廣西百色市平果市鋁城中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)收心考試 數(shù)學(xué)試卷含答案

2024年高二上學(xué)期開學(xué)收心數(shù)學(xué)考試卷姓名：______班級：______考號：______一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．有10種不同的零食，每100克可食部分包含的能量（單位：）如下：110

120

123

428

174

190

318

235

165

432則這10種零食的分位數(shù)是（

）A．235 B．165 C．373 D．2002．1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式：（，為虛數(shù)單位），這個公式在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式，可知（

）A． B．1 C． D．3．在中，，，，則（

）A． B． C． D．4．正方體的棱長為1，則它的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為（

）A． B． C． D．5．設(shè)，為平面內(nèi)一個基底，已知向量，，，若A，B，D三點共線，則的值是（

）A． B． C． D．6．角的頂點在坐標(biāo)原點O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點P在的終邊上，點，且，則與夾角的余弦值為（）A． B． C．或 D．或7．已知平面向量、的夾角為135°，且為單位向量，，則（

）A． B． C．1 D．8．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，每一次拋擲的結(jié)果要么正面向上要么反面向上，記“第一次硬幣正面向上”為事件A，“三次試驗恰有1次正面向上”為事件B，“三次試驗恰有2次正面向上”為事件C，“三次試驗全部正面向上或者全部反面向上”為事件D，則下列說法正確的是（

）A．A與B互斥 B．A與D相互獨立C．A與C相互獨立 D．C與D對立二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，答案有兩個選項只選一個對得3分，錯選不得分；答案有三個選項只選一個對得2分，只選兩個都對得4分，錯選不得分.9．從甲袋中摸出一個紅球的概率為，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球.下列結(jié)論正確的是（

）A．2個球都是紅球的概率為 B．2個球不都是紅球的概率為C．至少有1個紅球的概率為 D．2個球中恰有1個紅球的概率為10．三角形中，角的對邊分別為，下列條件能判斷是鈍角三角形的有（

