高中數(shù)學 1.6.1 垂直關系的判定基礎鞏固 北師大版必修2

【成才之路】-學年高中數(shù)學1.6.1垂直關系的判定基礎鞏固北師大版必修2一、選擇題1．給出以下四個命題：①如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的一個平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行；②如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面；③如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行；④如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．其中真命題的個數(shù)是()A．4 B．3C．2 D．1[答案]B[解析]①②④顯然正確，③兩條直線可能相交、平行或異面．2．在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC[答案]C[解析]如圖，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴A正確．由題設知BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE.∴DF⊥平面PAE.∴B正確．可知平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴D正確．3．若l，m，n表示直線，α，β表示平面，下列命題正確的是()A．若l⊥m，mα，則l⊥αB．若l⊥m，lα，mβ，則α⊥βC．若l⊥m，l⊥n，mα，nα，則l⊥αD．若l⊥β，lα，則α⊥β[答案]D[解析]選項A中，由于m不是平面α的任一直線，不符合直線與平面垂直的定義，所以不正確；選項B用文字語言敘述為：如果分別在兩個平面內的兩條直線垂直，那么這兩個平面垂直，很明顯不正確；選項C中，由于直線m，n不一定是相交直線，所以不正確；選項D是平面與平面垂直的判定定理，所以正確．4．已知直線m，n與平面α，β，γ，下列可能使α⊥β成立的條件是()A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝m，m⊥n，nβC．m∥α，m∥β D．m∥α，m⊥β[答案]D[解析]選擇適合條件的幾何圖形觀察可得，A中α∥β或α與β相交，B中α，β相交，但不一定垂直，C中α∥β或α與β相交．5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1內運動，并且總保持AP⊥BD1，則動點PA．線段B1C上 B．線段BC1C．BB1中點與CC1中點的連線上 D．B1C1中點與BC[答案]A[解析]易知BD1⊥平面AB1C，故P∈B16．如圖，在三棱錐P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點，則下面結論中錯誤的是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直線EF與直線PC所成的角D．∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角[答案]D[解析]由已知PC⊥BC，PC⊥AC，又AC∩BC＝C，∴PC⊥平面ABC.又FG∥PC，∴FG⊥平面ABC.又FG平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC，故B正確．∵FG∥PC，GE∥BC，∴平面EFG∥平面PBC.故A正確．由異面直線所成角的定義知C正確．故選D.二、填空題7．下列三個命題，其中正確命題的序號為________．(1)平面α∥平面β，β⊥平面γ，則α⊥γ；(2)平面α∥平面β，β∥平面γ，則α∥γ；(3)平面α⊥平面β，平面γ⊥β，則α⊥γ.[答案](1)(2)[解析]∵β⊥γ，∴在γ內作直線a垂直于β與γ的交線，∵α∥β，a⊥β，∴a⊥α，又aγ，∴γ⊥α，(1)正確；由傳遞性，(2)正確；而α⊥β，γ⊥β，α與γ相交或平行．∴(3)不正確．8．如圖，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中：(1)與PC垂直的直線有________；(2)與AP垂直的直線有________．[答案](1)AB，AC，BC(2)BC[解析](1)因為PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以與PC垂直的直線有AB，AC，BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，PA平面PAC.所以BC⊥AP.三、解答題9．(·新課標Ⅰ文，19)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，B1C的中點為O，且AO(1)證明：B1C⊥AB(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1[解析]思路分析：(1)根據(jù)菱形的性質及線面垂直可證第一問；(2)通過作輔助線先求出點O到面ABC的距離，盡而易求三棱錐的高．證明：(1)連接BC1，則O為B1C與BC1的交點，因為側面BB1C1C為菱形，所以B1又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1由于AB平面ABO，故B1C⊥AB(2)作OD⊥BC，垂足為D，連接AD，作OH⊥AD，垂足為H，由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC，又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC，因為∠CBB1＝60°，所以△CBB1為等邊三角形，又BC＝1，可得OD＝eq\f(\r(3),4).由于AC⊥AB1，所以OA＝eq\f(1,2)B1C＝eq\f(1,2).由OH·AD＝OD·OA，且AD＝eq\r(OD2＋OA2)＝eq\f(\r(7),4)，得OH＝eq\f(\r(21),14).又O為B1C的中點，所以點B1到平面ABC的距離為eq\f(\r(21),7)，故三棱柱ABC－A1B1C1的高為eq\f(\r(21),7).一、選擇題1．如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內部[答案]A[解析]∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1，∵AC平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交線是AB.故平面ABC1上一點C1在底面ABC的射影H必在交線AB上．2．如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB中點，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．PA＝PB>PC B．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PC D．PA≠PB≠PC[答案]C[解析]∵M是Rt△ABC斜邊AB的中點，∴MA＝MB＝MC.又∵PM⊥平面ABC，∴MA，MB，MC分別是PA，PB，PC在平面ABC上的射影．∴PA＝PB＝PC，故選C.二、填空題3．已知平面α，β和直線m，給出下列條件①m∥α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β(1)當滿足條件________時，有m∥β；(2)當滿足條件________時，有m⊥β.(填所有條件的序號)[答案]③⑤②⑤[解析]由線面平行、線面垂直的判定定理可得．4．如圖，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，則AD＝________.[答案]a[解析]過A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴H為BC中點，故AH＝eq\f(\r(2),2)a，連接DH，∵平面ABC⊥平面BCD，∴AH⊥平面BCD，∴AH⊥HD，又∠BDC＝90°，∴HD＝eq\f(\r(2),2)a，∴AD＝eq\r(AH2＋HD2)＝eq\r(\f(\r(2),2)a2＋\f(\r(2),2)a2)＝a.三、解答題5．在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，點E是PD的中點．(1)求證：PB∥平面AEC；(2)求證：平面EAC⊥平面PAB.[解析](1)連接BD交AC于F，連接EF，在△DPB中，EF為中位線，∴EF∥PB.又PB?平面EAC，EF平面EAC，∴PB∥平面AEC.(2)∵PA⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PA⊥AC.又AB⊥AC，PA∩AB＝A，∴AC⊥平面PAB.又AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PAB.6．如圖，S為直角三角形ABC所在平面外一點，∠ABC＝90°，且SA＝SB＝SC.(1)求證：點S到斜邊AC中點D的連線SD⊥平面ABC；(2)若直角邊BA＝BC，求證：BD⊥平面SAC.[證明](1)取AB的中點E，連接DE，則DE∥BC，∴DE⊥AB.又SA＝SB，E為AB的中點，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.∴AB⊥SD.又SA＝SC，D為AC的中點，∴SD⊥AC.又AB∩AC＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)若BA＝BC，則BD⊥AC.又SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD.又∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.7．在如圖所示的四面體ABCD中，AB，BC，CD兩兩互相垂直，且BC＝CD＝1.(1)求證：平面ACD⊥平面ABC；(2)求二面角C－AB－D的大?。甗分析](1)轉化為證明CD⊥平面ABC；(2)∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．[解析](1)證明：∵CD