2024年上海市夏季高考數(shù)學(xué)試卷含答案

2024年上海市夏季高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12題，滿分54分．其中第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果．1．設(shè)全集，2，3，4，，集合，，則．2．已知，則（3）．3．已知，則不等式的解集為．4．已知，，且是奇函數(shù)，則．5．已知，，，則的值為．6．在的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則項(xiàng)的系數(shù)為．7．已知拋物線上有一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為9，那么到軸的距離為．8．某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有、、種題庫(kù)，題庫(kù)有5000道題，題庫(kù)有4000道題，題庫(kù)有3000道題．小申已完成所有題，他題庫(kù)的正確率是0.92，題庫(kù)的正確率是0.86，題庫(kù)的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是．9．已知虛數(shù)，其實(shí)部為1，且，則實(shí)數(shù)為．10．設(shè)集合中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．11．已知點(diǎn)在點(diǎn)正北方向，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，，存在點(diǎn)滿足，，則．（精確到0.1度）12．無窮等比數(shù)列滿足首項(xiàng)，，記，，，，若對(duì)任意正整數(shù)，集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是．二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得滿分，否則一律得零分．13．已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對(duì)此描述正確的是A．氣候溫度高，海水表層溫度就高 B．氣候溫度高，海水表層溫度就低 C．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì) D．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢(shì)14．下列函數(shù)的最小正周期是的是A． B． C． D．15.已知集合是空間直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)集，為坐標(biāo)原點(diǎn)，任取、、，均存在不全為0的實(shí)數(shù)、、，使得.已知，則的充分條件是（）A.B.C.D.16．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，定義集合，，，在使得，的所有中，下列成立的是A．存在是偶函數(shù) B．存在在處取最大值 C．存在為嚴(yán)格增函數(shù) D．存在在處取到極小值三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17．（14分）如圖為正四棱錐，為底面的中心．（1）若，，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；（2）若，為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。?8．（14分）已知．（1）若過，求的解集；（2）存在使得、、成等差數(shù)列，求的取值范圍．19．（14分）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍，，，，，學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)約為多少？（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到．（3）是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？20．（18分）雙曲線，、為左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l交雙曲線于兩點(diǎn)P、Q.（1）當(dāng)離心率時(shí)，求b的值；（2）當(dāng)，△為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)P在第一象限，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，求取值范圍.21．（18分）對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，定義，若存在，使得是的最小值，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的最近點(diǎn).（1）對(duì)于和點(diǎn)，求證：存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是點(diǎn)的最近點(diǎn)；（2）對(duì)于和，試判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)，它是點(diǎn)的最近點(diǎn)，且直線與在點(diǎn)處的切線垂直；（3）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)存在導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在定義域上恒正，，.若對(duì)任意，都存在點(diǎn)，使得同時(shí)是點(diǎn)和點(diǎn)的最近點(diǎn)，試判斷函數(shù)的單調(diào)性.

2024年上海市高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共12題，滿分54分．其中第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果．1．設(shè)全集，2，3，4，，集合，，則，3，．【解析】：全集，2，3，4，，集合，，則，3，．故答案為：，3，．2．已知，則（3）．【解析】：，則（3）．故答案為：．3．已知，則不等式的解集為．【解析】：可化為，解得，故不等式的解集為：．故答案為：．4．已知，，且是奇函數(shù)，則0．【解析】：由題意，可得，解得，當(dāng)時(shí)，，滿足，即是奇函數(shù)，故符合題意．故答案為：0．5．已知，，，則的值為15．【解析】：由，，，可得，解得．故答案為：15．6．在的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則項(xiàng)的系數(shù)為10．【解析】：由題意，展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是，所以，則該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式是，令，解得，故項(xiàng)的系數(shù)為．故答案為：10．7．已知拋物線上有一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為9，那么到軸的距離為．【解析】：設(shè)坐標(biāo)為，，到準(zhǔn)線的距離為9，即，解得，代入拋物線方程，可得，故到軸的距離為．故答案為：．8．某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有、、三種題庫(kù)，題庫(kù)有5000道題，題庫(kù)有4000道題，題庫(kù)有3000道題．小申已完成所有題，他題庫(kù)的正確率是0.92，題庫(kù)的正確率是0.86，題庫(kù)的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是．【解析】：由題可知，題庫(kù)占比為，題庫(kù)占比為，題庫(kù)占比為，故．故答案為：．9．已知虛數(shù)，其實(shí)部為1，且，則實(shí)數(shù)為2．【解析】：虛數(shù)，其實(shí)部為1，則可設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以．故答案為?．10．設(shè)集合中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值329．【解析】：由題可知，集合中每個(gè)元素都互異，且元素中最多有一個(gè)奇數(shù)，剩余全是偶數(shù)，先研究集合中無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)：（1）若個(gè)位為0，這樣的偶數(shù)有種；（2）若個(gè)位不為0，這樣的偶數(shù)有種；所以集合元素個(gè)數(shù)最大值為種．故答案為：329．11．已知點(diǎn)在點(diǎn)正北方向，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，，存在點(diǎn)滿足，，則．（精確到0.1度）【解析】：解法一：在中，根據(jù)正弦定理可得，設(shè)，則，所以，①在中，根據(jù)正弦定理可得，，②聯(lián)立①②，因?yàn)?，所以，解得．故答案為：．