2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第十一章-第二節(jié)-二項(xiàng)式定理【導(dǎo)學(xué)案】

PAGE第十一章-第二節(jié)-二項(xiàng)式定理【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.【命題說明】考向考法高考命題常以二項(xiàng)式為載體,考查二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式系數(shù)、某一項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì);二項(xiàng)式定理是高考熱點(diǎn),常以選擇題的形式出現(xiàn).預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)2025年二項(xiàng)式定理仍會(huì)出題,但形式比較靈活.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識(shí)梳理·歸納二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理:(a+b)n=

Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnnbn((2)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng):Tk+1=Cnkan-kbk,它表示通項(xiàng)為展開式的第(3)二項(xiàng)式系數(shù):二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Cn0,Cn微點(diǎn)撥1.二項(xiàng)展開式的三個(gè)重要特征(1)字母a的指數(shù)按降冪排列由n到0.(2)字母b的指數(shù)按升冪排列由0到n.(3)每一項(xiàng)字母a的指數(shù)與字母b的指數(shù)的和等于n.微思考某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與某項(xiàng)的系數(shù)相等嗎?提示:不一定相等.2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性:與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.(2)最大值:當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),中間的一項(xiàng)Cnn2取得最大值;當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),中間的兩項(xiàng)Cn常用結(jié)論1.Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn12.Cn+1m=C基礎(chǔ)診斷·自測(cè)類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12431.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)Cnkan-kbk是(a+b)n的展開式中的第k項(xiàng).(×提示:由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可知,Cnkan-kbk是(a+b)n的展開式中的第(2)(a+b)n的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a,b無關(guān).(√)提示:因?yàn)?a+b)n的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cn0,Cn(3)通項(xiàng)Tk+1=Cnkan-kbk中的a和b不能互換.(提示:由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可知:通項(xiàng)公式Tk+1=Cnkan-kbk中的(4)二項(xiàng)式的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是相同的.(×)提示:由二項(xiàng)展開式某一項(xiàng)的系數(shù)與某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的定義可知(4)錯(cuò)誤.2.(選修第三冊(cè)P31練習(xí)T4)(x-y)n的二項(xiàng)展開式中,第m項(xiàng)的系數(shù)是()A.Cnm BC.Cnm-1 D.【解析】選D.(x-y)n的展開式中,第m項(xiàng)為Tm=Cnm-1xn-m+1·(-y)m-1=(-1)m-1·Cnm-1xn所以第m項(xiàng)的系數(shù)為(-1)m-1Cn3.(2023·北京高考)(2x-1x)A.-40 B.40 C.-80 D.80【解析】選D.由二項(xiàng)式定理可知(2x-1Tr+1=C5r(2x)5-r(-1x)r=(-1)r25-r令5-2r=1,可得r=2,即含x的項(xiàng)為第3項(xiàng),所以T3=80x,故x的系數(shù)為80.4.(混淆二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù))(1-2x)8展開式中x項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為()A.28 B.-28 C.112 D.-112【解析】選A.(1-2x)8展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=C8k(-2x)k=(-2)k要求x項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),只需k2=1,解得k所以x項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C82=8×7【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一通項(xiàng)公式的應(yīng)用角度1形如(a+b)n(n∈N*)的展開式的特定項(xiàng)[例1](1)設(shè)1+xn=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a2=a3,則n=(A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選A.(1+x)n展開式第r+1項(xiàng)Tr+1=Cnrxr,因?yàn)閍2=a3,所以Cn所以n=2+3=5.(2)(2023·南昌模擬)在(2x+1)4的展開式中,x2的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【解析】(2x+1)4的展開式通項(xiàng)為Tr+1=C4r2x4-r,令r=2,得T故x2的系數(shù)為24.答案:24解題技法形如(a+b)n(n∈N*)的展開式的特定項(xiàng)的求解策略(1)寫出并化簡(jiǎn)通項(xiàng);(2)令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí),指數(shù)為零;求有理項(xiàng)時(shí),指數(shù)為整數(shù)等),解出項(xiàng)數(shù)k+1;(3)代入通項(xiàng)即可得出結(jié)論.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2024·揚(yáng)州模擬)(xlog43+【解析】(xlog43+log3=(log43)4-r·(log32令4-2r=0,解得r=2,則T3=(12log23)2·所以(xlog4答案:32.在二項(xiàng)式(2+x)9的展開式中,常數(shù)項(xiàng)是;系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是.

