專升本高等數(shù)學二（一元函數(shù)微分學）模擬試卷1（共147題）

專升本高等數(shù)學二（一元函數(shù)微分學）模擬試卷1（共5套）（共147題）專升本高等數(shù)學二（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、已知函數(shù)f(x)在點x0處可導，且f′(x0)=2，則等于().A、0B、1C、2D、4標準答案：D知識點解析：2、已知f(x)在x=1處可導，且f′(1)=3，則=().A、0B、1C、3D、6標準答案：C知識點解析：暫無解析3、設函數(shù)f(x)=cosx，則()．A、-1B、-1/2C、0D、1標準答案：A知識點解析：暫無解析4、d(sin2X)=().A、2cos2xdxB、cos2xdxC、-2cos2xdxD、-cos2xdx標準答案：A知識點解析：暫無解析5、曲線y=x3-3x2-1的凸區(qū)間是().A、(-∞，1)B、(-∞，2)C、(1，+∞)D、(2，+∞)標準答案：A知識點解析：因為y″=6x-6，當y″＜0時x＜1，所以選A.6、設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，f′(x)＞0，f(a)f(b)＜0，則f(x)在(a，b)內零點的個數(shù)為().A、3B、2C、1D、0標準答案：C知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)7、設函數(shù)y=x2-ex，則y′=________.標準答案：2x-ex知識點解析：暫無解析8、設y=y(x)由方程y=x-ey所確定，則=________.標準答案：應填1/(1+e)，等式兩邊對x求導，得知識點解析：暫無解析9、設函數(shù)y=sinx，則y′″=________.標準答案：-cosx知識點解析：因為y′=cosx，y″=-sinx，y′″=-cosx10、設函數(shù)y=ex+1，則y″=________.標準答案：ex+1．知識點解析：暫無解析11、設函數(shù)，則y″=________.標準答案：知識點解析：暫無解析12、設函數(shù)f(x)=sin(1-x)，則f″(1)=________.標準答案：0知識點解析：因為f′(x)=-cos(1-x)，f″(x)=-sin(1-x)，所以f″(1)=0.13、曲線y=2x2在點(1，2)處的切線方程y=________.標準答案：4x-2知識點解析：y′(1)=4x|x=1=4，切線方程：y-2=4(x-1)，所以y=4x-2.14、設曲線Y=ax2+2x在點(1，a+2)處的切線與y=4x平行，則a=________.標準答案：1知識點解析：因為y′(1)=2a+2=4，則a=1.15、曲線y=lnx在點(1，0)處的切線方程為________.標準答案：y=x-1知識點解析：因為y′=1/x，則y′(1)=1，所以切線方程為y=x-1.16、函數(shù)的單調增加區(qū)間是________.標準答案：(1，+∞)知識點解析：因為y′=x-1＞0時，x＞1.17、曲線y=x3-3x2+5x-4的拐點坐標為________.標準答案：(1，-1)知識點解析：因為y″=6x-60，得x=1，此時y(1)=-1，所以拐點坐標為(1，-1).18、已知點(1，1)是曲線y=x2+alnx的拐點，則a=________.標準答案：2知識點解析：因為y″(1)=2-a=0，得a=2.三、簡單解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)19、設函數(shù)求dy.標準答案：知識點解析：暫無解析20、設函數(shù)y=ln(x2+1)，求dy.標準答案：知識點解析：暫無解析21、設函數(shù)y=cos(x2+1)，求y′.標準答案：y′=-2xsin(x2+1).知識點解析：暫無解析22、設函數(shù)y=xe2x，求y′.標準答案：y′=(xe2x)′=(x)′e2x+x(e2x)′=e2x+2xe2x=(1+2x)e2x.知識點解析：暫無解析23、設y=y(x)由方程ex-ey=sin(xy)所確定，求|x=0.標準答案：等式兩邊求微分，得d(ex-ey)=d[sin(xy)]，即edx-edy=cos(xy)d(xy)=cos(xy)(ydx+xdy)，知識點解析：暫無解析24、設y=(x)由方程y3=x+arccos(xy)所確定，求.標準答案：等式兩邊對x求導，得知識點解析：暫無解析25、求標準答案：知識點解析：26、求標準答案：知識點解析：暫無解析27、求標準答案：知識點解析：暫無解析28、已知x=-1是函數(shù)f(x)=ax3+bx2的駐點，且曲線y=f(x)過點(1，5)，求a，b的值.標準答案：f′(x)=3ax2+2bx，f′(-1)=3a-2b=0，再由f(1)=5得a+b=5，聯(lián)立解得a=2，b=3.知識點解析：暫無解析29、求函數(shù)f(x)=x3-3x-2的單調區(qū)間和極值.