02題型講義 .一元二次方程特殊根問題.尖子班.教師版

PAGE1特殊根問題特殊根問題知識互聯(lián)網(wǎng)知識互聯(lián)網(wǎng)題型切片題型切片題型切片（兩個）對應(yīng)題目題型目標(biāo)整數(shù)根問題例1，例2，例3，例4，練習(xí)1，練習(xí)2，練習(xí)3；公共根問題例5，例6，練習(xí)4，練習(xí)5．編寫思路編寫思路本講主要匯總了一元二次方程的兩大?？碱}型：整數(shù)根問題和公共根問題，總結(jié)了每種題型的基本解題思路，并由淺入深地搭配了近年各城區(qū)考試中的一些真題進行有針對性的訓(xùn)練．其中整數(shù)根問題在2013年的各區(qū)縣模擬題中高頻次出現(xiàn)，并在2013年中考18題中進行了考查，是近年的熱門題型，請老師在課上參照所附的探究題型進行重點講解．本講最后一版塊為西城初三期末統(tǒng)考題，在本題中涉及多種代數(shù)式運算技巧，難度較大，學(xué)生們可借此復(fù)習(xí)各版塊內(nèi)容，不失為一道代數(shù)綜合經(jīng)典題目．題型一：整數(shù)根問題題型一：整數(shù)根問題思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航解決整數(shù)根問題的思路：1.先看方程二次項系數(shù)，確定二次項系數(shù)是否能為0；2.確定是一元二次方程后，看能否因式分解求出根的取值；3.不能因式分解的：⑴判別式是完全平方數(shù)；⑵是2a的整數(shù)倍．以上兩個條件需同時滿足，缺一不可，如果只滿足⑴，則只能保證方程有有理根．例題精講例題精講已知為整數(shù)，求證關(guān)于的一元二次方程有根且都是整數(shù)．法1：將原方程直接因式分解求出兩根，即，，故符合題意．法2：不用因式分解，利用根的判別式是完全平方數(shù)，且是2的倍數(shù)，故符合題意.典題精練 典題精練已知關(guān)于的方程．⑴討論此方程根的情況；⑵若方程有兩個整數(shù)根，求正整數(shù)k的值．（2013西城南區(qū)期末）⑴當(dāng)時，方程為一元一次方程，此方程有一個實數(shù)根；當(dāng)時，方程是一元二次方程，.∵，即，∴為除外的任意實數(shù)時，此方程總有兩個實數(shù)根．綜上，無論取任意實數(shù)，方程總有實數(shù)根；⑵∵可化為：，∴，∵為正整數(shù)∴或4∴或已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．⑴求的取值范圍；⑵若為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求的值．⑴∵方程有兩個不等的實根∴即∴⑵∵為整數(shù)∴即或2，∵方程的根為整數(shù)，∴為完全平方數(shù)當(dāng)時，時，∴當(dāng)為何整數(shù)時，關(guān)于的一元二次方程與的根都是整數(shù)．（西城區(qū)抽樣試題）由題意可知，方程的判別式方程的判別式為故，又為整數(shù)，，故或．當(dāng)時，題干中的兩個方程分別為、，滿足題意；當(dāng)時，題干中的兩個方程分別為、，不合題意．故．也可通過方程是否有整數(shù)根的條件來判斷出，此時兩個判別式都要是完全平方數(shù)．當(dāng)整數(shù)取何值時，關(guān)于的方程有整數(shù)根．當(dāng)時，（舍）當(dāng)時，該方程為一元二次方程，設(shè)（n為正整數(shù)）則或【探究對象】含參的一元二次方程的整數(shù)根問題【探究目的】對一元二次方程的整數(shù)根求解策略進行了方法總結(jié)和梳理【探究方法】思路1：探究方程是否能直接求根？思路2：如果不能直接求根就思考判別式，那么判別式的形式都有幾種，對于每一種情況應(yīng)該用什么樣的方法處理？思路3：如何應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決整數(shù)根問題？整系數(shù)一元二次方程有整數(shù)根，則：

(1)兩個根都是整數(shù)；

(2)判別式是整數(shù)；

(3)判別式是整數(shù)的完全平方；

(4)兩根和是整數(shù)，兩根積是整數(shù).一、直接求根法：【探究1】已知關(guān)于的方程的根是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)的值為分析：當(dāng)時，符合條件當(dāng)時，易知是方程一個整數(shù)根由根與系數(shù)關(guān)系知另一根為因為為整數(shù)，所以，即所以．【探究2】已知方程有兩個不相等的正整數(shù)根，求整數(shù)的值.分析：因為方程有兩個正整數(shù)根，即所以二、判別式法【探究3】設(shè)為整數(shù)，且，又方程有兩個整數(shù)根.求的值及方程的根.分析：考察判別式△＝4(2m＋1)，因是關(guān)于m的一次式，

由已知4＜m＜40，可知

9＜2m＋1＜81.

