y=-sin|A）D.y=-|sinA|

【答案】C

【解析】排除法，可知C正確.

【變式2-3J4.（2022秋?福建寧德?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，函數(shù)。=cosOtan。（0<D<|n且

口,白的圖像是（）.

【答案】C

【分析】將函數(shù)解析式化成分段函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象判斷即可.

sinQO<□<；

【詳解】解：因?yàn)椤?cos￡7|tanZJ|=4一sin&；<U<n>

.__3n

sin/Z/n<□<—

所以函數(shù)圖象如C所示.

故選：C

【例題2-4】已知。=cos（□-子口?=1+sin。,則的圖象

A.與0（。的圖象相同

B.與0（。的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

C.向上平移1個(gè)單位彳導(dǎo)。（。的圖象

D.向下平移1個(gè)單位彳導(dǎo)口（O的圖象

【答案】C

【解析】由已知〃（O=sinO

【詳解】解：口（口=cos（/7-當(dāng)=sinZ7,其向上平移1個(gè)單位即可得到0（。的圖像，故C正確，A錯(cuò)

誤；0（的圖像與。（2）的圖像即不相同也不關(guān)于y軸對(duì)稱，故BD錯(cuò)誤.

【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的圖像，是基礎(chǔ)題.

【變式2-4］在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)片sinx,*曰0,如］與y=sinx,xe［2n,4n］的圖象（）

A.重合B.形狀相同，位置不同C.關(guān)于y軸對(duì)稱D.形狀不同，位置不同

【答案】B

【解析】根據(jù)正弦曲線的作法可知函數(shù)片sinx,代［0,2川與y=sinx,后［2TT,4n］的圖象只是位置不

同，形狀相同.

題型3正弦函數(shù)與不等式

【方法總結(jié)】用三角函數(shù)圖象解三角不等式的步驟

Q）作出相應(yīng)的正弦函數(shù)在［0,2川上的圖象；

（2）寫出不等式在區(qū)間。2川上的解集；

（3）根據(jù)公式一寫出定義域內(nèi)的解集.

【例題3］（2023?高一課時(shí)練習(xí)）觀察正弦函數(shù)的圖像，可得不等sinOS；的解集為.

【答案】卜2K-2口￡2次+2,□eQ

【分析】畫出。=sin中）圖像，根據(jù)圖像確定正確答案.

【詳解】畫出sinOK］圖像如下圖所示,

由圖可知，不等sinO4的解集為10%2上嗑〃€可

故答案為：O<2￡7n+^Z7Go］

平的解集是(

【變式3-1]1.在[0,23內(nèi),不等式sinx<-)

n(4TT5TT、5TT、

A.(0,TT)Bg司C.m司D.—,2n

l。/

【答案】C

TTy[i

【解析】畫出片sinx,XC[0,2TT]的草圖如下.因?yàn)閟in-=,

/\/、平.即在OM內(nèi)，滿足si…4TT5TT

nno3丁2a

!\/x

所以sinn+-zsin2n-~

4n5n(4Tl5TT]

二刀或？.可知不等式sinx<-的解集是Y,-7.故選C.

【變式3-1]2.(1)函數(shù)口(口=Ji-Q+病運(yùn)的定義域?yàn)?/p>

(2)函數(shù)￡7(。=logsin〃(2sinO-1)的定義域?yàn)?

(3)函數(shù)口(口)=1+質(zhì)泊的定義域?yàn)開________.

-vzsinz-z—1

【解析】(1廣.,函數(shù)。(O=11-Q+VsiFo,

.’一羽斗，得1~2^0-2，解得04口夕,

(.sm￡7>0[2￡7n<￡7<n+2￡7rr,￡7eZ

二函數(shù)的定義域?yàn)閇。曰.

故答案為：[。曰.