標準答案：函數(shù)的定義域為(-∞，+∞).函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(-∞，-1)，(1，+∞)；單調減區(qū)間為(-1，1).極大值為f(1)=0，極小值為f(1)=-4.知識點解析：暫無解析30、已知函數(shù)f(x)=lnx-x．①求f(x)的單調區(qū)間和極值；②判斷曲線y=f(x)的凹凸性.標準答案：①f(x)的定義域為(0，+∞).當0＜x＜1時，f′(x)＞0；當x＞1時，f′(x)＜0.所以f(x)的單調增區(qū)間為(0，1)，單調減區(qū)間為(1，+∞).f(x)在x=1處取得極大值f(1)=-1.②因為f″(x)=-(1/x2)＜0，所以曲線y=f(x)是凸的.知識點解析：暫無解析31、證明：標準答案：知識點解析：暫無解析32、證明：當x＞1時，x＞1+lnx.標準答案：設f(x)=x-1-lnx，則f′(x)=1-1/x.當x＞1時，f′(x)＞0，則f(x)單調增加，所以當x＞1時，f(x)＞f(1)=0，即x-1-lnx＞0，得x＞1+lnx.知識點解析：暫無解析33、設拋物線y=1-x2與x軸的交點為A，B，在它們所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖1-2-2所示).設梯形上底CD長為2x，面積為S(x).①寫出S(x)的表達式；②求S(x)的最大值.標準答案：知識點解析：暫無解析34、在拋物線y=1-x2與x軸所圍成的平面區(qū)域內作一內接矩形ABCD，其一邊AB在x軸上(如圖1-2-4所示).設AB=2x，矩形面積為S(x).①寫出S(x)的表達式；②求S(x)的最大值．標準答案：①S(x)=AB·BC=2xy=2x(1-x2)(0＜x＜1).知識點解析：暫無解析專升本高等數(shù)學二（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內可導，且f(x0)為f(x)的一個極小值，則=()A、一2B、0C、1D、2標準答案：B知識點解析：因f(x)在x=x0處取得極值，且可導，于是f’(x0)=0．又=2f’(x0)=0．2、設函數(shù)f(x)=e－x2，則f’(x)等于()A、一2e－x2B、2e－x2C、一2xe－x2D、2xe－x2標準答案：C知識點解析：因f(x)=e－x2，則f’(x)=e－x2．(一2x)=一2xe－x2．3、設函數(shù)f(x)=2lnx+ex，則f’(2)=()A、eB、1C、1+e2D、ln2標準答案：C知識點解析：因f(x)=2lnx+ex，于是f’(x)=＋ex，故f’(2)=1+e2．4、設y=exsinx，則y’’’=()A、cosx．exB、sinx．exC、2ex(cosx—sinx)D、2ex(sinx—cosx)標準答案：C知識點解析：y’=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)，y’’=ex(sinx+cosx)+ex(cosx—sinx)=2excosx，y’’’=2excosx一2exsinx=2ex(cosx—sinx)．5、設f(x)可導，且滿足=一2，則曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為()A、4B、一4C、1D、一1標準答案：D知識點解析：=2f’(1)=一2，故f’(1)=一1．6、曲線y=1+()A、有水平漸近線，無鉛直漸近線B、無水平漸近線，有鉛直漸近線C、既有水平漸近線，又有鉛直漸近線D、既無水平漸近線，也無鉛直漸近線標準答案：C知識點解析：對于曲線y==1，故有水平漸近線y=1；又=一∞，故曲線有鉛直漸近線x=一1．7、曲線y==1的水平漸近線的方程是()A、y=2B、y=一2C、y=1D、y=一1標準答案：D知識點解析：=一1，所以水平漸近線為y=一1．8、曲線y=(x一1)2(x一3)2的拐點個數(shù)為()A、0B、1C、2D、3標準答案：C知識點解析：本題考察曲線拐點的概念，可直接求函數(shù)二階導數(shù)為零的點，再判斷在零點左右兩側的二階導數(shù)是否異號，以求出拐點，但由于函數(shù)的一階、二階導數(shù)有明顯的幾何意義，因而這類題目若能結合曲線的形狀，往往判斷起來更為方便，本題的曲線對稱于直線x=2，所以它或者沒有拐點，或者只有兩個拐點，因此B與D被排除掉，又y’=4(x一1)(x一2)(x一3)，對導函數(shù)y’應用羅爾定理，知y’’有兩個零點，從而知曲線有兩個拐點，故選C．9、方程x3一3x+1=0()A、無實根B、有唯一實根C、有兩個實根D、有三個實根標準答案：D知識點解析：令f(x)=x3一3x+1，則f’(x)=3(x＋1)(x－1)，可知，當一1＜x＜1時，f’(x)＜0，f(x)單調遞減；當x＞1或x＜一1時，f’(x)＞0，f(x)單調遞增，因f(一2)=一1＜0，f(一1)一3＞0，f(1)=一1＜0，f(2)一3＞0，由零點定理及f(x)的單調性知，在(一2，一1)，(－1，1)及(1，2)各存在一個實根，故f(x)=x3一3x+1有且只有三個實根，故選D．