2024-2025學(xué)年北師版中學(xué)數(shù)學(xué)九年級上冊 1.3正方形的性質(zhì)與判定（第2課時） 教學(xué)課件

第一章特殊平行四邊形第2課時正方形的判定第一章特殊平行四邊形3正方形的性質(zhì)與判定

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握正方形的判定定理，并解決相關(guān)問題。（重點(diǎn)）2.熟練運(yùn)用特殊四邊形的判定及性質(zhì)對中點(diǎn)四邊形進(jìn)行判斷。（難點(diǎn)）3.進(jìn)一步體會證明的必要性以及計算與證明在解決問題中的作用。1.在平行四邊形的基礎(chǔ)上對矩形、菱形的判定有一個角是直角或?qū)蔷€相等平行四邊形矩形菱形

有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直

知識回顧一個角是直角有一個角是直角且一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等,每條對角線平分一組對角正方形的對邊平行且相等正方形的四個角都是直角邊對角線角2.正方形的定義及性質(zhì)正方形的性質(zhì)且一組鄰邊相等平行四邊形正方形做一做：將矩形紙片對折兩次，怎樣裁剪才能使剪下的三角形展開后是個正方形？（1）（2）（3）（4）剪口與折痕成45°角合作探究菱形問題1：滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直問題2：滿足怎樣條件的菱形是正方形？一個角是直角或?qū)蔷€相等正方形

定理

有一組鄰邊相等的矩形是正方形.

定理

對角線互相垂直的矩形是正方形.

定理

有一個角是直角的菱形是正方形.

定理

對角線相等的菱形是正方形.

正方形的判定

證明：∵BF∥CE，CF∥BE∴四邊形BECF是平行四邊形又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，

CE平分∠DCB∴∠EBA=∠ECB=45°∴BE=CE

∴四邊形BECF是菱形.又∵∠BEC=90°，

∴四邊形BECF是正方形．

例.如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求證：四邊形BECF是正方形.例題講解

如圖1，已知在△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．請分別回答下列問題，并簡述理由.（不添加任何線段）（1）四邊形AEDF是什么四邊形？解：∵

DE∥AC，DF∥AB∴四邊形AEDF是平行四邊形（2）當(dāng)滿足什么條件時，四邊形AEDF是矩形？解：

∵一個角為直角的平行四邊形為矩形

∴∠BAC=90°時，四邊形AEDF是矩形練一練：

（3）當(dāng)滿足什么條件時，四邊形AEDF是菱形？

解：∵有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形∴當(dāng)AD平分∠BAC時，四邊形AEDF是菱形

（4）當(dāng)滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？

解：∵既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，∴∠BAC=90°且AD平分∠BAC時，四邊形AEDF是正方形．猜想結(jié)論，分組驗(yàn)證

1.如圖，在ΔABC中，EF為ΔABC的中位線，①若∠BEF=30°，則∠A=

.②若EF=8cm,

則AC=

.BFECA30°16cm合作探究2.在AC的下方找一點(diǎn)D,做CD和AD的中點(diǎn)G、H,問EF和GH有怎樣的關(guān)系？EH和FG呢？DHGBFECA3.四邊形EFGH的形狀有什么特征？猜想結(jié)論，分組驗(yàn)證

EF∥GH，且EF=GHEH∥FG，且EH=FG平行四邊形如果一個四邊形變?yōu)樘厥獾乃倪呅?，中點(diǎn)四邊形會有怎樣的變化呢？平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形梯形原四邊形可以是：猜想結(jié)論，分組驗(yàn)證

特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形：平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形猜想結(jié)論，分組驗(yàn)證

特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形：等腰梯形的中點(diǎn)四邊形是菱形直角梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形猜想結(jié)論，分組驗(yàn)證

對角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形對角線既相等又垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形對角線既不相等又不垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形猜想結(jié)論，分組驗(yàn)證

歸納：一般四邊形的中點(diǎn)四邊形：

決定中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀的主要因素是原四邊形ABCD的對角線的長度和位置關(guān)系。原四邊形對角線關(guān)系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直所得中點(diǎn)四邊形形狀平行四邊形菱形矩形正方形5種識別方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或?qū)蔷€相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個角是直角或?qū)蔷€相等一個角是直角且一組鄰邊相等四邊形平行四邊形矩形菱形正方形課堂小結(jié)1、下列命題正確的是（）

A、四個角都相等的四邊形是正方形

B、四條邊都相等的四邊形是正方形

C、對角線相等的平行四邊形是正方形

D、對角線互相垂直的矩形是正方形D隨堂訓(xùn)練2．四個內(nèi)角都相等的四邊形一定是（）A、正方形B、菱形C、矩形D平行四邊形

3．在四邊形ABCD中，O是對角線的交點(diǎn)，能判定這個四邊形是正方形的是：（）

A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD

B．AD∥BC∠A＝∠C

C．AO＝CO

BO＝DO

AB＝BCD．AC＝BDCA4.已知在□ABCD中，∠A=90°，如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個條件可以是（）

A．∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CDD5、順次連接矩形的各邊中點(diǎn)，所得的四邊形一定是（）Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．梯形順次連接菱形的各邊中點(diǎn)，所得的四邊形一定是（）Ａ．正方形 Ｂ．菱形Ｃ．矩形Ｄ．平行四國邊形順次連接正方形的各邊中點(diǎn)，所得的四邊形一定是（）Ａ．正方形 Ｂ．菱形Ｃ．矩形Ｄ．平行四國邊形BCA

6、如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是BD上的兩點(diǎn)，且