【解析】由題意得,(2+x)9的通項(xiàng)為Tk+1=C9k(2)9-k·xk(k=0,1,2,…,9).當(dāng)k=0時(shí),可得常數(shù)項(xiàng)為T1=C90(2)9=162.若展開式的系數(shù)為有理數(shù),則k=1,3,5,7,9,有T2,T4,T6,T答案:1625【補(bǔ)償訓(xùn)練】(x2-2x)5的展開式中x4的系數(shù)為(A.10 B.20 C.40 D.80【解析】選C.由題意可得Tk+1=C5k·(x2)5-k·(-2x)k=(-1)kC令10-3k=4,則k=2,所以所求系數(shù)為(-1)2C52·22角度2形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展開式問題[例2](2024·新高考Ⅰ卷)(1-yx)(x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為(用數(shù)字作答)【解析】因?yàn)?-yx(x+y)8=(x+y)8-yx(x+所以1-yx(x+y)8的展開式中含x2y6的項(xiàng)為C86x2y6-yxC85x3y5=-28x2y6,故(1-yx)(x+答案:-28解題技法形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展開式問題的求解策略(1)若m,n中有一個(gè)比較小,可先考慮將其展開,再結(jié)合題設(shè)要求逐項(xiàng)求出,求其代數(shù)和即可得出結(jié)論;(2)觀察(a+b)(c+d)是否可以化成兩項(xiàng)或三項(xiàng)代數(shù)和,進(jìn)而求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2024·北海模擬)(1+2x)(1+x)3展開式中,x2的系數(shù)為()A.3 B.6 C.9 D.12【解析】選C.(1+2x)(1+x)3=(1+2x)(1+3x+3x2+x3),故x2的系數(shù)為3+6=9.角度3形如(a+b+c)n(n∈N*)的展開式問題[例3](x2-x+1)10的展開式中x3的系數(shù)為()A.-210 B.210 C.30 D.-30【解析】選A.方法一:(x2-x+1)10的展開式中含x3項(xiàng)的構(gòu)成有以下幾種可能:①1個(gè)x2,1個(gè)(-x),8個(gè)1,所得項(xiàng)為C101x2·C91(-x)·C88②3個(gè)(-x),7個(gè)1,所得項(xiàng)為C103(-x)3·C7717=-120x3.所以方法二:(x2-x+1)10=[1+(x2-x)]10,展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C10k(x2-x)k(k=0,1,2,3,…,10),要使(x2-x+1)10的展開式中含x3,則需要(x2-x)k的展開式中出現(xiàn)x3,而(x2-x)k展開式的通項(xiàng)為Tr+1=Ckrx2(k-r)(-x)r=(-1)rCkrx2k-k=3,r=3時(shí)滿足題意,即(x2-x+1)10(-1)1C102C21解題技法求形如(a+b+c)n展開式中特定項(xiàng)的方法對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(x+y-2z)5的展開式中,xy2z2的系數(shù)是()A.120 B.-120 C.60 D.30【解析】選A.由題意知(x+y-2z)5=[(x+y)-2z]5,展開式的第k+1項(xiàng)為C5k(x+y)5-k(-2z)令k=2,可得第3項(xiàng)為(-2)2C52(x+y)3z(x+y)3的展開式的第m+1項(xiàng)為C3mx令m=2,可得第3項(xiàng)為C32xy2,所以(x+y-2z)5的展開式中,xy2z2的系數(shù)是(-2)2C【補(bǔ)償訓(xùn)練】(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為()A.10 B.20 C.30 D.60【解析】選C.方法一:由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)易知Tk+1=C5k(x2+x)5-kyk,令k=2,則T3=C52(x2+x)3y2,對(duì)于二項(xiàng)式(x2+x)3,展開式的通項(xiàng)為Tt+1=C3t(x2)3-txt=C3方法二:因?yàn)?x2+x+y)5=(x2+x+y)(x2+x+y)·…·(x2+x+y),即共有5個(gè)括號(hào)相乘,所以展開式中要得到含x5y2的項(xiàng),只需5個(gè)括號(hào)中有2個(gè)括號(hào)里出y,同時(shí)剩余的3個(gè)括號(hào)中2個(gè)括號(hào)里出x2,另一個(gè)括號(hào)里出x便可,故含x5y2的項(xiàng)為C52y2C32(x2)2x=C52C32x5y2考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問題角度1二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和[例4]若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則a2+a6+a8=;a1+2a2+3a3+…+10a10=.