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)10、設函數(shù)f(x)在x=0處可導，且f(0)=0，f’(0)=b，若F(x)=在x=0處連續(xù)，則常數(shù)A=________．標準答案：a+b知識點解析：由函數(shù)F(x)在x=0處連續(xù)可得=F(0)，即=b+a=A．11、設y=2x，則y(n)=________．標準答案：(ln2)n2x知識點解析：y=2x，y’=2xln2，y’’=2x．ln2．ln2=(ln2)22x，y’’’=(ln2)2．2x．ln2=(ln2)3．2x，…y(n)=(ln2)n2x．12、設y=，則y’=_________．標準答案：知識點解析：13、設f(x)=ax3一6ax2+b在區(qū)間[一1，2]的最大值為2，最小值為一29，又知a＞0，則a=_________，b=_________．標準答案：，2知識點解析：f’(x)=3ax2－12ax，f’(x)=0，則x=0或x=4，而x=4不在[一1，2]中，故舍去，f’’(x)=6ax一12a，f’’(0)=一12a，因為a＞0，所以f’’(0)＜0，所以x=0是極大值點．又因f(一1)=一a一6a+b=b一7a，f(0)=b，f(2)=8a一24a+b=b一16a，因為a＞0，故當x=0時，f(x)最大，即b=2；當x=2時，f(x)最?。詁一16a=一29，即16a=2+29=31，故a=．14、若=1，則f(x)在x=a處取極_________值．標準答案：小知識點解析：一1＞0，又有(x一a)2＞0，則由極限的保號性可知f(x)一f(a)＞0，故f(a)為極小值．三、簡單解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)15、求y=的n階導數(shù)．標準答案：y’=，y’’=，y’’’=，依次類推y(n)=(一1)n．知識點解析：暫無解析16、求函數(shù)y=ln(x+)的二階導數(shù)y’’．標準答案：y’’=．知識點解析：暫無解析17、設x=φ(y)是嚴格單調的連續(xù)函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，且f(1)=9，f’(1)=一，求φ’(9)．標準答案：φ’(y)=，而f(1)=9，f’(1)=一，故φ’(9)=．知識點解析：暫無解析18、設y=y(x)由所確定，f’’(t)存在且f’’(t)≠0，求．標準答案：知識點解析：暫無解析19、設函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內具有二階導數(shù)，且f(0)=f’(0)=0，試求函數(shù)g(x)=的導數(shù)．標準答案：當x≠0時，g’(x)=；知識點解析：暫無解析20、求曲線y=x3一3x+5的拐點．標準答案：y’=3x2一3，y’’=6x．令y’’=0，解得x=0．當x＜0時，y＜0；當x＞0時，y’’＞0，當x=0時，y=5．因此，點(0，5)為所給曲線的拐點．知識點解析：暫無解析已知f(x)是定義在R上的單調遞減的可導函數(shù)，且f(1)=2，函數(shù)F(x)=∫0xf(t)dt一x2—1．21、判別曲線y=F(x)在R上的凹凸性，并說明理由；標準答案：∵F’(x)=f(x)一2x，F(xiàn)’’(x)=f(x)一2，且由題意知f’(x)≤0(x∈R)，∴F’’(x)＜0(x∈R)，故曲線y=F(x)在R上是凸的；知識點解析：暫無解析22、證明：方程F(x)=0在區(qū)間(0，1)內有且僅有一個實根．標準答案：顯然F(x)在[0，1]上連續(xù)，且F(0)=一1＜0，F(xiàn)(1)=∫01f(t)dt一2＞∫012dt一2=0，∴方程F(x)=0在區(qū)間(0，1)內至少有一個實根．由F’’(x)＜0知F’(x)在R上單調遞減，∴x＜1時，有F’(x)＞F’(1)=f(1)一2=0，由此知F(x)在(0，1)內單調遞增，因此方程F(x)=0在(0，1)內至多只有一個實根，故方程F(x)=0在區(qū)間(0，1)內有且僅有一個實根．知識點解析：暫無解析23、若f(x)在[0，1]上有三階導數(shù)，且f(0)=f(1)=0，設F(x)=x3f(x)，試證在(0，1)內至少存在一個ξ，使F’’’(ξ)=0．標準答案：由題設可知F(x)，F(xiàn)’(x)，F(xiàn)’’(x)，F(xiàn)’’’(x)在[0，1]上存在，又F(0)=0，F(xiàn)(1)=f(1)=0，由羅爾定理，存在ξ1∈(0，1)使F’(ξ1)=0．又F’(0)=[3x2f(x)+x3f’(x)]｜x=0=0，F(xiàn)’(x)在[0，ξ1]上應用羅爾定理，存在ξ2∈(0，ξ1)(0，1)使F’’(ξ2)=0，又F’’(0)=[6xf(x)+6x2f’(x)+x3f’’(x)]｜x=0=0，對F’’(x)在[0，ξ2]上再次用羅爾定理，存在ξ∈(0，ξ2)(0，1)使F’’’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析24、設0＜a＜b＜1，證明不等式arctanb—arctana＜．