河北省滄州市七校聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

PAGEPAGE15河北省滄州市七校聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題考生留意：1．本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容（除雙曲線、拋物線外）．第I卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)的虛部是（）A． B． C． D．3．的綻開式中x的系數(shù)是（）A．90 B．80 C．70 D．604．若，，則的最小值為（）A．2 B．6 C．9 D．35．2024年10月1日是中秋節(jié)和國慶節(jié)雙節(jié)同慶，許多人外出旅行或回家探親，因此交通比較擁堵．某交通部門為了解從A城到B城實(shí)際通行所需時(shí)間，隨機(jī)抽取了n臺(tái)車輛進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果顯示這些車輛的通行時(shí)間（單位：分鐘）都在內(nèi)，按通行時(shí)間分為，，，，五組，頻率分布直方圖如圖所示，其中通行時(shí)間在內(nèi)的車輛有235臺(tái)，則通行時(shí)間在內(nèi)的車輛臺(tái)數(shù)是（）A．450 B．325 C．470 D．5006．在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E滿意，則（）A．21 B． C．-22 D．7．如圖，在三棱錐D-ABC中，，一平面截三棱錐D-ABC所得截面為平行四邊形EFGH．已知，，則異面直線EG和AC所成角的正弦值是（）A． B． C． D．8．定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、選擇題；本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，且，，則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合，則下列說法正確的有（）A．函數(shù)的最小正周期為B．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)镈．當(dāng)函數(shù)取得最值時(shí)，11．已知為奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A．的圖象關(guān)于對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于對(duì)稱C． D．12．橢圓，，分別為左、右焦點(diǎn)，，分別為左、右頂點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則橢圓C的離心率可能為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13．已知函數(shù)，則________．14．若，則________．15．若P為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)P引圓的兩條切線PM，PN（切點(diǎn)為M，N），則的最小值是________．16．在棱長為2的正方體，中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段EF上，則三棱錐的體積為________．四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并作答．問題：在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，________．求的面積．注：假如選擇多個(gè)條件解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．（12分）某電商為了解消費(fèi)者的下一部手機(jī)是否會(huì)選購某一品牌手機(jī)，隨機(jī)抽取了200位以前的客戶進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：打算購買該品牌手機(jī)的男性有80人，不打算買該品牌手機(jī)的男性有40人，打算買該品牌手機(jī)的女性有40人．（1）完成下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有97.5%的把握認(rèn)為這200位參加調(diào)查者是否打算購買該品牌手機(jī)與性別有關(guān)．打算買該品牌手機(jī)不打算買該品牌手機(jī)合計(jì)男性女性合計(jì)（2）該電商將這200個(gè)樣本中打算購買該品牌手機(jī)的被調(diào)查者依據(jù)性別分組，用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人賜予500元實(shí)惠券的嘉獎(jiǎng)，另外3人賜予200元實(shí)惠券的嘉獎(jiǎng)，求獲得500元實(shí)惠券與獲得200元實(shí)惠券的被調(diào)查者中都有女性的概率．附：，．0.500.250.050.0250.0100.4551.3213.8405.0246.63520．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，，二面角為60°，E為PD的中點(diǎn)．（1）證明：平面PAD．（2）求平面ADE與平面ABE所成銳二面角的余弦值．21．（12分）已知橢圓的離心率為，焦距為2．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）過的右焦點(diǎn)F作相互垂直的兩條直線，（均不垂直于x軸），交于A，B兩點(diǎn)，交于C，D兩點(diǎn)．設(shè)線段AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，證明：直線MN過定點(diǎn)．22．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）若對(duì)隨意，恒成立，求整數(shù)m的最小值．