）A． B．C． D．11．如圖，正方體的棱長為2，則（

）A．平面B．平面C．異面直線與BD所成的角為60°D．三棱錐的體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．在中，內(nèi)角的對邊分別為a，b，c，若，則.13．根據(jù)黨中央關(guān)于精準(zhǔn)脫貧的要求，我市某部門派四位專家各自在周一?周二兩天中任選一天對某縣進(jìn)行調(diào)研活動，選擇周一?周二可能性相同，且四位專家周一或是周二去互不影響，則周一?周二都有專家參加調(diào)研活動的概率為.14．一個底面直徑是的圓柱形水桶裝入一些水，將一個球放入桶內(nèi)完全淹沒，水面上升了且無溢出，則這個球的表面積是．四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在中，已知為的中點，，，.(1)求的面積；(2)求的長.16．如圖，在三棱柱中，⊥，AB＝AC＝1，D是BC的中點．（1）求證：//平面；（2）若面⊥面ABC，，求幾何體的體積．17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大??；(2)CD為△ACB的內(nèi)角平分線，且CD與直線AB交于點D.（i）求證:；（ii）若，，求CD的長.18．某市為了創(chuàng)建文明城市，共建美好家園，隨機選取了100名市民，就該城市創(chuàng)建的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查，并將這100人的問卷根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照，，…，分成5組，制成如圖所示頻率分布直方圖.(1)求圖中x的值；(2)求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)；(3)已知滿意度評分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2，若在滿意度評分值為的人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取5人，并分別依次進(jìn)行座談，求前2人均為男生的概率.19．如圖，在四棱錐中，平面，，且，是的中點．(1)證明：；(2)若，直線與直線所成角的余弦值為．（?。┣笾本€與平面所成角；（ⅱ）求二面角的余弦值．1．C【分析】把給定數(shù)據(jù)按由小到大排列，再根據(jù)第百分位數(shù)的定義求解作答.【詳解】把這10個數(shù)據(jù)按從小到大排列為：110，120，123，165，174，190，235，318，428，432，由，得第分位數(shù)為第8個和第9個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.故選：C2．A【分析】根據(jù)所給公式，變形整理化簡即可.【詳解】由題意可知，.故選：A3．A【解析】先利用正弦定理解得，然后根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求出.【詳解】由正弦定理得：，又，所以或，所以.故選：A.【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，解答時注意角范圍的確定，注意，易錯選C或D.4．C【分析】由正方體的特征得出內(nèi)切球和外接球的半徑，進(jìn)而由表面積公式求解.【詳解】由題意可知，它的內(nèi)切球和外接球的半徑分別為.則它的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為.故選：C5．D【分析】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合平面向量線性運算的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，，所以，因為A，B，D三點共線，所以有，即因為，為平面內(nèi)一個基底，所以，不是共線向量，因此有，故選：D6．C【分析】根據(jù)題意，求得，，結(jié)合向量的夾角公式，求得，分類討論，即可求解.【詳解】由點P在的終邊上，且，可設(shè)，所以又由，可得，則，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故選：C.7．C【解析】由已知條件可求出，然后利用求向量模的公式求.【詳解】由題意得，則，故選:C．【點睛】此題考查的是向量的數(shù)量積和向量的模的計算，屬于基礎(chǔ)題.8．B【分析】列出基本事件，由互斥事件、對立事件與獨立事件的概念逐項判斷即可．【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反）共8種結(jié)果，事件A“第一次硬幣正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反正），（正反反）共4種結(jié)果，事件B“三次試驗恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3種結(jié)果，事件C“三次試驗恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3種結(jié)果，事件D“三次試驗全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（正反反），共2種結(jié)果，對于A選項，事件A與事件B可能同時發(fā)生，即（正反反），不是互斥事件，錯誤；對于B選項，，，，則A與D相互獨立，正確；對于C選項，，，則A與C不獨立，錯誤；對于D選項，C和D互斥但并事件不是全體事件，故它們不對立，錯誤．故選:B.9．ACD【分析】設(shè)從甲袋中摸出一個紅球為事件，從乙袋中摸出一個紅球為事件，分別根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算即可．