人教高中數(shù)學(xué)A版必修一 三角函數(shù) 簡單的三角恒等變換 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)

5.5.2

簡單的三角恒等變換三角函數(shù)一二三一、半角公式1.二倍角公式是用單角α的三角函數(shù)來表示倍角2α的三角函數(shù),根據(jù)倍角關(guān)系的相對性,能否用單角α的三角函數(shù)來表示

的三角函數(shù)呢?一二三2.填空(半角公式)一二三一二三二、積化和差、和差化積公式1.(1)積化和差公式有何特點(diǎn)?提示:積化和差公式中:同名三角函數(shù)之積化為兩角和與差余弦和(差)的一半,異名三角函數(shù)之積化為兩角和與差正弦和(差)的一半,等式左邊為單角α,β,等式右邊為它們的和與差.(3)和差化積公式有何特點(diǎn)?提示:余弦的和或差化為同名三角函數(shù)之積;正弦的和或差化為異名三角函數(shù)之積;等式左邊為單角x與y,等式右邊為

的形式.一二三2.填空

一二三3.做一做計算:(1)sin52.5°cos7.5°=

;

(2)sinαsin3α=

.

4.判斷正誤(1)sin5θ+sin3θ=2sin8θcos2θ.(

)(2)cos3θ-cos5θ=-2sin4θsinθ.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√一二三三、輔助角公式

一二三2.填空

答案:(1)C

(2)B探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練半角公式的應(yīng)用角度1

用半角公式解決求值問題探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

已知θ的某個三角函數(shù)值,求

的三角函數(shù)值的步驟是:(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得θ的其他三角函數(shù)值;(2)代入半角公式計算.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練角度2

用半角公式解決化簡與證明問題例2化簡:探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

化簡問題中的“三變”(1)變角:三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系,通過拆、湊等手段消除角之間的差異,合理選擇聯(lián)系它們的公式.(2)變名:觀察三角函數(shù)種類的差異,盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱,如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切.(3)變式:觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異,選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩?如升冪、降冪、配方、開方等.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練積化和差、和差化積公式的應(yīng)用分析:先化簡條件,再求值.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練分析:根據(jù)積化和差公式將左邊變形整理,進(jìn)行角的統(tǒng)一.反思感悟

1.當(dāng)條件或結(jié)論式比較復(fù)雜時,往往先將它們化為最簡形式,再求解.2.當(dāng)要證明的不等式一邊復(fù)雜,另一邊非常簡單時,往往從復(fù)雜的一邊入手證明,類似于化簡.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練延伸探究

例3若不利用積化和差公式,如何求解?探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練3已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.求證:(2cos2A+1)2=a2+b2.證明由題意知(sin

A+sin

5A)+sin

3A=2sin

3A·cos

2A+sin

3A=a,(cos

A+cos

5A)+cos

3A=2cos

3Acos

2A+cos

3A=b,∴sin

3A(2cos

2A+1)=a,①cos

3A(2cos

2A+1)=b.②兩式平方相加,得(2cos

2A+1)2=a2+b2.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練輔助角公式的應(yīng)用例5將下列各式化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式:分析:利用三角函數(shù)公式將函數(shù)解析式化為asin

ωx+bcos

ωx的形式,再利用輔助角公式化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練忽視對角的討論致誤

錯解錯在什么地方?你能發(fā)現(xiàn)嗎?怎樣避免這類錯誤?探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練防范措施

在一個等式的兩邊同時除以一個式子時,應(yīng)確保這個式子不等于零,否則容易導(dǎo)致錯解.如果不能確定這個式子一定不為零,應(yīng)注意分類討論.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練答案:D答案:C探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練答案:A探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練5.6

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)三角函數(shù)一二三一、勻速圓周運(yùn)動數(shù)學(xué)模型1.填空(1)三角函數(shù)數(shù)學(xué)模型在模擬一些周期現(xiàn)象時應(yīng)用十分廣泛,但一般都能概括為y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式.(2)三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型,可以用來研究很多問題,在刻畫周期規(guī)律、預(yù)測未來方面發(fā)揮著重要作用.一二三2.做一做如圖,點(diǎn)P是半徑為r的砂輪邊緣上的一個質(zhì)點(diǎn),它從初始位置P0開始,按逆時針方向以角速度ω(rad/s)做圓周運(yùn)動,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式為

.