標準答案：只需證明，在[a，b]上用拉格朗日中值定理，知識點解析：暫無解析25、證明：當x＞0時，有不等式(1+x)ln(1+x)＞arctanx．標準答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)一arctanx，f’(x)=ln(1+x)+1一，f’’(x)=當x＞0時，f’’(x)＞0，則f’(x)單調遞增，故有f’(x)＞f’(0)=0，則f(x)單調遞增，故有f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx．知識點解析：暫無解析26、證明當x＞0時，x＞ln(1+x)．標準答案：令F(x)=x—ln(1+x)，由F’(x)=1－＞0(當x＞0時)知F(x)單調增加，又F(0)=0，所以，當x＞0時，F(xiàn)(x)＞0，即x—ln(1+x)＞0，即x＞ln(1+x)．知識點解析：暫無解析27、設有底為等邊三角形的直柱體，體積為V，要使其表面積為最小，問底邊的長應為多少?標準答案：設底邊長為x，直柱體高為y，則V=，S’=，令S’=0得為極小值點，故在實際問題中，也為最小值點，即底邊為時，表面積最?。R點解析：暫無解析專升本高等數(shù)學二（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設f(x)在x=a處可導，則=()A、f’(a)B、2f’(a)C、一2f’(a)D、一f’(a)標準答案：C知識點解析：=一2f’(a)，故選C．2、設函數(shù)y=2x+sinx，則y’=()A、1一cosxB、1+cosxC、2一cosxD、2+cosx標準答案：D知識點解析：因為y=2x+sinx，則y’=2+cosx．3、設f’(1)=1，則=()A、一1B、0C、D、1標準答案：C知識點解析：因f’(1)，因f’(1)=1，故極限值為．4、設f(x)=｜sinx｜，f(x)在x=0處()A、可導B、連續(xù)但不可導C、不連續(xù)D、無意義標準答案：B知識點解析：f(x)=｜sinx｜在R上連續(xù)，在x=0處顯然連續(xù)，=1，=一1，所以f(x)在x=0處不可導，故選B．5、曲線在t=0相應的點處的切線方程是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：y’=．又t=0時，x=1，y=0，故切線方程為y=(x一1)．6、f(x)在(一∞，+∞)內可導，且對任意的x1，x2，當x1＞x2時，都有f(x1)＞f(x2)，則()A、對任意x，f’(x)＞0B、對任意x，f’(一x)≤0C、函數(shù)f(一x)單調增加D、函數(shù)一f(一x)單調增加標準答案：D知識點解析：反例：取f(x)=x3，有f’(0)=0，f(一x)=一x3單調減少，排除A，B，C，故選D，D項證明如下：令F(x)=一f(－x)，x1＞x2，則一x1＜一x2．所以F(x1)=一f(一x1)＞一f(一x2)=F(x2)，故一f(一x)單調增加．7、設函數(shù)y=f(x)具有二階導數(shù)，且f’(x)＜0，f’’(x)＜0，又△y=f(x+△x)一f(x)，dy=f’(x)△x，則當△x＞0時，有()A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0標準答案：B知識點解析：由于f’(x)＜0，△x＞0，可知dy=f’(x)△x=0，因此應排除A、C項，由于f’’(x)＜0，可知曲線是凸的，f’(x)＜0，曲線單調下降，因此曲線弧單調下降且為凸的，由曲線弧圖形可知△y＜dy，故選B．8、設函數(shù)y=f(x)的導數(shù)y’=f’(x)的圖像如圖2—1所示，則下列結論正確的是()A、x=一1是駐點，但不是極值點B、x=一1為極大值點C、x=1是極小值點D、x=一1為極小值點標準答案：D知識點解析：從圖像上可知，f’(－1)=0，因而x=一1為駐點，當x＜一1時，f’(x)＜0；當x＞一1時，f’(x)＞0，所以，x=一1是y=f(x)的極小值點，故選D．9、以下結論正確的是()A、函數(shù)f(x)的導數(shù)不存在的點，一定不是f(x)的極值點B、若x0為函數(shù)f(x)的駐點，則x0必為f(x)的極值點C、若函數(shù)f(x)在點x0處有極值，且f’(x0)存在，則必有f’(x0)=0D、若函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，則f’(x0)一定存在標準答案：C知識點解析：導數(shù)為零的點稱為駐點，但駐點不一定是極值點．極值點可能是駐點，也可能是不可導點，可導一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)10、設f(x)=在x=1處可導，則a=________，b=________．