【解析】由已知得(1+x)10展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C10kxk,所以展開式中每一項(xiàng)的系數(shù)即為其二項(xiàng)式系數(shù),故a2+a6+a8=C102對(duì)原式兩邊求導(dǎo)得,10(1+x)9=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+10a10=10×29=5120.答案:3005120解題技法賦值法的應(yīng)用(1)對(duì)于多項(xiàng)式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,則(a+bx)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1).(2)(a+bx)n的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為12[g(1)+g(-1)](3)(a+bx)n的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為12[g(1)-g(-1)]對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練在二項(xiàng)式(1-2x)n的展開式中,偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128,則展開式的中間項(xiàng)的系數(shù)為()A.-960 B.960 C.1120 D.1680【解析】選C.根據(jù)題意,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和也為128,所以在(1-2x)n的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,即2n=256,得n=8,則(1-2x)8的展開式的中間項(xiàng)為第5項(xiàng),且T5=C84(-2)4x4=1120x4【補(bǔ)償訓(xùn)練】若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,則a1=,a1+a2+…+a5=.

【解析】因?yàn)閤5=[2+(x-2)]5,則a1=C51·24令x=3,得a0+a1+a2+…+a5=35=243;令x=2,得a0=25=32,故a1+a2+…+a5=243-32=211.答案:80211角度2系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題[例5](多選題)(2023·唐山模擬)下列關(guān)于(1x-2x)6的展開式的說法中正確的是(A.常數(shù)項(xiàng)為-160B.第4項(xiàng)的系數(shù)最大C.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.所有項(xiàng)的系數(shù)和為1【解析】選ACD.(1x-2x)6Tk+1=C6k·(1x)6-k·(-2x)k=(-2)kC6對(duì)于A,令2k-6=0,解得k=3,所以常數(shù)項(xiàng)為(-2)3C6對(duì)于B,由通項(xiàng)公式知,若要系數(shù)最大,k所有可能的取值為0,2,4,6,所以T1=x-6,T3=4C62x-2=60x-2,T5=(-2)4C64x2=240x2,T7=(-2)6x6所以展開式第5項(xiàng)的系數(shù)最大,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,展開式共有7項(xiàng),得第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,C正確;對(duì)于D,令x=1,則所有項(xiàng)的系數(shù)和為(1-2)6=1,D正確.解題技法1.二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法(1)如果n是偶數(shù),那么中間一項(xiàng)(第n2(2)如果n是奇數(shù),那么中間兩項(xiàng)(第n+12與第n2.展開式系數(shù)最大值的兩種求解思路(1)由于展開式系數(shù)是離散的,因此求最大值可通過不等式組ak≥(2)由于二項(xiàng)展開式中的系數(shù)是關(guān)于正整數(shù)n的式子,可以看作關(guān)于n的數(shù)列,通過判斷數(shù)列單調(diào)性從而判斷系數(shù)的增減性,并根據(jù)系數(shù)的單調(diào)性求出系數(shù)的最值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a=7bA.5 B.6 C.7 D.8【解析】選B.由題意,得a=C2mm,b則13C2mm=7C2m所以7(2m+1經(jīng)檢驗(yàn)m=6為原方程的解.考點(diǎn)三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用[例6](1)設(shè)n為奇數(shù),那么11n+Cn1·11n-1+Cn2·11nA.-3 B.2 C.10 D.11【解析】選C.11n+Cn1·11n-1+C=Cn0·11n+Cn1·11n-1+Cn2=12n-2=(13-1)n-2=Cn0·13n-Cn1·13n-1+…+(-1)因?yàn)閚為奇數(shù),則上式=Cn0·13n-Cn1·13n-1+…+(-1)n-1·Cnn-1所以11n+Cn1·11n-1+Cn(2)利用二項(xiàng)式定理計(jì)算1.056,則其結(jié)果精確到0.01的近似值是()A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34【解析】選D.1.056=(1+0.05)6=C60+C61×0.05+C62×0.052+C63×0.=1+0.3+0.0375+0.0025+…+0.056≈1.34.解題技法二項(xiàng)式定理綜合應(yīng)用的題型及解法(1)在證明整除問題或求余數(shù)問題時(shí)要進(jìn)行合理的變形:①觀察除式與被除式間的關(guān)系;②將被除式拆成二項(xiàng)式;③結(jié)合二項(xiàng)式定理得出結(jié)論.(2)二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要用途是做近似計(jì)算:當(dāng)n不是很大,|x|比較小時(shí),(1+x)n≈1+nx.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.設(shè)a∈Z,且0≤a≤13,若512023+a能被1