(2)要使函數(shù)0(。=logsin￡7(2sin￡7-1)有意義，

2M＜口＜25+9口=

2sinO-1>0

則有，解得：<

sinO^1□豐2ZZ7n+pZZ7eZ

.sin￡7>0

所以<D<ZJeZ或2次+；<D<2￡7TT+5,Z7GZ,

6226

則函數(shù)的定義域?yàn)間+2Onq+2On)uq+2DT?+2〃n)(OeZ),

故答案為：+2Z7rr,+2Z7n)u+2Z7rt,y+20^(￡7GZ).

(3)由題意，2sin/Z7_1>0=>sinZZ7>；=口G+2,LJLJ,--+2ZZ7ZZ7)(ZZ7GZ).

故答案為:仁+2□喟+2口“口小

【變式3-1】3.(2022?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)。(。是定義在。上的增函數(shù)，￡7(0,-1),。(3,1)是

其圖象上的兩點(diǎn)，那么|O(2sinO+1)|<1的解集為.

I答知皿口口-3口二2口口小,口€LJ}

【分析】由函數(shù)的單調(diào)性可得-；Wsinow1,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求2勺范圍，即可得解集.

【詳解】由|Z7(2sinO+1)|<1知：-1<Z7(2sinO+1)<1,

又0(。是定義在入的增函數(shù)且過0(0,-1),0(3,1)，

所以。<2sinO+1<3,即一耳WsinZ7<1,

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)：2￡7￡7-f<￡7<2￡7O+^,r7e￡7,故不等式解集為{0)200-臺(tái)D<

2口口4,口€0.

故答案為：[U\2DD-^<口32口□黑，口ED]

【變式3-1]4.用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)。=1-sin￡7,￡76[0,2Q的大致圖象，并寫出使得1S0三2的

O的取值范圍.

【答案】圖像答案見解析，{0}u2a.

【分析】根據(jù)五點(diǎn)作圖法的方法畫圖，再計(jì)算。=1-sin。，口€[0,2。的零點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圖象直接求解

使1W2的口的取值范圍即可.

【詳解】解：列出函數(shù)圖像上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示.

畫出函數(shù)圖象，如圖所示：

令口=1,有1-sin〃=3口€[0,2Z7|,

解得：口=0,口2=口,口3=2口,

令￡7=2,有1一sin￡7=2,￡7e[0,2Z7|,

解得：￡7=苧,

由圖可知：當(dāng)。e{0}u[&2Q時(shí)，有1w2.

【變式3-1]5.（2023秋?吉林長(zhǎng)春?高一長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┰?口口收,sin￡7＜混。＜□＜三

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】通過三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合充分條件與必要條件的推導(dǎo)即可得出答案.

【詳解】在4口□*,sinO＜^,

則。＜口＜別凈＜口＜口,

OO

故sin。（暴不出0<。<營，0<可推出sin〃<"

ZOOZ

則在△口口坊,sinO<g是0<〃<那必要不充分條件，

故選：B.

【變式3-1]6.（2022?上海楊浦?統(tǒng)考一模）在4口口收,口=%,則"sin￡7<；”是"△?？诳谑氢g

角三角形”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】先解三角不等式，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【詳解】在^口□*,由sin〃（乎導(dǎo)：0<￡7<g或!<￡7<n,而O=§,貝!|0<O<?,因此得0<

□</

于是得。=”-口-口>》2?？诳谑氢g角三角形，

當(dāng)仆OO喉鈍角三角形時(shí)，取鈍角。=，sinO=sin^=sin^>sin；=噂>；,

即^。。砥鈍角三角形不能推出sin。<\,

所以"sin〃<g"是是鈍角三角形"的充分而不必要條件.

故選：A

【變式3-1]7.（2021秋?四川雅安?高一雅安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知sin〃<cos口,那么銳角a的取值

范圍是（）

A.30°<￡7<45°B.0°<￡7<45°C.45°<U<60°D.0°<￡7<90°

【答案】B

【分析】根據(jù)cos￡7=sin（90°-。結(jié)合銳角范圍內(nèi)正弦值隨著角的增大而增大，得到D<90°-口,即可

求得答案.