標準答案：e，1知識點解析：f(x)在x=1處可導，則f(x)在x=1處連續(xù)，11、y=，求dy=________．標準答案：知識點解析：y=．12、若x=atcost，y=atsint，則=_________．標準答案：知識點解析：．13、設曲線y=，則該曲線的鉛直漸近線為_________．標準答案：x=一1知識點解析：由y=，故鉛直漸近線為x=一1．14、y=x3一3x2+6x一2在[一1，1]上的最大值為_________．標準答案：2知識點解析：f’(x)=3x2一6x+6=3[(x一1)2+1]＞0，函數(shù)單調遞增，故在[一1，1]上最大值為f(1)=1—3+6—2=2．三、簡單解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)15、設f(x)=3x，g(x)=x3，求f’[g’(x)]．標準答案：因為f’(x)=3xln3，g’(x)=3x2，所以f’[g’(x)]=f’(3x2)=33x2ln3．知識點解析：暫無解析16、設sin(t．s)+ln(s一t)=t，且s=s(t)，求的值．標準答案：在sin(t．s)＋ln(s一t)=t兩邊對t求導，視s為t的函數(shù)，有cos(t．s)(s+t．s’)+．(s’一1)=1，而當t=0時，s=1，代入上式得=1．知識點解析：暫無解析17、求函數(shù)y=的導數(shù)．標準答案：等式兩邊取對數(shù)得lny=，兩邊對x求導得，所以y’=．知識點解析：暫無解析18、已知兩曲線y=f(x)與y=∫0arctanxe－t2dt在點(0，0)處的切線相同，寫出此切線方程，并求極限．標準答案：由已知條件得f(0)=0，f’(0)==1。故所求切線方程為y=x，且=2f’(0)=2．知識點解析：暫無解析19、設f(x)=2x2+x｜x｜，求f’(0)，并證明f(x)在x=0處不存在二階導數(shù)．標準答案：f(0)=0，從而f’(0)==0；當x＞0時，f(x)=2x2+x2=3x2，所以f’(x)=6x；當x＜0時，f(x)=2x2一x2=x2，所以f’(x)=2x．從而f’(x)=而f－’’==2，f＋’’==6，f－’’(0)≠f＋’’(0)，所以f(x)在x=0處不存在二階導數(shù)．知識點解析：暫無解析20、求函數(shù)y=x2+的極值與單調區(qū)間及其凹凸區(qū)間和拐點、漸近線．標準答案：函數(shù)定義域為x∈(一∞，0)∪(0，+∞)，y’=2x一，令y’=0，得x=1．當x＞1時，y’＞0；當x＜1時，y’＜0，所以函數(shù)y=x2+在x=1處取得極小值，且極小值為y(1)=3；單調增區(qū)間為x∈(1，+∞)，單調減區(qū)間為(一∞，0)，(0，1)．又因y’’=，令y’’=0，得x=．當＜x＜0時，y’’＜0；當x＞0時，y’’＞0，所以點(，0)是拐點，凹區(qū)間為(一∞，)，(0，+∞)；凸區(qū)間為(，0)，又因有垂直漸近線x=0．知識點解析：暫無解析21、已知f(x)在[a，b]上連續(xù)且f(a)一f(b)，在(a，b)內f’’(x)存在，連接A(a，f(a))，B(b，f(b))兩點的直線交曲線y=f(x)于C(c，f(c))且a＜c＜b，試證在(a，b)內至少有一點ξ使得f’’(ξ)=0．標準答案：由f(a)=f(b)且f(x)在[a，b]上連續(xù)可知f(a)=f(b)=f(c)，在(a，c)內有一點η1，使得f’(η1)=0；在(c，b)內有一點η2，使得f’(η2)=0，這里a＜η1＜c＜η2＜b．再由羅爾定理，知在(η1，η2)內至少有一點ξ，使得f’’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析22、設F(X)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，且f(a)=f(b)=0，證明在(a，b)內至少存在一點ζ，使f’(ζ)=一λf(ζ)，這里λ為任意實數(shù)．標準答案：將要證明的關系式寫成f’(ζ)+λF(ζ)=0，作輔助函數(shù)φ(x)=eλxf(x)，容易驗證φ(x)在[a，b]上滿足羅爾定理的條件，故存在ζ∈(a，b)，使φ’(ζ)=0，即eλζ[f’(ζ)+λf(ζ)]=0，亦即f’(ζ)=一λf(ζ)．知識點解析：暫無解析23、設f(x)在[0，a]上連續(xù)，在(0，a)內可導，且f(a)=0，證明存在一點ξ∈(0，a)，使得f(ξ)+ξf’(ξ)=0．標準答案：把ξ變?yōu)閤，得f(x)+xf’(x)=0，即(xf(x))’=0，兩邊積分得xf(x)=C，所以，設F(x)=xf(x)．設F(x)=xf(x)在[0，a]上連續(xù)，在(0，a)內可導，F(xiàn)(0)=0，F(xiàn)(a)=0，根據(jù)羅爾定理得，存在一點ξ∈(0，a)，使得F’(ξ)=0，即f(ξ)+ξf’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析24、若函數(shù)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，試證：至少存在一點ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0．