8.6.2直線與平面垂直第2課時(shí)課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

8.6.2直線與平面垂直（2）一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α．垂足垂面垂線溫故知新【回顧1】直線與平面垂直的定義？【回顧2】直線與平面垂直的判定定理？如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。下面我們研究直線與平面垂直的性質(zhì)，即探究在直線a與平面α垂直的條件下能推出哪些結(jié)論．根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，我們可以探究直線a與平面α內(nèi)的直線的關(guān)系．但由定義，a與α內(nèi)的所有直線都垂直．所以可以探究a，α與其他直線或平面的關(guān)系．我們知道，在平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，在空間中是否有類似的性質(zhì)呢?【探究】

（1）如圖1，在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系?

（2）如圖2，已知直線a，b和平面α．如果a⊥α，b⊥α，那么直線a，b一定平行嗎?圖1bαa圖2垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．互相平行證明：假設(shè)a與b不平行，記b∩α＝O．

過(guò)O作直線b′∥a，則b與b′是交于點(diǎn)O的兩條不同的直線．

記b與b′確定的平面為β．

設(shè)α∩β＝c，則有a⊥c，b⊥c．

∵b′∥a，∴b′⊥c．

這與“平面β內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)O有且僅有一條直線與c垂直”相矛盾．

β直線與平面垂直的性質(zhì)定理：

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．【練】判斷下列結(jié)論()()()()()√√√√√【總結(jié)】證明線面垂直的方法(1)由線線垂直證明線面垂直：①定義法(不常用)；②判定定理(最常用)，要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線(有時(shí)需要作輔助線)，使它們與所給直線垂直.(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.【例1】在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.證明

∵AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵M(jìn)N⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵M(jìn)N⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.【練】如圖，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B，a?α，a⊥AB.求證：a∥l.【總結(jié)】證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn)．(2)利用基本事實(shí)4：證兩線同時(shí)平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．【例2】如圖，直線

l//α．求證：直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等．證明：過(guò)直線l上任意兩點(diǎn)A，B，分別作平面α的垂線AA1，BB1，由直線和平面垂直的性質(zhì)定理可知AA1∥BB1．設(shè)AA1和BB1確定的平面為β，易知α∩β＝A1B1．∵l∥α，

∴l(xiāng)∥A1B1．∴四邊形AA1B1B為矩形．∴AA1＝BB1．垂足分別為A1，B1．因?yàn)橹本€A，B為直線l任意的兩點(diǎn)，所以直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等．

一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.由上例我們還可以進(jìn)一步得出，如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.

例如：在棱柱、棱臺(tái)的體積公式中，它們的高就是它們的上、下底面間的距離.【練習(xí)】正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為2，求平面BA'C'到平面ACD'的距離．

如圖，一條直線l與一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足．

過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO，過(guò)垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影．

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．平面的斜線斜足斜線在平面上的射影直線與平面所成的角直線與平面所成角直線與平面所成的角的取值范圍

：

一條平面的斜線與所成的角θ的取值范圍是0°<θ<90°；一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角是0°；綜上，直線與平面所成的角θ的取值范圍是0°≤θ≤90°．【例3】在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求直線A'B和平面A'DCB'的所成的角．【變式】正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1

的中點(diǎn).求D1E與平面ADE所成的角正弦值.

①定義法②等體積法

求斜線和平面所成的角的一般步驟：1．作：在斜線上選擇恰當(dāng)?shù)囊粋€(gè)點(diǎn)，作平面的垂線，確定垂足，連接斜足和垂足，得到斜線在平面內(nèi)的射影，斜線和其射影所成的角，即為斜線和平面所成的角；2．證：證明(1)中所作出的角就是所求直線與平面所成的角；（注：關(guān)鍵證明線面垂直，即證得斜線在面內(nèi)的射影）3．求：通過(guò)解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大?。揪毩?xí)1】（多選）過(guò)△ABC所在平面α外一點(diǎn)P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC，則下列結(jié)論正確的有（

）

A．線段PA，PB，PC，PO中，線段PO最短；B．若PA=PB=PC，則OA=OB=OC；C．若OA=OB=OC，則PA=PB=PC；D．若PA=PB=PC，則PA，PB，PC和平面α所成的角相等．【性質(zhì)】過(guò)平面外一點(diǎn)，作平面的垂線段和斜線段

（1）垂線段和斜線段中，垂線段最短；

（2）若斜線段長(zhǎng)相等，則斜線在面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等；

（3）若斜線在面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線段長(zhǎng)相等．ABCD【變式1】過(guò)△ABC所在平面α外一點(diǎn)P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC，1．若PA=PB=PC，則點(diǎn)O為△ABC的

心；2．若PA=PB=PC，∠C=90°，則點(diǎn)O是AB邊的

點(diǎn)；3．若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O為△ABC的

心．外中垂【變式2】