【詳解】解：設(shè)從甲袋中摸出一個紅球為事件，從乙袋中摸出一個紅球為事件，則，，則2個球都是紅球的概率為，故正確，2個球不都是紅球的概率為，故不正確．至少有1個紅球的概率為，故正確，2個球中恰有1個紅球的概率為，故正確，故選：．10．BC【分析】利用余弦定理可判斷A，由平面數(shù)量積的定義可判斷B，根據(jù)正余弦定理可判斷C，由三角恒等變換可判斷D.【詳解】A：由可知，且，即，所以，所以是銳角，故A不能判斷；B：由,得，則為鈍角，故B能判斷；C：由正弦定理，得，則，為鈍角，故C能判斷；D：由正弦定理，條件等價于=，由，則，即，由，故，則，故D不能判斷.故選：BC11．ABC【分析】對A：借助正方體的性質(zhì)可得，結(jié)合線面平行的判定定理即可得；對B：借助線面垂直的判定定理可得平面，平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可得，，進(jìn)而可得，，即可得證；對C：借助等角定理可得等于異面直線與BD所成的角，計算出即可得解；對D：借助體積公式計算即可得.【詳解】對A：在正方體中，，又平面，平面，所以平面，故A項正確；對B：連接，，在正方體中，，，平面，平面，因為平面，平面，所以，，又，平面，平面，所以平面，因此，同理，，又，平面，平面，所以平面，故B項正確；對C：因為，所以等于異面直線與BD所成的角，又，即為等邊三角形，所以異面直線與BD所成的角為60°，故C項正確；對D：三棱錐的體積，故D項不正確.故選：ABC.12．【分析】由已知可得，利用正弦定理求得，即可求出【詳解】，，解得，由正弦定理，則，或，若，則；若，則，綜上，.故答案為：.13．【分析】根據(jù)條件得出總的情況個數(shù)和滿足周一、周二都有專家參加調(diào)研活動的情況個數(shù)即可得答案.【詳解】依題意，總的事件數(shù)為種，只有周一或周二有專家參加調(diào)研活動的情況有2種，所以周一、周二都有專家參加調(diào)研活動的情況有16－2＝14種，則周一?周二都有專家參加調(diào)研活動的概率為故答案為：14．【分析】由上升的水的體積等于球的體積，利用圓柱、球的體積公式列方程求球體半徑，進(jìn)而求球體的表面積.【詳解】由題意，上升的水的體積即為球的體積，若球的半徑為R，即，解得，故這個球的表面積．故答案為：15．(1).(2).【分析】(1)，又因已知為的中點，可得，根據(jù)余弦定理可求出長，繼而求出面積，所以即可求出的面積；(2)根據(jù)余弦定理可求出的長.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，又因為為的中點，可得，，，，根據(jù)余弦定理，代入已知條件得，得到，故所以可得是直角三角形，所以可得故答案為：（2）由第一問可知，根據(jù)余弦定理可知，代入得，所以可得，故答案為：16．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）方法一：連接，交于O，連接OD，由三角形的中位線定理可得，再由線面平行的判定定理可得結(jié)論；方法二：取的中點N，連接，BN，可得四邊形是平行四邊形，則，由線面平行的判定定理可得//平面，由已知可得BN//平面，從而得平面//平面，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）由平面⊥平面ABC，可得⊥平面ABC，然后利用可求得結(jié)果【詳解】（1）方法一：證明：連接，交于O，連接OD，因為OD是的中位線所以又OD平面，平面所以//平面方法二：取的中點N，連接，BN因為DN是平行四邊形的中位線所以，所以四邊形是平行四邊形．所以，又平面，AD平面所以//平面因為所以，又平面，平面所以BN//平面又平面所以平面//平面，平面所以//平面（2）因為平面⊥平面ABC，平面平面ABC＝AB，平面，所以⊥平面ABC因為所以17．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系得，應(yīng)用余弦定理求C的大?。唬?）（i）由角平分線兩側(cè)三角形面積比，結(jié)合等面積法及三角形面積公式證明結(jié)論；（ii）由正弦定理可得，進(jìn)而得，設(shè)并表示出，應(yīng)用余弦定理列方程求k，最后求CD的長.【詳解】（1）由題設(shè)，則，故，所以，又，故.（2）（i）由題設(shè)，若上的高為，又，，所以，即.（ii）由，則，又為銳角，故，若，則，且，，由余弦定理知：，所以，可得或，當(dāng)，則，，此時，則；當(dāng)，則，即，不合題設(shè)；綜上，.18．(1)；(2)中位數(shù)，平均數(shù)77(3).【分析】（1）根據(jù)所有矩形面積之和為1求得；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)、平均數(shù)的計算方法求解；（3）抽中男生3人，女生2人，按古典概型求解.【詳解】（1）依題意，得，解得；（2）因為，，所以中位數(shù)在間，設(shè)為，則，解得.平均數(shù).（3）依題意，因為滿意度評分值在的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2，按照分層抽樣的方法在其中隨機抽取5人，則抽中男生3人，女生2人，依次分別記為，，，，，對這5人依次進(jìn)行座談，前2人的基本事件有：，，，，，，，，，，共10件，設(shè)“前2人均為男生”為事件，其包含的基本事件有：，，，共3個，所以.19．(1)證明見解析.(2)（?。唬áⅲ?【分析】（1）取的中點，利用線面垂直的性質(zhì)、異面直線垂直推理即得.（2）（?。├镁€面垂直的判定性質(zhì)證得，再由異面直線夾角余弦求出，確定線面角并求出大小；（ⅱ）過作于，過作交于，再借助圖形求出二面角的余弦值.【詳解】（1）取的中點，連接，由平面，，得平面，而平面，則，由為的中點，得，則四邊形是平行四邊形，因此，所以.（2）（?。┯蔀榈闹悬c，，則，而，平面，于是平面，平面，則，由，得直線與直線所成的角即為直線與直線所成的角，為