標準答案：f’(x)g(x)+2f(x)g’(x)=0，解微分方程，分離變量得，兩邊積分得，lnf(x)=一2lng(x)+C1，即lnf(x)g2(x)=C1，因此f(x)g2(x)=C，故設F(x)=f(x)g2(x)．由題意可知F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，且F(a)=f(a)g2(a)=0，F(xiàn)(b)=f(b)g2(b)=0，所以，F(xiàn)(x)在[a，b]上滿足羅爾定理，所以，存在一點ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)g2(ξ)+2f(ξ)g(ξ)g’(ξ)=0，又g(x)≠0，整理得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析25、證明對任意x都有x—x2＜．標準答案：令F(x)=一x+x2，由F’(x)=一1+2x=0得唯一駐點x=，且F’’(x)=2＞0，所以＞0，為函數(shù)F(x)的最小值，故對任意x都有F(x)＞0，所以一x+x2＞0，即x—x2＜．知識點解析：暫無解析26、要做一個圓錐形的漏斗，其母線長20cm，要使其體積為最大，問其高應為多少?標準答案：設高為h，則底面半徑r=(400一h2)h，V’=一πh2，令V’=0得h=＜0，故h=為極大值點，在此問題中也為最大值點．即高為cm時，其體積最大．知識點解析：暫無解析專升本高等數(shù)學二（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)在x=0處可導，則=()A、f’(0)B、f’(0)C、2f’(0)D、f’(0)標準答案：C知識點解析：2、設函數(shù)y=ex－2，則dy=()A、ex－3dxB、ex－2dxC、ex－1dxD、exdx標準答案：B知識點解析：因為y=ex－2，y’=ex－2，所以dy=ex－2dx．3、下列函數(shù)中，在x=0處可導的是()A、y=｜x｜B、y=C、y=x3D、y=lnx標準答案：C知識點解析：選項A中，y=｜x｜，在x=0處左右導數(shù)不相同，則y=｜x｜在x=0處不可導；選項B中，在x=0處無定義，即y=在x=0處不可導；選項C中，y=x3，y’=3x2處處存在，即y=x3處處可導，也就在x=0處可導；選項D中，y=lnx在x=0點沒定義，所以y=lnx在x=0處不可導．4、f(x)=(x+1)(x+2)…(x+100)，則f’(一1)=()A、100！B、99！C、∞D、一99！標準答案：B知識點解析：由導數(shù)的定義可知f’(一1)==(x+2)…(x+100)=99?。?、曲線y=()A、有一個拐點B、有兩個拐點C、有三個拐點D、無拐點標準答案：D知識點解析：因y’=，則y’’在定義域內恒不等于0，且無二階不可導點，所以無拐點．6、函數(shù)y=ex+e－x的單調增加區(qū)間是()A、(一∞，+∞)B、(一∞，0]C、(一1，1)D、[0，+∞)標準答案：D知識點解析：y=ex+e－x，則y’=ex一e－x=，令y’＞0，則x＞0，所以y在區(qū)間[0，+∞)上單調遞增．7、函數(shù)f(x)=在[0，3]上滿足羅爾定理，則ξ=()A、2B、3C、0D、1標準答案：A知識點解析：由f(x)=，得f(0)=f(3)=0．又因f’(x)=，故f’(ξ)=0，所以ξ=2．8、設y=f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(0)＞0，f(1)＜0，則下列正確的是()A、y=f(x)在[0，1]上可能無界B、y=f(x)在[0，1]上未必有最小值C、y=f(x)在[0，1]上未必有最大值D、方程f(x)=0在(0，1)內至少有一個實根標準答案：D知識點解析：函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在該區(qū)間必定有界，且存在最大、最小值，由零點定理可知選項D正確．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設函數(shù)y=(x一3)4，則dy=________．標準答案：4(x一3)3dx知識點解析：因為y=(x一3)4，y’=4(x一3)3，則dy=4(x一3)3dx．10、設y=x2ex，則y(10)｜x=0=________．標準答案：90知識點解析：y’=2xex+x2ex=ex(x2+2x)=ex[(x+1)2一1]，y’’=ex(x2+2x)+ex(2x+2)=ex[(x+2)2一2]，y’’’=ex(x2+4x+2)+ex(2x+4)=ex[(x+3)2一3]，…y(10)=ex[(x+10)2一10]，所以y(10)｜x=0=90．