解析:當(dāng)質(zhì)點(diǎn)P從P0轉(zhuǎn)到點(diǎn)P位置時,點(diǎn)P轉(zhuǎn)過的角度為ωt,則∠POx=ωt+φ,由任意角的三角函數(shù)定義知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y=rsin(ωt+φ).答案:y=rsin(ωt+φ)一二三3.判斷正誤(1)三角函數(shù)是描述現(xiàn)實世界中周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.(

)(2)與周期有關(guān)的實際問題都必須用三角函數(shù)模型解決.(

)答案:(1)√

(2)×一二三二、圖象變換1.φ對函數(shù)y=sin(x+φ),x∈R的圖象的影響提示:y=sin(x+φ)的圖象可以由函數(shù)y=sin

x的圖象經(jīng)過左右平移|φ|個單位得到.一二三(2)填空如圖,函數(shù)y=sin(x+φ)(φ≠0)的圖象,可以看作是把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時)或向右(當(dāng)φ<0時)平行移動|φ|個單位長度得到的.一二三答案:B一二三2.ω(ω>0)對函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象的影響(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中,用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=sin2x與y=sinx的圖象,從列表中變量的值以及畫出的圖象兩個方面進(jìn)行觀察分析,y=sin(ωx+φ)的圖象與y=sin(x+φ)的圖象之間有什么關(guān)系?提示:y=sin(ωx+φ)的圖象可以由函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象經(jīng)過左右伸縮變換得到.一二三(2)填空如圖,函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象,可以看作是把y=sin(x+φ)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)ω>1時)或伸長(當(dāng)0<ω<1時)到原來的

倍(縱坐標(biāo)不變)而得到.一二三(3)做一做函數(shù)y=sin4x的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到(

)A.所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍解析:因為ω=4>1,所以可由y=sin

x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

得到y(tǒng)=sin

4x的圖象.答案:B一二三3.A(A>0)對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中,用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=4sinx與y=sinx的圖象,從列表中變量的值以及畫出的圖象兩個方面進(jìn)行觀察分析,y=Asin(ωx+φ)的圖象與y=sin(ωx+φ)的圖象之間有什么關(guān)系?提示:y=Asin(ωx+φ)的圖象可以由函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象經(jīng)過上下伸縮變換得到.一二三(2)填空如圖,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng)A>1時)或縮短(當(dāng)0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到的.(3)做一做一二三三、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的作法1.作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象可有哪些方法?如果用圖象變換法,那么是先平移后伸縮還是先伸縮后平移?提示:作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象,可以用“五點(diǎn)法”,也可根據(jù)圖象間的關(guān)系通過變換法得到;如果用圖象變換法,那么既可以先平移后伸縮,也可以先伸縮后平移.2.填空一二三(2)變換法:由y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象的方法如下:①先平移后伸縮②先伸縮后平移探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練勻速圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型例1一個大風(fēng)車的半徑為6m,12min旋轉(zhuǎn)一周,它的最低點(diǎn)P0離地面2m,風(fēng)車翼片的一個端點(diǎn)P從P0開始按逆時針方向旋轉(zhuǎn),則點(diǎn)P離地面距離h(m)與時間m(min)之間的函數(shù)關(guān)系式是(

)分析:由題意可設(shè)h(t)=Acos

ωt+B,根據(jù)周期性

=12,由最大值與最小值分別為14,2,即可得出.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練答案:D反思感悟

勻速圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型一般都?xì)w結(jié)為正弦型或余弦型函數(shù)形式.此類問題的切入點(diǎn)是初始位置及其半徑、頻率的值要明確,半徑?jīng)Q定了振幅A,頻率或周期能確定ω,初始位置不同對φ有影響.還要注意最大值與最小值與函數(shù)中參數(shù)的關(guān)系.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練答案:C探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

1.“五點(diǎn)法”作圖的實質(zhì)利用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象,實質(zhì)是利用函數(shù)的三個零點(diǎn)及兩個最值點(diǎn)畫出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象.2.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的步驟第一步:列表.第二步:在同一平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn).第三步:用光滑曲線連接這些點(diǎn),得到圖象.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換角度1

圖象的變換方式

例3由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換,可以得到函數(shù)分析:本題考查三角函數(shù)的圖象變換問題,可以從先“平移變換”或先“伸縮變換”兩種不同變換順序的角度去考慮,得到答案.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練角度2

求函數(shù)的解析式例4把函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的圖象向左平移

個單位長度,再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)所得圖象的函數(shù)解析式為y=sinx,則(

)分析:確定逆向變換過程→由伸縮變換確定ω→由平移變換確定φ→確定函數(shù)解析式探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練答案:B探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

1.對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,φ≠0,k≠0),其圖象的基本變換有:①振幅變換(縱向伸縮變換):是由A的變化引起的,A>1時伸長,A<1時縮短.②周期變換(橫向伸縮變換):是由ω的變化引起的,ω>1時縮短,ω<1時伸長.③相位變換(橫向平移變換):是由φ引起的,φ>0時左移,φ<0時右移.④上下平移(縱向平移變換):是由k引起的,k>0時上移,k<0時下移.可以使用“先伸縮后平移”或“先平移后伸縮”兩種方法來進(jìn)行變換.2.若相應(yīng)變換的函數(shù)名不同時,先利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)名化一致,再利用相應(yīng)的變換得到結(jié)論.3.由y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,φ≠0,k≠0)的圖象得到y(tǒng)=sin

x的圖象,可采用逆向思維,將原變換反過來逆推得到.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練三角函數(shù)圖象平移變換規(guī)則不清致誤

探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練錯解錯在什么地方?你能發(fā)現(xiàn)嗎?怎樣避免這類錯誤呢?提示:錯解中有3個錯誤點(diǎn):①審題不清