為使判別式為完全平方數(shù)，只有2m＋1＝25或2m＋1＝49.

當(dāng)2m＋1＝25時，m＝12，方程兩根分別為16，26；

當(dāng)2m＋1＝49時，m＝24，方程兩根分別為38，52.注：當(dāng)判別式是一次式時，可結(jié)合已知條件通過討論得出參數(shù)的范圍.【探究4】已知為自然數(shù)，關(guān)于的方程有兩個整數(shù)根，求出這個方程的正整數(shù)根和.分析：要得整數(shù)根，判別式必須為完全平方數(shù)或式．原方程可化為則設(shè)則所以因為，為整數(shù)而考慮到，奇偶性相同且故有．分別代入方程可得正整數(shù)根為或所以當(dāng)時正整數(shù)根為，當(dāng)時正整數(shù)根為1．【探究5】設(shè)為整數(shù)，有整數(shù)根，則的值為.分析：當(dāng)時，原方程可化為不合題意；當(dāng)時，令即；且，為整數(shù)故．三、根與系數(shù)關(guān)系【探究6】若關(guān)于的二次方程的兩根都是整數(shù)，試求整數(shù)的值.分析：因為所給的方程是二次方程，所以由根與系數(shù)關(guān)系，得因為為整數(shù)，所以必為整數(shù)．因為為整數(shù)，所以當(dāng)時，方程為，，兩根均為整數(shù)當(dāng)時，方程為，，兩根均為整數(shù)當(dāng)時，方程為方程無實根當(dāng)時，方程為方程無實根所以當(dāng)時，方程為兩根均為整數(shù)．【探究7】試確定一切有理數(shù)，使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根.分析：若，則方程為，不合題意若，設(shè)方程的兩個整數(shù)根為，則，于是因為，為整數(shù)，且，所以，；．所以解得注意：探究5和探究7為提高尖子班選講內(nèi)容，教師也可根據(jù)具體班級情況進行講解.以上建議僅供教師參考.【總結(jié)】1、對含參的一元二次方程，要立刻對其因式分解，這是解決整數(shù)根問題的策略習(xí)慣.2、判別式有很多種形式，最容易的就是完全平方式，但這種不怎么常考；對于判別式有以下幾種?？夹问?，對這幾種形式進行總結(jié)：（1）判別式是一次式且參數(shù)所在范圍已知，利用判別式為完全平方數(shù)求參數(shù)值；（探究3）（2）判別式是二次式且不為平方式，可采用配方法變形；（探究4）（3）判別式是一次式但參數(shù)未知，可設(shè)其為平方數(shù),并來表示值；（探究5選講）3、兩個整數(shù)的和與積都是整數(shù)，充分利用整數(shù)運算的結(jié)構(gòu)特征，把韋達定理和求解一元二次方程的整數(shù)解有機的結(jié)合起來，在思考過程中需要認(rèn)真分析題干條件，整數(shù)解、正整數(shù)解都對代數(shù)式的討論起著重要的作用。（選講）題型二：公共根問題題型二：公共根問題思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航若已知若干個一元二次方程有公共根，求方程系數(shù)的問題，叫一元二次方程的公共根問題．兩個一元二次方程只有一個公共根的解題步驟：⑴設(shè)公共根為a，則a同時滿足這兩個一元二次方程；⑵用加減法消去a2的項，求出公共根或公共根的有關(guān)表達式；⑶把公共根代入原方程中的任何一個方程，就可以求出字母系數(shù)的值或字母系數(shù)之間的關(guān)系式．例題精講例題精講已知兩方程，有且僅有一個公共根，求，關(guān)系．設(shè)為兩方程公共根，則①②得∵有且只有一個公共根，則∴即將代入，且．典題精練典題精練已知，，試判斷關(guān)于的方程與有沒有公共根，請說明理由．不妨設(shè)關(guān)于的方程與有公共根，設(shè)為，則有

