2021-2022學(xué)年山東省單縣第一中學(xué)高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個(gè)不同的交點(diǎn),則|MN|的最小值為()A．π B．π C．π D．2π2．在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與，所在直線分別交于點(diǎn)，，若，，則的最小值為（）A． B．2 C．3 D．3．已知函數(shù)，其中，，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，對(duì)滿(mǎn)足的，，有，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B．C． D．4．在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，將菱形沿對(duì)角線對(duì)折，使二面角的余弦值為，則所得三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度6．已知（），i為虛數(shù)單位，則（）A． B．3 C．1 D．57．2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我國(guó)其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒(méi)有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶(hù)上門(mén)排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無(wú)法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類(lèi)”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶(hù)、不漏一人.在排查期間，一戶(hù)6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測(cè)，若出現(xiàn)陽(yáng)性，則該家庭為“感染高危戶(hù)”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為（）且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了5個(gè)人才能確定為“感染高危戶(hù)”的概率為，當(dāng)時(shí)，最大，則（）A． B． C． D．8．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，則()A． B． C． D．9．已知集合，，，則集合()A． B． C． D．10．設(shè)，，則（）A． B．C． D．11．給出個(gè)數(shù)，，，，，，其規(guī)律是：第個(gè)數(shù)是，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，以此類(lèi)推，要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和．現(xiàn)已給出了該問(wèn)題算法的程序框圖如圖，請(qǐng)?jiān)趫D中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語(yǔ)句，使之能完成該題算法功能()A．； B．；C．； D．；12．天干地支，簡(jiǎn)稱(chēng)為干支，源自中國(guó)遠(yuǎn)古時(shí)代對(duì)天象的觀測(cè).“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱(chēng)為十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱(chēng)為十二地支.干支紀(jì)年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成，以此往復(fù)，60年為一個(gè)輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個(gè)年份中任取2個(gè)年份，則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則____.14．已知向量與的夾角為，||＝||＝1，且⊥（λ），則實(shí)數(shù)_____.15．已知，則滿(mǎn)足的的取值范圍為_(kāi)______．16．三所學(xué)校舉行高三聯(lián)考，三所學(xué)校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為160，240，400，為調(diào)查聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科的成績(jī)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這三所學(xué)校中抽取樣本，若在學(xué)校抽取的數(shù)學(xué)成績(jī)的份數(shù)為30，則抽取的樣本容量為_(kāi)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.（1）求a；（2）討論函數(shù)和的單調(diào)性；（3）設(shè)，求證：.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，為的中點(diǎn)，是上的點(diǎn).（1）若平面，證明：平面.（2）求二面角的余弦值.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面是矩形，面底面，且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，在上，且面.（1）求證:是的中點(diǎn)；（2）在上是否存在點(diǎn)，使二面角為直角？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.20．（12分）設(shè)橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（12分）已知拋物線：（）上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4.（1）求p的值；（2）設(shè)（）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓的兩條切線分別與y軸交于A、B兩點(diǎn).求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最大值為，若，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.2．B【解析】

由，，三點(diǎn)共線，可得，轉(zhuǎn)化，利用均值不等式，即得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為1．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了三點(diǎn)共線的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.3．B【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸的距離也即是半周期，由此求得的值，結(jié)合其對(duì)稱(chēng)軸，求得的值，進(jìn)而求得解析式.根據(jù)圖像變換的知識(shí)求得的解析式，再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：已知函數(shù)，其中，，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，對(duì)滿(mǎn)足的，，有，∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，可得，.∴，∴.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像.令，求得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中檔題.4．D【解析】

取AC中點(diǎn)N，由題意得即為二面角的平面角，過(guò)點(diǎn)B作于O，易得點(diǎn)O為的中心，則三棱錐的外接球球心在直線BO上，設(shè)球心為，半徑為，列出方程即可得解.【詳解】如圖，由題意易知與均為正三角形，取AC中點(diǎn)N，連接BN，DN，則，，即為二面角的平面角，過(guò)點(diǎn)B作于O，則平面ACD，由，可得，，，即點(diǎn)O為的中心，三棱錐的外接球球心在直線BO上，設(shè)球心為，半徑為，，,解得，三棱錐的外接球的表面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了立體圖形外接球表面積的求解，考查了空間想象能力，屬于中檔題.5．D【解析】

通過(guò)變形，通過(guò)“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象，故答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.6．C【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】由，得，解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.7．A【解析】

根據(jù)題意分別求出事件A：檢測(cè)5個(gè)人確定為“感染高危戶(hù)”發(fā)生的概率和事件B：檢測(cè)6個(gè)人確定為“感染高危戶(hù)”發(fā)生的概率,即可得出的表達(dá)式,再根據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)事件A：檢測(cè)5個(gè)人確定為“感染高危戶(hù)”,事件B：檢測(cè)6個(gè)人確定為“感染高危戶(hù)”,∴,.即設(shè),則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),即.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的計(jì)算,涉及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,互斥事件概率加法公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對(duì)題意的理解和事件的分解,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模能力,屬于較難題.8．C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，解得，所以，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式，考查計(jì)算能力.9．D【解析】

