2024-2025學(xué)年湖南省長沙一中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長沙一中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈Z|x2+3x<4}，B={?1,2,5}，則A∪B中元素的個數(shù)為A.1 B.4 C.6 D.72.命題“?x∈Q，tanx2∈Q”的否定是A.?x∈Q，tanx2?Q B.?x∈Q，tanx2∈Q

C.?x∈Q，3.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)1?2i1?i的虛部為(

)A.?12 B.32 C.?4.函數(shù)f(x)=ln|x|exA. B.

C. D.5.已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2A.8 B.12 C.16 D.10+26.已知隨機事件A，B，C中，A與B相互獨立，B與C對立，且P(A)=0.3，P(C)=0.6，則P(A∪B)=(

)A.0.4 B.0.58 C.0.7 D.0.727.甲、乙、丙、丁四個人在一次比賽中只有一人得獎，在問到誰得獎時，四人的回答如下：

甲：乙得獎．

乙：丙得獎．

丙：乙說錯了．

?。何覜]得獎．

四人之中只有一人說的與事實相符，則得獎的是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁8.設(shè)a=log52，b=0.50.6，A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.a>c>b二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π6A.f(x)的圖象向左平移π6個單位長度后得到函數(shù)g(x)=sin(2x+π3)的圖象

B.直線x=π3是f(x)圖象的一條對稱軸

C.f(x)在10.某學(xué)校高一年級學(xué)生有900人，其中男生500人，女生400人，為了獲得該校高一全體學(xué)生的身高信息，現(xiàn)采用樣本量按比例分配的分層抽樣方法抽取了容量為90的樣本，經(jīng)計算得男生樣本的均值為170，方差為19，女生樣本的均值為161，方差為28，則下列說法正確的是(

)

參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：m，x?，s12；n，y?，s22.A.男生樣本容量為50 B.每個女生被抽到的概率110

C.抽取的樣本的均值為165 D.抽取的樣本的方差為11.如圖，正方體ABCD?A′B′C′D′的棱長為4，M是側(cè)面ADD′A′上的一個動點(含邊界)，點P在棱CC′上，且|PC′|=1，則下列結(jié)論正確的有(

)A.沿正方體的表面從點A到點P的最短距離為73

B.保持PM與BD′垂直時，點M的運動軌跡長度為32

C.若保持|PM|=25，則點M的運動軌跡長度4π3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(1,m?1)，b=(m,m+3)，若a?b=?|a13.如圖，60°的二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在二面角兩個半平面內(nèi)，且垂直于AB，AC=BD=6，AB=8，則CD=______．14.若三棱錐的棱長為5，8，21，23，29，t，其中t∈N?，則t的一個取值可以為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2csinA=3a．

(1)求C；

(2)若c=7，△ABC的面積為10316.(本小題15分)

現(xiàn)從某學(xué)校高三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學(xué)生身高全部介于160cm和184cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成6組：第1組[160,164)，第2組[164,168)，…，第6組[180,184]，得到如下頻率分布直方圖．

(1)求a的值并估計這50名男生的身高的第60百分位數(shù)；

(2)求這50名男生中身高在176cm以上(含176cm)的人數(shù)；

(3)從這50名男生身高在176cm以上(含176cm)的人中任意抽取2人，求該2人中身高恰有1人在180cm以上(含180cm)的概率．17.(本小題15分)

如圖，在底面為菱形的四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，點E，F(xiàn)分別為棱BC，PD的中點，Q是線段PC上的一點．

(1)若Q是直線PC與平面AEF的交點，試確定PQPC的值；

(2)若三棱錐C?EQA的體積為36，求直線AQ與平面AEF18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=asinx+bcosx，稱非零向量p=(a,b)為f(x)的“特征向量”，f(x)為p的“特征函數(shù)”．

(1)設(shè)函數(shù)?(x)=2sin(π3?x)?cos(π6+x)，求函數(shù)?(x)的“特征向量”；

(2)若函數(shù)f(x)的“特征向量”為p=(1,3)，求當(dāng)f(x)=85且x∈(?π3,π19.(本小題17分)

在空間直角坐標系O?xyz中，已知向量u=(a,b,c)，點P0(x0,y0,z0).若平面α以u為法向量且經(jīng)過點P0，則平面α的點法式方程可表示為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0，一般式方程可表示為ax+by+cz+d=0．

