2023創(chuàng)新設(shè)計(jì)一輪第4節(jié) 基本不等式

第4節(jié)基本不等式

考試要求1.了解基本不等式的證明過(guò)程2能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)

題.3.掌握基本不等式在生活實(shí)際中的應(yīng)用.

知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

知識(shí)梳理

1.基本不等式：麗W等

(1)基本不等式成立的條件：?！?,b>Q.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)歸上時(shí)取等號(hào).

(3)其中號(hào)叫做正數(shù)a,8的算術(shù)平均數(shù)，血叫做正數(shù)a,。的幾何平均數(shù).

2.兩個(gè)重要的不等式

a)a2+h2^2ah(a,b^R),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

(2)出?W(a,bWR),當(dāng)且僅當(dāng)a=h時(shí)取等號(hào).

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正數(shù)，如果積犯等于定值P,那么當(dāng)尤=y時(shí)，和x+y有最小

值2期.

⑵已知尤，y都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)尤=丁時(shí)，積孫有最大

值如

常用結(jié)論

1.t+圻2伍，人同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

a2+Z?2

2.abW

、2.

3.應(yīng)用基本不等式求最值要注意：”一正，二定，三相等"，忽略某個(gè)條件，就

會(huì)出錯(cuò).

4.在利用不等式求最值時(shí)，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使

用，則一定要保證它們等號(hào)成立的條件一致.

I]診斷自測(cè)

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)不等式a2+b2^2ab與等》迎成立的條件是相同的.()

(2)函數(shù)產(chǎn)x+千的最小值是2.()

(3)函數(shù)尸sinx+4;，xW(O，品的最小值是4.()

(4)“x>0且)，>0"是"(+!22”的充要條件.()

xy

答案(1)X(2)X(3)x(4)X

解析(1)不等式/+/7222a。成立的條件是a,b^R,等2板成立的條件是

。>0,b>0.

(2)由于x@(-8,0)U(0,+°°),故函數(shù)y=x+：無(wú)最小值.

4

(3)sinx+而：的最小值不為4.

⑷*+22”的充要條件是孫>0.

尢y

2.(易錯(cuò)題)當(dāng)x〈0時(shí)，函數(shù)y=x+：()

A.有最大值一4B.有最小值一4

C.有最大值4D.有最小值4

答案A

解析>=無(wú)+(=—(―x)+(一§W

-2y]I)x(一0=-4.

當(dāng)且僅當(dāng)x=—2時(shí)等號(hào)成立，故選A.

3.(易錯(cuò)題)函數(shù)y=x(3—2x)的最大值為()

999

A.3C.7

B.T4ZDo.Q

答案D

234L1(2x-\-3—2x\9

斛析y=%(3—-----2-----)=京

3

當(dāng)且僅當(dāng)2%=3—2x,即尤=1時(shí)等號(hào)成立.

4.(2022?濱州三校聯(lián)考)若函數(shù)兀月=無(wú)十占(x>2)在x=a處取最小值，則a等于

()

A.1+&B.1+V3

C.3D.4

答案C

解析當(dāng)x>2時(shí)，x—2>0,7(x)=(九一2)+一^+222\/(%—2)X—^+2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)尤一2=占(%>2),即x=3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)/U)取得最小值時(shí)，x=3,

即a=3,故選C.

5.(2021.長(zhǎng)沙月考)一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18

m,則當(dāng)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為m,寬為m時(shí)菜園面積最大.

答案15y

解析設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm,寬為ym.則x+2y=30(0<xW18),所以S=xy=^

2

尤?(2y)W娶苧當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=15,y=學(xué)時(shí)取等號(hào).

6.(2021.天津卷)若a>0,b>0,則5十各+萬(wàn)的最小值為.

答案2也

解析骨>。，b>0,

售+b=；+b22yj^b=2y[i,當(dāng)且僅當(dāng)!=,且差=乩即a=

/?=啦時(shí)等號(hào)成立，

.,1+/+〃的最小值為2皿

考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一利用基本不等式求最值

角度1配湊法

例1⑴已知0?半，則4/1一2?的最大值為.