【詳解】解：:cosZ7=sin(90°-D),.'.sin/J<cos￡7=sin(90°-D),

又在銳角范圍內(nèi)正弦值隨著角的增大而增大，得口<90。-。,

:.口<45°,又a是銳角，貝！la的取值范圍是0°<。<45°,

故選：B.

【變式3-1]8.(2022?高一課時(shí)練習(xí))已知。(。是定義在[一5,5]上的偶函數(shù)，當(dāng)一5W0時(shí)，口(□)

的圖象如圖所示，則不等式算<0的解集為()

A.(-a-2)u(0,2)U(a5]B.(-a-2)U(￡Z5]

C.[-5,-2)U(0,￡7)u(￡75]D.[-5,-2)U(口,5]

【答案】A

【分析】由對(duì)稱性可得口(。>。和□(口<0的解集，結(jié)合sinU的正負(fù)可求得不等式的解集.

【詳解】???口(。)是定義在[-5,5]上的偶函數(shù)，，其圖象關(guān)于a由對(duì)稱，

結(jié)合圖象可知：當(dāng)口€[-5,-2)U(2,5]時(shí)，0(￡7)>0；當(dāng)￡7e(-2,2)時(shí)，口(口<0；

由第<。得:舄或匕

—2或0<LJ<2或￡7<LJ<5,

嘿<。的解集為(一a-2)U(0,2)U(￡Z5].

故選：A.

【變式3-1]9.已知定義在。上的函數(shù)0(。滿足：口(□+口=20(0),且當(dāng)口e[0,4時(shí)，口?=

sin。.若對(duì)任意的口e(-8,日，者隋<2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【答案】(-8,攀|

【分析】根據(jù)。(。+口=20(27),且當(dāng)Z7e[0,。時(shí)，口(口=sin。，類比周期函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)

的解析式，然后作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【詳解】當(dāng)。e[0,均時(shí)，口(口=sinO;

當(dāng)。€(口2a時(shí)，U-Z7e(0,Z7|,Z7(Z7)=2￡7(E7-U)=2sin(O-D)=-2sin/7,

當(dāng)￡7€(2口3。時(shí)，O-De(￡72￡7],O(Z7)=2￡7(￡7-D)=-4sin(￡7-U)=4sin￡7,

當(dāng)De(-aO]時(shí)，0+06(0,a,U(JJ)=；□(□+U)=*(□+口=-；0n口,

則函數(shù)0(。的圖象如圖所示：

當(dāng)￡76(2。,3a時(shí)，￡7(O=4sin￡7=2,解得□=*,

O

若對(duì)任意的口e(-8,可，都有。(?<2,

則公竽

故答案為：(-8,3耳.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)解析式的求法，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想

好推理求解問題的能力，屬于中檔題.

題型4與正弦函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問題

【例題4-1[(2023?高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)0=sin中]圖像與直線0=g的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

【分析】令0=與求出函數(shù)值，即可得解.

【詳解】解：令〃=4導(dǎo)〃=sinf=sin(n-方=sin；=1,

JJ\'J/J/

所以函數(shù)0=sinO的圖像與直線〃=’的交點(diǎn)坐標(biāo)信亨）.

故答案為：住用

【變式4-1】（2023?高一課時(shí)練習(xí)涵數(shù)。=sin0+：,口€[。,2司的圖像與直線。=1的交點(diǎn)坐標(biāo)為

【答案】或僅1）

【分析】令0=1,即可得到sin￡7=；,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】解：因?yàn)镈=sin口+1令。=1，即sin〃+g=1，則sinD=]

所以。=《+2On（DeZ）或￡7=黑+2On（￡7eZ）,

因?yàn)镺e[o,2n],所以0=3或￡7=!，

所以函數(shù)O=sinZ7+1,Z7G[o,2n]的圖像與直線〃=1的交點(diǎn)坐標(biāo)為?；蛐?1）.