11、x=，y=t3，則=________．標準答案：一3t2(1+t)2知識點解析：=一3t2(1+t)2．12、曲線y=的水平漸近線方程為_________．標準答案：y=知識點解析：的水平漸近線．13、f(x)=xex，則f(n)(x)的極小值點為_________．標準答案：x=一(n+1)知識點解析：f’(x)=ex+xex=(x+1)ex，f’’(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f’’’(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex，…，f(n)(x)=(x+n)ex，故(f(n)(x))’=f(n＋1)(x)=(x+n+1)ex=0，則x=一(n+1)，顯然當x＞一(n+1)時，f(n＋1)(x)＞0；當x＜一(n+1)時，f(n＋1)(x)＜0，因此f(n)(x)的極小值點為x=一(n+1)．三、簡單解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)14、討論f(x)=在x=0處的可導性．標準答案：f－’(0)==0，f＋’(0)==0．故函數(shù)在x=0處可導且f’(0)=0．知識點解析：暫無解析15、求曲線y=e－x上通過原點的切線方程及和直線x+y=2垂直的法線方程．標準答案：曲線y=e－x上任一點(x0，e－x0)處的切線方程為y=e－x0=一(e－x)｜x=x0(x—x0)，即y—e－x0=一e－x0(x—x0)．因切線過原點，則將x=0，y=0代入得x0=一1，則切點為(一1，e)，故過原點的切線方程為y=一ex．又曲線y=e－x上任意點的法線方程為y—e－x0=ex0(x—x0)，因法線與x+y=2垂直，故有ex0．(一1)=一1，得x0=0，從而所求法線方程為y=x+1．知識點解析：暫無解析16、函數(shù)y=y(x)由方程ey=sin(x+y)確定，求dy．標準答案：將ey=sin(x+y)兩邊對x求導，有ey．y’=cos(x＋y)(1+y’)，所以y’=dx．知識點解析：暫無解析17、求函數(shù)y=的導數(shù)[已知f(μ)可微]．標準答案：設y=f(μ)，μ=ν2，ν=sint，t=，則知識點解析：暫無解析18、設f(x)在x0點可導，求．標準答案：=2f’(x0)．知識點解析：暫無解析19、已知g(x)=af2(x)且f’(x)=，證明：g’(x)=2g(x)．標準答案：g’(x)=(af2(x))’=lna．af2(x)．[f2(x)]’=lna．af2(x)．2f(x)．f’(x)，又f’(x)=，所以g’(x)=lna．af2(x)．2f(x)．=2af2(x)=2g(x)．知識點解析：暫無解析20、已知曲線y=ax4+bx2+x2＋3在點(1，6)處與直線y=11x一5相切，求a，b．標準答案：曲線過點(1，6)，即點(1，6)滿足曲線方程，所以6=a+b+4，①再y’=4ax2+3bx2+2x，且曲線在點(1，6)處與y=11x一5相切，所以y’｜x=1=4a+3b+2=11，②聯(lián)立①②解得a=3，b=一1．知識點解析：暫無解析21、設f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，f(0)=0，f’’(x)在(0，+∞)內恒大于零，證明g(x)=在(0，+∞)內單調增加．標準答案：方法一因為f’’(x)＞0，所以f’(x)在(0，+∞)單調增加，故f’(x)＞f’(ξ)，即g’(x)＞0，從而g(x)在(0，+∞)單調增加．方法二g’(x)=，欲證分子φ(x)=f’(x)x－f(x)大于零，因為φ’(x)=f’’(x)x+f’(x)一f’(x)=f’’(x)x＞0(x＞0)，所以x＞0時φ(x)單調增加，即φ(x)＞φ(0)=0，故當x＞0，g(x)在(0，+∞)內單調增加．知識點解析：暫無解析22、設f(x)在[a，b]上具有一、二階導數(shù)，f(a)=f(b)=0，又F(x)=(x一a)2f(x)．證明F(x)在(a，b)內至少存在一點ζ，使F’’(ζ)=0．標準答案：顯然，F(xiàn)(x)在[a，b]上滿足羅爾定理條件，故存在η∈(a，b)，使F’(η)=0，又由F’(x)=2(x一a)f(x)+(x一a)2f’(x)，知F’(a)=0．因此，F(xiàn)’(x)在[a，η]上滿足羅爾定理條件，故存在ζ∈(a，η)(a，b)，使得F’’(ζ)=0．知識點解析：暫無解析23、當0＜x＜π時，證明．標準答案：令F(x)=，則F(0)=F(π)=0．又F’(x)=＜F’(0)＞F’(x)＞F’(π)．而F’(0)=＜0，判別不出F’(x)的正負．注意到F’’(x)＜0，則F(x)在0＜x＜π時是凸曲線，由于F(0)=F(π)=0，故F(x)＞0，即，得證．知識點解析：暫無解析24、設函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內可導，且f(0)=0，k為正整數(shù)，求證：存在一點ξ∈(0，1)使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．