答案.

解析VO<x<^-,.\1-2?>0,

x\]1—2X2=^-A/2X\/1—2X2W

y/2(2f+1—It2)也

2\2)4.

當(dāng)且僅當(dāng)2f=1—2f,即x=：時(shí)等號(hào)成立.

⑵已知x>4，則段)=4x—2+Jz^的最小值為.

答案5

解析Vx>|,/.4x—5>0,

.?./U)=4x—2+^^=4x—5+^^+32271+3=5，

13

當(dāng)且僅當(dāng)4x—5=丁',即尤=怖時(shí)取等號(hào).

4%—52

—/

(3)已知函數(shù)力》=干(尤<一1)，則()

A./U)有最小值4B.7U)有最小值一4

C：/(x)有最大值4D人工)有最大值一4

答案A

因?yàn)橛?lt;—1,所以x+l<0,—(x+1)>0,

所以/U)》2，T+2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)—(x+l)=-TT即x=—2時(shí)，等號(hào)成立.

故/U)有最小值4.

角度2常數(shù)代換法

12

例2若直線2wu—〃y—2=0(機(jī)>0,〃>0)過(guò)點(diǎn)(1,—2),則m+［的最小值為()

A.2B.6

C.12D.3+2/

答案D

解析因?yàn)橹本€2mx—ny—2=0(機(jī)>0,〃>0)過(guò)點(diǎn)(1,-2),

所以2m+2〃一2=0,即機(jī)+〃=1,

所以,+?=P；+~\m+n)=3+—+~^3+2也,

mn\m，〃''mnv

當(dāng)且僅當(dāng)2=萼，即〃=啦旭時(shí)取等號(hào)，

所以3+W的最小值為3+2啦.

mnv

角度3消元法

例3已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為.

答案6

解析法一(換元消元法)

由已知得x+3y=9一孫，

Vx>0,y>0,

x+3y22\j3xy,

2

當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,即x=3,y=l時(shí)取等號(hào)，

?"+3升猾*以

即(x+3y)2+12(x+3y)—10820,

令x+3y=t,則>0且P+nt-10820,

解得r26,即x+3y的最小值為6.

法二(代入消元法)

9-3y

由x+3y+町=9,得x=]+),,

9一3)，9—3y+3y(1+y)

.?.x+3y=卜3y=

i+yi+y

9+3/3(1+y)2~6(1+y)+12

=]+y=l+y

12/12~

=3(l+y)+jq^—6?2y3(l+y)—6=12—6=6,

12

當(dāng)且僅當(dāng)3(1+外=苦，即尤=3,y=l時(shí)等號(hào)成立，

，x+3y的最小值為6.

感悟提升1.利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的

形式.

2.常數(shù)代換法，主要解決形如“已知x+y=也為常數(shù))，求的最值”的問(wèn)題，

先將3十5轉(zhuǎn)化為C+打.牛，再用基本不等式求最值.

3.當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量

后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.

4.構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對(duì)和式或積

式利用基本不等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.

訓(xùn)練1(1)已知0VxV2,則8(5—2處的最大值為.

答案V

解析因?yàn)?VxV2,

所以2x>0,5-2x>0,

--2

1,12x+(5-2x)12525

則x(5-2x)=7?2?(5-2x)<干-----5----------=^X-=—,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=5—2光，即時(shí)等號(hào)成立,

故的最大值為手.

x(5-2x)O

(2)正實(shí)數(shù)x,y滿足4f+>2+孫=1,則孫的最大值為；2x+y的最大

值為.

答案1W10

解析*.*1-xy=4x1-\-y2^4xy,

.,.5xyWl,???孫W/

當(dāng)且僅當(dāng)y=2x時(shí)取等號(hào).

4j^+^+xy=1,.??(2x+y)2—3孫=1,

(2x+y)2-1=3xy

2

=拉亦|(空),

3

即(2x+y)2—1Wg(2x+y)2,

?c.,2<8.°,V加

..Qx+yyWg,..2%十yW,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)取等號(hào).

