2024-2025學(xué)年北師版中學(xué)數(shù)學(xué)九年級上冊 2.2 用配方法 求解一元二次方程（第1課時） 教學(xué)課件

第二章一元二次方程第二章一元二次方程2.1

用配方法求解一元二次方程第1課時用配方法求解簡單的一元二次方程

學(xué)習(xí)目標(biāo)12會用直接開平方法解形如(x+m)2＝n

(n>0)的方程.（重點）理解配方法的基本思路.（難點）3會用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程.（重點）新課導(dǎo)入試一試

解下列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流.(1)x2=4；(2)x2=0；(3)x2+1=0.解:根據(jù)平方根的意義，得x1=2,x2=-2.解:根據(jù)平方根的意義，得x1=x2=0.解:根據(jù)平方根的意義，得x2=-1,因為負(fù)數(shù)沒有平方根，所以原方程無解.填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=(

)2；a+b(2)a2-2ab+b2=(

)2.a-b知識講解★用直接開平方法解一元二次方程（2）當(dāng)p=0

時，方程x2=p有兩個相等的實數(shù)根=0；（3）當(dāng)p<0

時,因為任何實數(shù)x，都有x2≥0

，所以方程x2=p無實數(shù)根.

如果我們把x2=4，

x2=0，

x2+1=0變形為x2=p

會是什么情形？一般的，對于方程x2=p,

（1）當(dāng)p>0

時，根據(jù)平方根的意義，方程x2=p有兩個不等的實數(shù)根，；(1)x2=25；(2)

x2－900=0.解：（1）x2=25，直接開平方，得（2）移項，得x2=900.直接開平方，得x=±30，∴x1=30,x2=－30.

利用直接開平方法解下列方程:例1

分析：第1小題中只要將（x＋2）看成是一個整體，就可以運用直接開平方法求解.解：（1）∵x+2是7的平方根，∴x+2=

解下列方程：⑴（x＋2）2=7；

例2分析：同第（1）小題一樣地解.（2）（2x+3）2

=16；

解：∵2x+3是16的平方根，∴2x+3=±4.即2x+3=4或2x+3=-4∴x1=

，

x2=(3)2（

1－3x

）2－18

=0.分析：第3小題先將－18移到方程的右邊，再兩邊都除以2，再同第（1）小題一樣地去解，然后兩邊都除以-3即可.

解：移項，得2（

1－3x

）2=18，兩邊都除以2，得（1－3x

）2=9.∵1－3x是9的平方根，∴1－3x=±3.即1－3x=3或1－3x=-3.1.采用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的意義，直接開平方法只適用于能轉(zhuǎn)化為x2=p或（mx＋n）2=p（p≥0）的形式的方程，可得方程的根為x=或mx＋n=2.利用直接開平方法解一元二次方程時，只有當(dāng)p為非負(fù)常數(shù)時，方程才有解，并且要注意開方的結(jié)果有“正、負(fù)”兩種情況.注意做一做：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立1.x2+12x+

=(x+6)2；2.x2-6x+

=(x-3)2；3.x2-4x+

=(x-

)2；4.x2+8x+

=(x+

)2.問題：上面等式的左邊的常數(shù)項和一次項系數(shù)有什么關(guān)系？6232222424將方程轉(zhuǎn)化為（x+m)2=n(n≥0）的形式的方法叫配方法.對于形如x2+ax

的式子如何配成完全平方式？二次項系數(shù)為1的完全平方式：常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方.★配方的方法★用配方法解方程探究交流怎樣解方程x2+6x+4=0？1.把方程變成（x+n)2=p（p≥0）的形式x2+6x+4=0

x2+6x=-4移項

x2+6x+9=-4+9兩邊都加上9二次項系數(shù)為1的完全平方式：

常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方.(x+3)2=5配方2.用直接開平方法解方程(x+3)2=5(x+3)2=5開方

求解配方法解方程的基本思路

把方程化為（x+n)2=p的形式，將一元二次方程降次，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程求解．方法歸納

在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.注意是在二次項系數(shù)為1的前提下進(jìn)行的.方程配方的方法配方法解方程的基本步驟一般步驟方法一移移項將常數(shù)項移到右邊，含未知數(shù)的項移到左邊二化二次項系數(shù)化為1左、右兩邊同時除以二次項系數(shù)三配配方左、右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方四開開平方利用平方根的意義直接開平方五解解兩個一元一次方程移項，合并

解方程：例3∴x1＝x2＝-2.x2+4x+4＝0.解：移項，得x2+4x

＝-4.配方，得x2+4x+22＝-4+22，即（x+2）2＝0，隨堂訓(xùn)練1．下列方程可用直接開平方法求解的是()A．x2＝4B．4x2－4x－3＝0C．x2－3x＝0D．x2－2x－1＝9

CA3．已知x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是（）

A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-11

B

(2)(3x＋2)2＝25；解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程無解.（3）x2+4x-9=2x-11；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.（4）x(x+4)=8x+12；5.如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，點P、Q同時由A，B兩點出發(fā)分別沿AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s，問幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？

解：設(shè)x秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半．所以2秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半．ACBPQ

整理，得x2-14x+24=0,即(x-7)2=25,解得x1=12，x2=2，

x1=12，x2=2