故答案為：（21）或（票,1）

【例題4-2]（多選）函數(shù)口=3+sin口OeG,2n）的圖像與直線￡7=口（口為常數(shù)）的交點(diǎn)可能有

()

A.0jB.ljC.2jD.3j

【答案】ABC

【分析】作出函數(shù)0=3+sin口￡7e（；,2n）與口=中]圖象，數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中，作出口=3+sin口Oe弓，2n）與。=譴象，

由圖象可知，

函數(shù)。=3+sinU,Ue&，2n）的圖像與直線口=。（口為常數(shù)）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0,1,2,

故選：ABC

【變式4-2】1.函數(shù)y=l+sinx,后。2川的圖象與直線y=2交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由函數(shù)y=l+sinx,xe[0,2n]的圖象（如圖所示）,可知其與直線y=2只有1個(gè)交點(diǎn).

【變式4-2】2.（2022春?上海楊浦?高一?？计谥校┖瘮?shù)O=10sin。與函數(shù)口=可圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

（）

A.3B.6C.7D.9

【答案】C

【分析】作出函數(shù)0=10sinC?nO=木圖象，由圖象可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

【詳解】□=10singj最小正周期是20,□=10sinHe[-10,10],

口=De[—10,10]時(shí),Ue[-10,10],作出函數(shù)〃=10sinOfflZ7=中圖象,只要觀察。e[TO,10]的

圖象，由圖象知它們有7個(gè)交點(diǎn),

故選：C.

【變式4-2】3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）方程2〃=sin中解的個(gè)數(shù)為.

【答案】無窮多個(gè).

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得解.

【詳解】方程2°=sinO的解的個(gè)數(shù)等價(jià)于：函數(shù)口（。=2°與函數(shù)0（0=sin磔點(diǎn)的個(gè)數(shù).

當(dāng)〃<0時(shí)，函數(shù)=2°的值域?yàn)椋?,1）,且連續(xù)單調(diào)遞增，

而函數(shù)0（。=sinOe[-1,1]且以。=211為周期的周期函數(shù)，且在。<0時(shí)連續(xù).

所以函數(shù)0（。=2〃與函數(shù)￡7（。=sin分點(diǎn)的個(gè)數(shù)有無數(shù)個(gè)，

即方程2°=sin則解的個(gè)數(shù)為無窮多個(gè).

故答案為：無窮多個(gè).

【變式4-2]4.（2023秋?山東濟(jì)寧?高一曲阜一中?？计谀┖瓟?shù)0（。）=1g。-sin廳勺零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)O=1g。的圖象和函數(shù)0=sinB）圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論

【詳解】函數(shù)0（。=IgO-sin。勺零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

即函數(shù)。=1g。的圖象和函數(shù)〃=sind勺圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

由于lg10=1,sin；1,siny=1,siny=1,

在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)圖象：

yi

i

由圖象可知，交點(diǎn)個(gè)數(shù)有3個(gè).

故選：C

【變式4-2】5.若函數(shù)。(0=]40),則函數(shù)。(。=

□?-卜g|口-訓(xùn)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

4sinZZ7(0<U<LJ)

【答案】5

【分析】令0(0=。。_忖|。_郡=0，所以￡7(0=弧|。一闿，作出函數(shù)0(。和)ig10-^1

的圖象，即得函數(shù)0(0=口?-卜g-郡的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】令。(°=。(0-忖0-郛=0,

所以0(0=卜g|o_郡，

作出函數(shù)0(0和川lgI〃-月I的圖象，如圖所示，

所以函數(shù)0(。=口⑸-|lg|o-別的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5.

故答案為5

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，考查函數(shù)圖象的作法意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌

握水平和分析推理能力.

【例題4-3](2023?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)￡%常數(shù)，且滿足￡7=sin￡7+1,且￡7e卜n,n]的廳勺值只有一

個(gè)，則實(shí)數(shù)廳勺值為（）.