(3)(2020?江蘇卷)已知5/y2+y*=ia，yGR),則^十丁的最小值是.

4

答案5

解析由題意知y#0.由可得?=5ya,所以f+y2=5a+歹

=^^~=K^+4y2)^|x2^Sx4/=1,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)=49，即尸土乎時(shí)取等

號(hào)，所以f+V的最小值為*

考點(diǎn)二基本不等式的綜合應(yīng)用

角度1與其他知識(shí)交匯的最值問(wèn)題

例4已知。，E分別是△A8C的邊A3,AC的中點(diǎn)，M是線段OE上的一動(dòng)點(diǎn)(不

包含。，E兩點(diǎn))，且滿足破=碗^+尸/，則的最小值為.

答案6+46

解析由于M是線段OE上的一動(dòng)點(diǎn)(不包含。，E兩點(diǎn)、),D,E分別是AB,AC

的中點(diǎn)，

則贏勘+碗=2疝)+2陽(yáng)k

所以a,4>0且2a+2夕=1.

5+/([+永2a+20=6+?+與26+46，當(dāng)且僅當(dāng)a=￡LTT時(shí)

(AU\vA/(ALJ乙乙

取等號(hào)，

19

故打方的最小值為6+4也

角度2求參數(shù)值或取值范圍

例5(2022?杭州調(diào)研)對(duì)任意相，〃￡(0,+°°),都有m2一卬%〃+2/N0,則實(shí)數(shù)

。的最大值為()

ASB.2V2C.4D.1

答案B

解析..?對(duì)任意用，〃￡(0,+°°),

都有nr—amn+2n20,

...蘇+2〃22即〃，即.."「+2〃二=%+@恒成立

mnnm

當(dāng)且僅當(dāng)q=舞，即加=啦〃時(shí)取等號(hào)，

:.a<2版故實(shí)數(shù)。的最大值為2啦，故選B.

感悟提升(1)當(dāng)基本不等式與其他知識(shí)相結(jié)合時(shí)，往往是提供一個(gè)應(yīng)用基本不

等式的條件，然后利用常數(shù)代換法求最值.

(2)求參數(shù)的值或范圍時(shí)，要觀察題目的特點(diǎn)，利用基本不等式確定等號(hào)成立的

條件，從而得到參數(shù)的值或范圍.

I1?

訓(xùn)練2⑴設(shè)0V〃zV],若/+工￡23-24恒成立，則k的取值范圍為.

答案[-2,4]

解析由于0<加<；,

川]2_]_2

J'm1—2mm(1—2m)2m(1—2m)'

而1—2〃?>0,且2m+(1—2/%)=1,

由基本不等式可得

2m+(1—2m)22\J2mx(1一21),

--2

所以2，”X(1—2m)W+(；]—2/7?)1所以」2、<『2=8.

L2J42m(1—2m)

4

當(dāng)且僅當(dāng)2m=1-2根，即機(jī)=(時(shí)取等號(hào).

由已知不等式恒成立可知

―應(yīng)打帚J，

即a~~2kW8,解得一2WAW4.

C_|_Q

(2)設(shè)等差數(shù)列｛&”｝的公差為d,其前〃項(xiàng)和是S“若m=d=l,則號(hào)「的最小

tin

值

是

9

答案-

2

gi、，,n(1+n)

斛析因?yàn)閦=m+(〃-l)d=〃，Sn=----2---

n(1+〃),

---------4-2

當(dāng)且僅當(dāng)n=—,即〃=4時(shí)取等號(hào)，

所以審的最小值是3

Un乙

考點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

例6要制作一個(gè)容積為4m3,高為1m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造

價(jià)是每平方米20元,側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是()

A.80元B.120元C.160元D.240元

答案c

解析由題意知，體積V=4m3,高/z=lm,所以底面積S=4n?,設(shè)底面矩形

4

的一條邊長(zhǎng)是九m,則另一條邊長(zhǎng)是，m,又設(shè)總造價(jià)是y元，則y=20X4+

QIQQ

10x(2x+JC-)\j80+X20A/2x-=160,當(dāng)且X僅當(dāng)2%=-，即尤=2時(shí)取得等號(hào).