解法二：設(shè)，，在△中，，在△中，，所以，得解得12.無窮等比數(shù)列滿足首項(xiàng)，，記，若對(duì)任意正整數(shù)n，集合是閉區(qū)間，則q的取值范圍是【解析】不妨設(shè)若，則若，則若，，則因?yàn)榧鲜情]區(qū)間，所以，即，得，所以故答案為：，．二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得滿分，否則一律得零分．13．已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對(duì)此描述正確的是A．氣候溫度高，海水表層溫度就高 B．氣候溫度高，海水表層溫度就低 C．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì) D．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢(shì)【解析】：成對(duì)數(shù)據(jù)相關(guān)分析中，如果相關(guān)系數(shù)為正，當(dāng)?shù)闹涤尚∽兇螅闹稻哂杏尚∽兇蟮淖兓厔?shì)，所以、、選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．14．下列函數(shù)的最小正周期是的是A． B． C． D．【解析】：對(duì)于，，則，滿足條件，所以正確．對(duì)于，，則，不滿足條件，所以不正確．對(duì)于，，函數(shù)是常函數(shù)，不存在最小正周期，不滿足條件，所以不正確．對(duì)于，，則，不滿足條件，所以不正確．故選：．15.已知集合是空間直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)集，為坐標(biāo)原點(diǎn)，任取、、，均存在不全為0的實(shí)數(shù)、、，使得.已知，則的充分條件是（）A.B.C.D.【解析】：不全為0的實(shí)數(shù)，，，使得．所以3個(gè)向量無法構(gòu)成三維空間坐標(biāo)系的一組基，又因?yàn)椋?，，所以對(duì)于三者可以構(gòu)成一組基，故不能推出，0，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，0，，，0，，且，0，，，0，共線，所以，0，可以屬于，此時(shí)三者不共面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，顯然三者可以構(gòu)成一組基，與條件不符合，故可以推出，0，，故正確；對(duì)于，三者無法構(gòu)成一組基，故不能推出，0，，故錯(cuò)誤．故選：．16.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，集?在使得的所有中，存在滿足（）A.是偶函數(shù)；B.的最大值是；C.嚴(yán)格遞增；D.在處取極小值.【解析】：對(duì)于，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，對(duì)于任意，（1）恒成立，若是偶函數(shù)，此時(shí)（1），矛盾，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若函數(shù)圖像如下：當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，，當(dāng)，，所以存在在處取最大值，故正確；對(duì)于，在時(shí)，若函數(shù)嚴(yán)格增，則集合的取值不會(huì)是，，而是全體定義域，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若存在在處取到極小值，則在左側(cè)存在，，與集合定義矛盾，故錯(cuò)誤．故選：．三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17．（14分）如圖為正四棱錐，為底面的中心．（1）若，，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；（2）若，為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。窘馕觥浚海?）因?yàn)槭钦睦忮F，所以底面是正方形，且底面，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以3為底面半徑，4為高的圓錐，所以；（2）解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，由題知是正四棱錐，所以該四棱錐各棱長(zhǎng)相等，設(shè)，則，，則，0，，，0，，，，，，0，，，，，，0，，，故，，，設(shè)為平面的法向量，則，即，令，則，，所以，則，設(shè)直線與面所成角為，因?yàn)椋?，則．解法二：（2）設(shè)，則，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，所以因?yàn)椋?，所以平面，得所以平面，得即是直線與平面所成角，因?yàn)椤鳛榈妊苯侨切危瑸橹悬c(diǎn)，所以即即是直線與平面所成角的大小為18．（14分）已知．（1）若過，求的解集；（2）存在使得、、成等差數(shù)列，求的取值范圍．【解析】：（1）由過可得，則，解得（負(fù)值舍去），因?yàn)樵谏鲜菄?yán)格增函數(shù)，，則，解得，故所求解集為；（2）因?yàn)椤?、成等差?shù)列，所以，即有解，化簡(jiǎn)可得，則且，故在上有解，又，故在上，，故，解得或，又，所以，故的取值范圍為．19．（14分）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍，，，，，學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)約為多少？（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到．（3）是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？【解析】：（1）580人中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)大于1小時(shí)人數(shù)占比，該地區(qū)29000名初中學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)大于1小時(shí)的人數(shù)約為；（2）該地區(qū)初中學(xué)生鍛煉平均時(shí)長(zhǎng)約為；（3）由題意可得列聯(lián)表，，其他總數(shù)優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485①提出零假設(shè)：成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)無關(guān)，②確定顯著性水平，，③，④否定零假設(shè)，即學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)．20．（18分）雙曲線，、為左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l交雙曲線于兩點(diǎn)P、Q.（1）當(dāng)離心率時(shí)，求b的值；（2）當(dāng)，△為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)P在第一象限，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，求取值范圍.【解析】：（1）因?yàn)?，即，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以（?fù)舍）；（2）因?yàn)椤鳛榈妊切?，①若為底，則點(diǎn)在線段的中垂線，即上，與雙曲線上且在第一象限矛盾，故舍去；②若為底，則，與矛盾，故舍去；③若為底，則，設(shè)，，，，則，即，又因?yàn)?，得，得，解得，即；?）由，設(shè)，，，，則，，設(shè)直線，聯(lián)立，得，則，，所以，，，，又因?yàn)?，得，則，即，化簡(jiǎn)后可得到，再由韋達(dá)定理得，化簡(jiǎn)得，所以，所以，解得，．21．（18分）對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，定義，若存在，使得是的最小值，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的最近點(diǎn).（1）對(duì)于和點(diǎn)，求證：存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是點(diǎn)的最近點(diǎn)；（2）對(duì)于和，試判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)，它是點(diǎn)的最近點(diǎn)，且直線與在點(diǎn)處的切線垂直；（3）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)存在導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在定義域上恒正，，.若對(duì)任意，都存在點(diǎn)，使得同時(shí)是點(diǎn)和點(diǎn)的最近點(diǎn)，試判斷函數(shù)的單調(diào)性.【解析】：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得