標準答案：xf’(x)+kf(x)=f’(x)，整理得，(x一1)f’(x)=一kf(x)，分離變量得，兩邊積分得lnf(x)=一kln(1一x)+C1，整理得lnf(x)(1一x)k=C1，即f(x)(1一x)k=C，所以設F(x)=f(x)(1一x)k，F(xiàn)(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內可導，又F(0)=0，F(xiàn)(1)=0，則F(x)在[0，1]上滿足羅爾定理，故存在一點ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．知識點解析：暫無解析25、證明當x＞0時，有．標準答案：分析可得＞0，又可構造輔助函數(shù)，用單調性證明．令F(x)=(0＜x＜+∞)，因為F’(x)=＜0，所以F(x)在(0，+∞)上單調減少，又=0，所以，對一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即．知識點解析：暫無解析26、某企業(yè)計劃生產一批服裝a件，分若干批進行生產，設生產每批服裝需要固定支出1000元，而每批生產直接消耗的費用與產品數(shù)量的平方成正比，已知當每批服裝生產數(shù)量是40件時，直接消耗的生產費用是800元，問每批服裝生產多少件時，才能使總費用最少?標準答案：設每批生產x件，則一年內生產批，每批生產直接消耗費用為p，則p=kx2，又因為根據(jù)條件，每批產品40件時，直接消耗的生產費用為800，所以，800=k402，即k=x2，該產品的總費用y為y=．0＜x≤a，又因為在實際問題中唯一的極值點就是最值點，所以當x=≈45時，總費用最?。R點解析：暫無解析專升本高等數(shù)學二（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、已知f′(1)=2，則().A、-2B、0C、2D、4標準答案：D知識點解析：暫無解析2、設函數(shù)f(x)在x=1處可導且f′(1)=2，則().A、-2B、-1/2C、1/2D、2標準答案：A知識點解析：暫無解析3、設函數(shù)y=ex-ln3，則dy/dx=().標準答案：A知識點解析：暫無解析4、設函數(shù)則f′(x)=().A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：暫無解析5、下列函數(shù)中，在x=0處不可導的是().A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：因為在x=0處y′不存在.6、設函數(shù)y=ex-1+1，則dy=().A、exdxB、ex-1dxC、(ex+1)dxD、(ex-1+1)dx標準答案：B知識點解析：暫無解析7、設函數(shù)y=x4+2x2+3，則d2y/dx2=().A、4x3+4xB、4x2+4C、12x2+4xD、12x2+4標準答案：D知識點解析：暫無解析8、曲線y=e2x-4x在點(0，1)處的切線方程為().A、2x-y-1=0B、2x+y-1=0C、2x-y+1=0D、2x+y+1=0標準答案：B知識點解析：因為y′(0)=(2e2x-4)|x=0=-2，則在點(0，1)處切線方程是2x+y-1=0.9、下列區(qū)間為函數(shù)f(x)=x4-4x的單調增區(qū)間的是().A、(-∞，+∞)B、(-∞，0)C、(-1，1)D、(1，+∞)標準答案：D知識點解析：因為使f′(x)=4x3-4＞0的區(qū)間為(1，+∞).10、函數(shù)f(x)=ln(x2+2x+2)的單調遞減區(qū)間是().A、(-∞，-1)B、(-1，0)C、(0，1)D、(1，+∞)標準答案：A知識點解析：因為令f′(x)＜0，則x＜-1，所以選A.二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)11、設y=y(x)是由方程ey=x+y所確定，則=________.標準答案：等式兩邊對x求導，得知識點解析：暫無解析12、設函數(shù)f(x)=cosx，則f″(x)=________.標準答案：-cosx知識點解析：暫無解析13、設函數(shù)y=sin(2x+1)，則y″=________.標準答案：-4sin(2x+1)．知識點解析：暫無解析14、曲線Y=sin(x+1)在點(一1，0)處的切線斜率為________.標準答案：1知識點解析：因為y′=cos(x+1)，則y′(-1)=1.15、曲線y=ex+x2在點(0，1)處的切線斜率為________.標準答案：1知識點解析：因為y′(0)=(ex+2x)|x=0=1.16、曲線y=x3+3x的拐點坐標為________.標準答案：(0，0)知識點解析：因為y″=6x0，得x=0，則y=0.17、函數(shù)f(x)=