(1)若平面α1：2x?y?1=0，平面β1：3y?2z+1=0，直線l為平面α1和平面β1的交線，求直線l的一個方向向量；

(2)已知集合P={(x,y,z)||x|≤1，|y|≤1，|z|≤1}.Q={(x,y,z)||x|+|y|+|z|≤2}，T={(x,y,z)||x|+|y|≤2，|y|+|z|≤2，|z|+|x|≤2}.記集合Q中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為V1，P∩Q中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為參考答案1.C

2.A

3.A

4.B

5.C

6.B

7.D

8.A

9.CD

10.ABD

11.BCD

12.?1

13.10

14.25(答案不唯一)

15.解：(1)因為2csinA=3a，

由正弦定理可得2sinCsinA=3sinA，

在銳角△ABC中，可得sinA>0，

可得sinC=32，可得C=π3；

(2)因為c=7，S=12absinC=12ab?32=10316.解：(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，4×(a+0.07+0.08+0.02+0.02+0.01)=1，

解得a=0.05，

因為4×(0.05+0.07)=0.48<0.6，4×(0.05+0.07+0.08)=0.8>0.6，

所以第60百分位數(shù)位于[168,172)，設(shè)其為m，

則0.48+(m?168)×0.08=0.6，

解得m=169.5，

即估計這50名男生的身高的第60百分位數(shù)為169.5cm；

(2)身高在176cm以上(含176cm)的頻率為：0.02×4+0.01×4=0.12，

所以這50名男生中身高在176cm以上(含176cm)的人數(shù)為：50×0.12=6人；

(3)這50名男生中身高在176cm以上(含176cm)的人數(shù)為6人，

其中[176,180)中有0.02×4×50=4人，[180,184]中有0.01×4×50=2人，

從這50名男生身高在176cm以上(含176cm)的人中任意抽取2人，

基本事件總數(shù)n=C62=30，

該2人中身高恰有1人在180cm(含180cm)以上包含的基本事件個數(shù)m=C41C21=8，

該17.解：(1)因為四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是BC中點，

所以△ABC是等邊三角形，所以AE⊥BC，又，PA⊥平面ABCD，

所以在A點處AE，AD，AP兩兩互相垂直，

則以A為原點，分別以AE，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則依題意有E(3,0,0)，F(xiàn)(0,1,1)，P(0,0,2)，A(0,0,0)，C(3,1,0)，

則AE=(3,0,0)，AF=(0,1,1)，PC=(3,1,?2)，設(shè)PQ=kPC=(3k,k,?2k)，

則AQ=AP+PQ=(3k,k,2?2k)，

因為Q是直線PC與平面AEF的交點，所以AQ，AE，AF共面，

所以存在實數(shù)m，n，使得AQ=mAE+nAF，即(3k,k,2?2k)=(3m,n,n)，

所以3k=3mk=n2?2k=n，解得m=23n=23k=23，

所以PQ=23PC，即PQPC=23．

(2)依題意有S△AEC=118.解：(1)因為?(x)=2(32cosx?12sinx)?(32cosx?12sinx)=32cosx?12sinx，

所以?(x)的“特征向量”為p=(?12,32)；

(2)由題意知f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)，

由f(x)=85，得2sin(x+π3)=85，sin(x+π3)=45，

因為x∈(?π3,π6)，x+π3∈(0,π2)，

所以cos(x+π3)=35，

所以sinx=sin[(x+π3)?π3]=12sin(x+π3)?32cos(x+π3)=4?3310；

(3)f(x)=3sinx+cosx=2sin(x+π619.解：(1)直線l是兩個平面2x?y?1=0與3y?2z+1=0的交線，

所以直線l上的點滿足2x?y?1=03y?2z+1=0，

不妨設(shè)y=1，則x=1，z=2，

不妨設(shè)y=3，則x=2，z=5，

所以直線l的一個方向向量為：(2?1,3?1,5?2)=(1,2,3)；

(2)(i)記集合Q，P∩Q中所有點構(gòu)成的幾何體的體積分別為V1，V2，

考慮集合Q的子集Q′={(x,y,z)|x+y+z≤2，x≥0，y≥0，z≥0}，

即為三個坐標平面與x+y+z=2圍成的四面體，

四面體四個頂點分別為(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，

此四面體的體積為VQ′=13×2×(12×2×2)=43，

由對稱性知V1=8VQ′