根據(jù)集合的混合運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】，故可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.10．D【解析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，，則，且，所以，，又,即,則，即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式，屬基礎(chǔ)題.11．A【解析】

要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和，這就需要循環(huán)50次，這樣可以確定判斷語(yǔ)句①，根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語(yǔ)句②.【詳解】因?yàn)橛?jì)算這個(gè)數(shù)的和，循環(huán)變量的初值為1，所以步長(zhǎng)應(yīng)該為1，故判斷語(yǔ)句①應(yīng)為，第個(gè)數(shù)是，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，這樣可以確定語(yǔ)句②為，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu)，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.12．B【解析】

利用古典概型概率計(jì)算方法分析出符合題意的基本事件個(gè)數(shù),結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算即可出求得概率.【詳解】20個(gè)年份中天干相同的有10組（每組2個(gè)），地支相同的年份有8組（每組2個(gè)），從這20個(gè)年份中任取2個(gè)年份，則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率.故選:B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計(jì)算,考查組合數(shù)的計(jì)算,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由，得出，根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡(jiǎn)，再利用齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式，以及運(yùn)用齊次式求值，屬于對(duì)公式的考查以及對(duì)計(jì)算能力的考查.14．1【解析】

根據(jù)條件即可得出，由即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出λ．【詳解】∵向量與的夾角為，||＝||＝1，且；∴；∴λ＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及向量垂直的充要條件．15．【解析】

將f（x）寫(xiě)成分段函數(shù)形式，分析得f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，f（x）＝x|x|＝，則f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，則f（2x﹣1）+f（x）≥0?f（2x﹣1）≥﹣f（x）?f（2x﹣1）≥f（﹣x）?2x﹣1≥﹣x，解可得x≥，即x的取值范圍為[，+∞）；故答案為：[，+∞）．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用，注意分析f（x）的奇偶性與單調(diào)性．16．【解析】

某層抽取的人數(shù)等于該層的總?cè)藬?shù)乘以抽樣比.【詳解】設(shè)抽取的樣本容量為x，由已知，，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)抽樣中的分層抽樣，考查學(xué)生基本的運(yùn)算能力，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）（2）為減函數(shù)，為增函數(shù).（3）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求出切線方程，令得切線的縱截距，可得（必須利用函數(shù)的單調(diào)性求解）；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性；（3）不等式變形為，由遞減，得()，即，即，依次放縮，．不等式，遞增得()，,,,先證，然后同樣放縮得出結(jié)論．【詳解】解：（1）對(duì)求導(dǎo)，得.因此.又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.由題意，.顯然，適合上式.令，求導(dǎo)得，因此為增函數(shù)：故是唯一解.（2）由（1）可知，，因?yàn)?，所以為減函數(shù).因?yàn)?，所以為增函?shù).（3）證明：由，易得.由（2）可知，在上為減函數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，，即.令，得，即.因此，當(dāng)時(shí)，.所以成立.下面證明：.由（2）可知，在上為增函數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，，即.因此，即.令，得，即.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋?，所?所以，當(dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，成立.綜上所述，當(dāng)時(shí)，成立.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式．本題中不等式的證明，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力，把不等式變形后利用第（2）小題函數(shù)的單調(diào)性得出數(shù)列的不等關(guān)系：，．這是最關(guān)鍵的一步．然后一步一步放縮即可證明．本題屬于困難題．18．（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）因?yàn)?，利用線面平行的判定定理可證出平面，利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系，得出和，由于底面，利用線面垂直的性質(zhì)，得出，且，最后結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面，即可證出平面.（2）由（1）可知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求出所需向量，分別求出平面和平面的法向量，最后利用空間二面角公式，即可求出的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以可設(shè)平面平面，又因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槠矫?，平面，所以，從而?因?yàn)榈酌?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)椋云矫?綜上，平面.（2）解：由（1）可得，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?，則，，，，所以，，，.設(shè)是平面的法向量，由取取，得.設(shè)是平面的法向量，由得取，得，所以，即的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定和空間二面角的計(jì)算，還運(yùn)用線面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、點(diǎn)線面的位置關(guān)系、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算等，同時(shí)考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.19．(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】試題分析：(1)連交于可得是中點(diǎn)，再根據(jù)面可得進(jìn)而根據(jù)中位線定理可得結(jié)果；(2)取中點(diǎn)，由（1）知兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸,軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出面的一個(gè)法向量，用表示面的一個(gè)法向量，由可得結(jié)果.試題解析：(1)證明：連交于，連是矩形，是中點(diǎn).又面，且是面與面的交線，是的中點(diǎn).(2)取中點(diǎn)，由（1）知兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則各點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)存在滿(mǎn)足要求，且，則由得：，面的一個(gè)法向量為，面的一個(gè)法向量為，由，得，解得，故存在，使二面角為直角，此時(shí).20．（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關(guān)系，計(jì)算A的坐標(biāo)，計(jì)算切線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，計(jì)算參數(shù)，即可．（II）分切線斜率存在與不存在討論，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，設(shè)出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公式，得到m,k的關(guān)系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可．【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，，∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得，∴點(diǎn)在橢圓上，∴，解得，∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)切線方程為，由(Ⅰ)知，，，∴.當(dāng)過(guò)