感悟提升(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)

的最值.

(2)解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍.

(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，若等號(hào)取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性

求解.

訓(xùn)練3某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一

年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則光的值

是.

答案30

解析由題意得，一年購(gòu)買券次，則總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為券X6+4x=

4(答+>叭?|/=240(萬(wàn)元)，當(dāng)且僅當(dāng)戶30時(shí)取等號(hào)，故總運(yùn)費(fèi)與總存

儲(chǔ)費(fèi)用之和最小時(shí)，x的值是30.

拓展視野/基本不等式鏈

片+序

若a>0,b>Q,則j2"

-^―（6Z>0,。>0）.

V

-a+Tb

2

其

中/。2+帝

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,11和7二一分別叫做a,h的調(diào)和平均數(shù)

1

4

4

-

J-

和平方平均數(shù).p

一、利用基本不等式鏈求最值

例1當(dāng)一g?詞,函數(shù)y=,\]2jc—\十15——的最大值為.

答案2^2

a+b”+序

解析由丁、\2

Ic^+b2

仔—2一，

貝1y=yj2x—1+*\/5_2x

l2x—1+5—2x

Q—2-=2隹

當(dāng)且僅當(dāng)、2x—1=、5—2x,即x=|時(shí)等號(hào)成立.

二'利用基本不等式鏈證明不等式

例2（2021?衡水市聯(lián)考）已知a,b,c都是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：-\/?2+/?2+^//?2+<?+

q^+a22啦（a+b+c）.

cr+b1a+b

證明???2i2.

即*\/。2+廿》坐（“十））,

同理，同勇+‘2》乎（匕+c）,

'Q+Xe；(c+a),

相加可得^/屋+82_|_己82+‘2+y1c2+廿2乎(a+b)+*(b+c)+乎(c+a)=也(a

+Z?+c）,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

I分層訓(xùn)練?鞏固提升

|A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

1.下列等式中最小值為4的是（）

41

A.y=x+-B.y=2z+y

C.y=4/+：（f>0）D._y=r+y

答案C

解析運(yùn)用基本不等式的條件是“一正、二定、三相等”，A,B,D均不滿足

“一正”條件，故選C.

2.已知a>0,且b>0,若2a+b=4,則必的最大值為（）

A.；B.4C.gD.2

答案D

解析4=2a+b^2^2ab,

即2A\]2ab,兩邊平方得422出?，

：.ab^2,當(dāng)且僅當(dāng)a=l,。=2時(shí)，等號(hào)成立，

：.ab的最大值為2.

3.若a>0,b>Q,1ga+lgZ?=lg(a+b),則a+b的最小值為()

A.8B.6C.4D.2

答案C

解析依題意ab=a+b,

,(a+bY,1(a+b)2

.,.a+h=ab^：r-^-'I,atK1Pa+bW,

：.a+h^4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，

：.a+b的最小值為4.

4.設(shè)x>0,則3—3%一千的最大值是（）

A.3B.3-2小

C.-1D.3—2y[3

答案D

解析Vx>0,二.3M=2小,當(dāng)且僅當(dāng)尸半時(shí)，等號(hào)成立,

.二-（31+：猿-2小，

貝（]3-3x--2y/3.