整理，可得∵，，∴，∴把代入①得，這是不可能的所以，關(guān)于的兩個方程沒有公共根．真題賞析真題賞析已知關(guān)于的一元二次方程①．⑴若方程①有一個正實根，且．求的取值范圍；⑵當(dāng)時，方程①與關(guān)于的方程②有一個相同的非零實根，求的值．（西城初三期末統(tǒng)考）⑴∵為方程的一個正實根，∴．∵，∴，即．∵， ∴．解得．又（由，）．∴．解得．∴．⑵當(dāng)時，此時方程①為．設(shè)方程①與方程②的相同實根為m，∴③∴④④③得整理，得∵∴解得把代入方程③得∴，即．當(dāng)時，．（此題第二問可以用含的式子表示，直接代入）思維拓展訓(xùn)練(選講)思維拓展訓(xùn)練(選講)已知：關(guān)于的一元二次方程⑴若求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；⑵若的整數(shù)，且方程有兩個整數(shù)根，求的值．（東城一模）⑴證明：∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．⑵∵方程有兩個整數(shù)根，必須使為整數(shù)且為整數(shù)．又∵，∴∴．∴方程有兩個有理數(shù)根，求整數(shù)的值．，設(shè)（是正整數(shù)），，當(dāng)時，原方程有有理根關(guān)于的方程至少有一個整數(shù)解，且是整數(shù)，求的值．（密云一模）當(dāng)時，原方程為，解得，即原方程無整數(shù)解．當(dāng)時，方程為一元二次方程，它至少有一個整數(shù)根，說明判別式為完全平方數(shù)，從而為完全平方數(shù)，設(shè)，則為正奇數(shù)，且，否則（），所以，．由求根公式得所以要使為整數(shù)，而為正奇數(shù)，只能，從而；要使為整數(shù)，可取1，5，7，從而綜上所述，的值為

復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固題型一整數(shù)根問題鞏固練習(xí)已知關(guān)于的方程的根是整數(shù)，求符合條件的的整數(shù)值.當(dāng)時，；當(dāng)時，，，∵為整數(shù)∴，0，2，3，綜上，的整數(shù)值為，0，1，2，3.當(dāng)為何正整數(shù)時，關(guān)于的一元二次方程有兩個非零整數(shù)根．（中考改編）由題意得，．∴．∵為正整數(shù)，∴，2，3．當(dāng)時，，但方程有一根為零；當(dāng)時，，不是完全平方數(shù)，故無整數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個非零的整數(shù)根．綜上所述，和不合題意，舍去；符合題意．設(shè)為整數(shù)，且，方程有兩個整數(shù)根，求的值及方程的根．為完全平方數(shù)，又為的整數(shù)，則或24．當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．題型二公共根問題鞏固練習(xí)已知為非負(fù)實數(shù)，當(dāng)取什么值時，關(guān)于的方程與僅有一個相同的實根？設(shè)相同的根為，則由題意我們有．所以．即．⑴當(dāng)時，，代入原方程求得；⑵時，代入原方程，兩方程均為，解得，即它們的兩根都相同，不合題意，舍去，故只有當(dāng)時，兩方程僅有一個相同的實根．設(shè)關(guān)于的方程只有個不相等的實數(shù)根，求的值和相應(yīng)的個根.方程等價于如下兩個方程：①，②若為①②的公共根，則，，所以，故沒有公共根.兩方程無相同的根，由于原方程只有個不相等的實根，故①或②必有重根.，，故只可能，即.當(dāng)時，①，②，解得，，；當(dāng)時，①，，解得，，.毛澤東對母親感情深毛澤東對母親文七妹感情很深。1918年夏，他從長沙赴北京前夕，十分掛念在外婆家養(yǎng)病的母親，特地請人開了一個藥方寄給舅父。次年春返回長沙，便把母親接來就醫(yī)。10月5日，文七妹患瘰疬（俗稱疝子頸）病逝，終年五十二歲。毛澤東日夜兼程從長沙趕回韶山守靈，并和淚寫下一篇情義深長的《祭母文》。他這么追念母親：“吾母高風(fēng)，首推博愛。遠(yuǎn)近親疏。一皆覆載。愷惻慈祥，感動庶匯。愛力所及，原本真誠。不作狂言，不存欺心……潔凈之風(fēng)，傳遍戚里。”當(dāng)時，毛澤東還給同學(xué)鄒蘊真寫信說：世界上有三種人，損人利己的，利己而不損人的，可以損己以利人的，自己的母親便屬于第三種人。母親對他的影響力，在他的一生中都可以清楚地看出來。母親去世后，毛澤東把父親毛順生接到長沙住了一陣。父親后來不再干涉他的選擇，繼續(xù)供他上學(xué)。毛澤東是很感激的。毛順生于1920年1月23日患急性傷寒去世，時年五十歲。毛澤東對母親感情深毛澤東對母親文七妹感情很深。1918年夏，他從長沙赴北京前夕，十分掛念在外婆家養(yǎng)病的母親，特地請人開了一個藥方寄給舅父。次年春返回長沙，便把母親接來就醫(yī)。10月5日，文七妹患瘰疬（俗稱疝子頸）病逝，終年五十二歲。毛澤東日夜兼程從長沙趕回韶山守靈，并和淚寫下一篇情義深長的《祭母文》。他這么追念母親：“吾母高風(fēng)，首推博愛。遠(yuǎn)近親疏。一皆覆載。愷惻慈祥，感動庶匯。愛力所及，原本真誠。不作狂言，不存欺心……潔凈之風(fēng)，傳遍戚里?！碑?dāng)時，毛澤東還給同學(xué)鄒蘊真寫信說：世界上有三種人，損人利己的，利己而不損人的，可以