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文檔簡介

雙曲線的簡單幾何性質(zhì)溫故知新【回憶】雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？平面上到兩個定點F1、F2的距離之差的絕對值為常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡叫作雙曲線．焦點在x軸上：

焦點在y軸上：

【思考】類比研究橢圓的思路，你認(rèn)為該研究雙曲線的哪些幾何性質(zhì)？以為例.①范圍;②對稱性;③頂點;④離心率

這說明雙曲線兩支分別位于直線

x=－a

的左側(cè)與直線x=a

的右側(cè)，向左右兩邊無限延伸．1.范圍

由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

可知，雙曲線上任意一點的坐標(biāo)(x，y)都適合不等式：【探究】觀察圖象，我們還可以更精確地描述雙曲線分布的范圍．

總之，雙曲線

處于兩條相交直線

所圍成的、包含軸在內(nèi)的那兩個區(qū)域中，并且在直線

x=－a

，x=a

所圍成區(qū)域的外側(cè)．

2.漸近線【追問1】如何求解和記憶雙曲線的漸近線方程？在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，把“1”換成0即可！【追問2】漸近線對雙曲線的開口有什么影響?漸近線與實軸的夾角越大，雙曲線的開口也就越大3.對稱性【思考】觀察雙曲線的圖象，猜測雙曲線的對稱軸和對稱中心，如何驗證你的猜想？雙曲線有兩條對稱軸，即x軸和y軸；有一個對稱中心，即原點，雙曲線的對稱中心稱為雙曲線的中心．

在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

中，令y

=

0，得

x

=

±a；可見該雙曲線與對稱軸x軸有兩個交點A1(－a，0)，A2(a，0)，都稱為雙曲線的頂點．

令x

=

0，得y2=

－b2，這個方程沒有實數(shù)解，可見該雙曲線與它的另一條對稱軸y軸沒有交點．但我們也把B1(0，－b)，B2(0，b)畫出來．

線段A1A2，B1B2分別叫作雙曲線的實軸和虛軸，它們的長分別為2a和2b．

雙曲線的中心O分別將實軸、虛軸等分，a和b分別叫作實半軸長和虛半軸長．

實軸與虛軸等長的雙曲線，稱為等軸雙曲線．4.頂點xyo-bb-aa【思考】等軸雙曲線有何特點？

5.離心率

【思考】橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度，那雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的什么幾何特征呢？

顯然，e

越大，

越大，即漸近線

的斜率的絕對值越大，說明雙曲線的開口越大．【例1】求雙曲線

的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標(biāo)、漸近線方程和離心率．【變式1】已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，虛半軸長為

，離心率為3，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【變式】求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）頂點間距離為6，漸近線方程為；（3）已知雙曲線的漸近線方程為

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