5.（多選）下列四個(gè)函數(shù)中，最小值為2的是（）

A.y=sin龍

B.y=lnx#l)

/+6

C.尸

"+5

D.y=4v+4^

答案AD

IT1

解析對(duì)于A,因?yàn)镺VxW^,所以O(shè)VsinxWl,則y=sinx+不q22,當(dāng)且僅

當(dāng)sinx=?p即sin九=1時(shí)取等號(hào)，符合題意；

對(duì)于B,當(dāng)0<x<l時(shí)，Inx<0,此時(shí)y=lnx+油；為負(fù)值，最小值不是2,不

符合題意；

對(duì)于C,尸疝崔="+5=q，+5,設(shè)f=++5,則124，貝ly2小+也

=竽，其最小值不是2,不符合題意；

對(duì)于D,產(chǎn)4*+4-*=4*+/22\^4^^=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=O時(shí)取等號(hào)，故y=

華+4"的最小值為2,符合題意.故選AD.

6.若實(shí)數(shù)x,y滿足F+V+xyul，則x+y的最大值是（）

A.6C.4D.1

答案B

解析W+y2+盯=]0（x+y）2-孫=1,

傳?！鯹,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，

即永x+yX，?,.—￥<+><￥，

.??龍+y的最大值是畢.故選B.

13

7.（2021?南通一模）已知a>0,b>0,且”+8=1,則的最小值為,

答案4+2小

解析鴻=（"從鴻）=4+e+引24+24凈=4+25,

當(dāng)且僅當(dāng)《=與，即。=嚀1,8=支區(qū)時(shí)等號(hào)成立.

8.某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總

利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系式為)，=一f+18%一

25(xWN*),則每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的最大年平均利潤(rùn)是萬(wàn)元.

答案8

解析每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為2=[18—[+§)]萬(wàn)元，由于x>0,故?

<18-2^25=8,當(dāng)且僅當(dāng)尤=5時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年

平均利潤(rùn)最大，最大為8萬(wàn)元.

9.命題“VxG(l,+8),f_火十。+2>0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

答案(一8,2^3+2)

解析依題意VxW(l,+°°),f—依+。+2>0恒成立，

f+2

即。(無(wú)一l)Vf+2,即]恒成立.

..-2+2(x2—2x+l)+(2%-2)+3

?X-1X—1

(九一1)2+2(x—1)+3

X—1

—(x—1)+([]+2N2小+2,

當(dāng)且僅當(dāng)X—1=含，即8=小+1時(shí)，等號(hào)成立，

."<2小+2.

Q

10.⑴當(dāng)X>1時(shí)，求2%+一;的最小值;

x—1

^210

(2)當(dāng)x>l時(shí)，求停的最小值.

X「4

解(1)2%+―-=2(x-1)+—j-+2,

x—1L元1」

Vx>l,Ax-l>0,

2十圈'22X2也+2=10，

4

當(dāng)且僅當(dāng)X—1=-7,即x=3時(shí)，取等號(hào).

X—1

人W+8(%—1)2+2(%—1)+9

(2)令y=—~=-----------------；---------------=('_])-

'X—1X-1

因?yàn)椤芬?>0,所以y》2\J(X-1).圈+2=8,

9

當(dāng)且僅當(dāng)X—1=----r,即尤=4時(shí)，y取最小值為8.

11.已知尤>0,y>0,且2x+8y=xy,求：

(l)xy的最小值；

(2)x+y的最小值.

解(1);Ay=2x+8y22y)2x-Sy,

即xy^Sy/xy,xy264,

當(dāng)且僅當(dāng)2元=8y,即%=16,y=4時(shí)，等號(hào)成立，

?\xy的最小值為64.

Q2

(2)由2x+Sy=xy,得/,=1，

則x+y=(|+1)(x+y)

吉魯】。+

=10+2

2x8y

當(dāng)且僅當(dāng)即x=12,y=6時(shí)等號(hào)成立，

y4

所以尤+y的最小值為18.

||B級(jí)能力提升

12.（2022.濟(jì)南模擬）已知△ABC的面積為1,內(nèi)切圓的半徑也為1,若△ABC的三

邊長(zhǎng)分別為“，b,C,則房+丁的最小值為（）

A.2B.2+V2

C.4D.2+2^2

答案D

解析因?yàn)椤鰽BC的面積為1,內(nèi)切圓的半徑也為1,

所以T（a+b+c）X1=1,所以a+Z?+c=2,

匕匕，、?