A.0B.1C.2D.0或2

【答案】D

【分析】利用五點(diǎn)作圖法作出O=sinZ7+1,卜mn］的函數(shù)圖象，依題意O=□與口=sin0+1在

口e卜上只有1個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可求出參數(shù)的值.

【詳解】解：因?yàn)閟inO+1,列表：

TTn

a0TT-Tl

2~2

n12101

描點(diǎn)、連線，函數(shù)圖象如下圖所示：

因?yàn)閆7=sin/7+1,且卜Tt,n|的匚的值只有一個(gè)，

所以口=口與口=的口+1在Oe卜上只有1個(gè)交點(diǎn),

結(jié)合圖象可知0=0或0=2.

故選：D

【變式4-3】1.函數(shù)y=sinx+2|sinM在［。，2川上的圖象若與直線y=%有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則k

的取值范圍是________若與直線片々有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則〃的取值范圍是________.

【答案】l<k<30<-1

3sinx,0<x<n,

【解析】y=sinx+2|sinM=由題意在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象如圖所

-sinx,n<x<2n,

示，若有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則1<代3.若有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則0<代1.

【變式4-3]2.（2022秋?河南駐馬店?高二校考期中）若函數(shù)=sin〃+3|sinO|+e[0,2旦）

恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則。=.

【答案】-2

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為O=—%DO=sin0+3|sinO|在￡76[0,2口上有3個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出口=

sinZ7+3|sinZ7|在Z7e[0,2/7]上的圖象，即可求解.

??

/1y\

,J'—it—.-j.

【詳解】

由題意得，口=sinO+3|sin￡7|+口=。在Oe[0,24上有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即。=一匚和

sin￡7+3|sin〃|在[0,22上有3個(gè)不同的交點(diǎn)，

令口?=sin￡7+3|sinO|,則0（。=[鬻嗎束，畫出函數(shù)。⑷的圖象，結(jié)合圖象可知

ZSinZ_/,LJE[LJ,4LJ\

一￡7=2,即￡7=-2.

故答案為：-2.

【變式4-3】3.（多選）（2022春海南省直轄縣級(jí)單位?高一海南二中?？计谥校┤簟＃?。=sin。-等在

￡,TT]只有一個(gè)零點(diǎn)，則中可能取值是（）

0

A.-1B.1C.\D.0

【答案】ABC

【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義把零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合即可.

【詳解】因?yàn)榭?。=sinZ7-皮在,[只有一個(gè)零點(diǎn),

則sin￡7-苧=0在￡76上有T解，

即口=sinG口egn]與￡7=子1有一個(gè)交點(diǎn)，

OZ

當(dāng)口￡,TI，有一個(gè)嘲足sinOc[o,?u{1},所以等e[o,；)u{1},

即得Oe(0,1]u{-1},

故選:ABC.

【變式4-3】4.作出函數(shù)0=2+0口?？?，De[0,2。]的簡(jiǎn)圖，并回答下列問題：

(1)觀察函數(shù)圖象，寫出y的取值范圍；

⑵若函數(shù)圖象與0=苧在口e[0,。上有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

【答案】Q)￡7e[1,3](2)(-5,-3]

【分析】(1)用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)圖象，觀察圖象，即可寫出滿足條件的y的取值范圍;

(2)根據(jù)圖象，用數(shù)形結(jié)合，判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù).即可求出a的取值范圍.

【詳解】列表:

q30

X0口2口

~2~2

□□□口010-10

2

23212

+口□□□

描點(diǎn)、連線，如圖.

(1)由圖知，D&[1,3].

(2)由圖知，當(dāng)2W等<3時(shí)，函數(shù)圖象與0=等在[0,。上有兩個(gè)交點(diǎn),BP-5<￡7<-3,

故a的取值范圍是(-5,-3],

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的圖象，考查了五點(diǎn)作圖法，數(shù)形結(jié)合思想是高中重要的一種思想，應(yīng)熟練

靈