滄州市七校聯(lián)盟高三年級(jí)2024~2025學(xué)年上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題參考答案1．B．2．C因?yàn)?，所以?fù)數(shù)z的虛部是．3．A，令，得，則的系數(shù)為．4．D因?yàn)?，，所以．?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，解得．5．C因?yàn)?，，，四組通行時(shí)間的頻率分別是0.1，0.25，0.4，0.05，所以通行時(shí)間在內(nèi)的頻率是，通過的車輛臺(tái)數(shù)是．6．C分別以AB，AD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖略），因?yàn)?，，，所以，，故?．AEFGH是平行四邊形，由線面平行的性質(zhì)定理可得，，直線EG和AC所成角，即直線EG和EH所成角．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，，所以，故?．D令，則，所以在R上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以不等式，可變形得，所以，解得?．BD因?yàn)椋裕驗(yàn)?，，所以公差?0．ABD由題意得，．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合，所以．因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期，故A正確．將的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到曲線，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故B正確．當(dāng)時(shí)，，，即的值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤．令，解得，所以當(dāng)取得最值時(shí)，，故D正確．11．BD為奇函數(shù)，，，同時(shí)說明的圖象關(guān)于對(duì)稱．，，即，可得，函數(shù)的周期為4，故．12．AC設(shè)，，，則，，，．因?yàn)楹愠闪?，所以離心率．13．0，．14．，．，．15．如圖，由題可知圓C的圓心為，半徑．要使的長度最小，即要最小，則最?。?yàn)椋援?dāng)最小時(shí)，最小因?yàn)椋援?dāng)最小時(shí)，最小．因?yàn)?，所以，，則．16．2因?yàn)?，平面，所以EF∥平面，所以無論點(diǎn)P在線段EF上什么位置，它到平面的距離不變．當(dāng)點(diǎn)P是EF與的交點(diǎn)時(shí)，，則P到平面的距離是到平面距離的．因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為，所以P到平面的距離是，因?yàn)榈拿娣e，所以三棱錐的體積．17．解：若選①，由正弦定理，得，即，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，，所以，所以．若選②，由正弦定理，得．因?yàn)?，所以，所以，化簡得，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，，所以，所以．若選③，由正弦定理，得．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，，所以，所以，所以．因?yàn)?，，，所以，所以?8．解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得．因?yàn)?，①所以?dāng)時(shí)，，②①-②得，，所以．故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為．（2）由題知，，所以，③，④③-④得，．所以．19．解：（1）由題意得2×2列聯(lián)表如下：打算買該品牌手機(jī)不打算買該品牌手機(jī)合計(jì)男性8040120女性404080合計(jì)12080200因?yàn)?，所以?7.5%的把握認(rèn)為這200位參加調(diào)查者是否打算購買該品牌手機(jī)與性別有關(guān)．（2）由題意可知，用分層抽樣的方法抽取的6人中，男性有人，女性有人．設(shè)“獲得500元實(shí)惠券者與獲得200元實(shí)惠券者都有女性”為事務(wù)A，則，即獲得500元實(shí)惠券與獲得200元實(shí)惠券的被調(diào)查者中都有女性的概率為．20．（1）證明：四邊形ABCD為正方形，．，，平面PCD．平面PCD，．二面角P-AD-B為60°，．，，為等邊三角形．為PD的中點(diǎn)，．，平面PAD．（2）解：過P作，垂足為O，易知O為CD的中點(diǎn)．平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，平面ABCD．設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，連接OQ，則，平面PDC．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)閥軸正方向，的方向?yàn)閦軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．正方形ABCD的邊長為2，，，，，，，，，，平面PAD，為平面ADE的一個(gè)法向量．設(shè)是平面ABE的法向量，則，令，得．．平面ADE與平面ABE所成銳二面角的余弦值為．21．（1）解：因?yàn)殡x心率，，且，所以，，，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：由（1）知．設(shè)直線AB的方程為，，，聯(lián)立方程組，消去y得，則，，所以M的坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以CD的斜率為．將M坐標(biāo)中的k換為，可得N的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，設(shè)直線MN的斜率為，則，所以直線MN的方程為，即，則直線MN