2025屆新高考數(shù)學熱點沖刺復習導數(shù)的概念及其幾何意義、導數(shù)的運算

2025屆新高考數(shù)學熱點沖刺復習

導數(shù)的概念及其幾何意義、導數(shù)運算課前自主預習案課堂互動探究案課前自主預習案

f′(x0)(3)導函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù)，當x變化時，f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))，即f′(x)＝y(tǒng)′＝__________________．

2．導數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)f′(x0)，就是曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線的斜率k0，即k0＝_______．相應的切線方程為__________________．即在點(x0，f(x0))處f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)3．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝________f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________0nxn－1cosx－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝________f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝________f(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝________ax

lnaex

f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

cf′(x)5．復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為y′x＝_________，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積．y′u·u′x【常用結論】1．曲線的切線與曲線的公共點不一定只有一個，而直線與二次曲線相切時只有一個公共點．2．奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù)．夯

實

基

礎1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)導函數(shù)f′(x)的定義域與函數(shù)f(x)的定義域相同．(

)(2)f′(x0)與[f(x0)]′表示的意義相同．(

)(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點．(

)(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線．(

)××√×2．(教材改編)某跳水運動員離開跳板后，他達到的高度與時間的函數(shù)關系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距離單位：米，時間單位：秒)，則他在0.5秒時的瞬時速度為(

)A．9.1米/秒B．6.75米/秒C．3.1米/秒

D．2.75米/秒答案：C解析：因為函數(shù)關系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t，所以h′(t)＝－9.8t＋8，所以在t＝0.5秒時的瞬時速度為－9.8×0.5＋8＝3.1(米/秒)．故選C.

x＋y－5＝0

答案：B

5．(易錯)過原點與曲線y＝(x－1)3相切的切線方程為________________．y＝0或27x－4y＝0

課堂互動探究案1.了解導數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)．2．通過函數(shù)圖象，理解導數(shù)的幾何意義．3．能夠用導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導數(shù)．

ex[f(x)＋f′(x)]

【問題2】“曲線在點P處的切線”與“曲線過點P的切線”有何區(qū)別？答案：“曲線在點P處的切線”與“曲線過點P的切線”含義是不同的．“曲線在點P處的切線”即點P是曲線上的點，且點P就是切點；而“曲線過點P的切線”，點P不一定在曲線上，點P不一定是切點．

答案：

AC

(2)[2024·廣東深圳模擬]已知函數(shù)f(x)＝x3－2x＋2f′(2)，其中f′(x)是f(x)的導函數(shù)，則f(2)＝(

)A．12B．20C．10D．24答案：D解析：由題意得f′(x)＝3x2－2，故f′(2)＝3×4－2＝10，則f(x)＝x3－2x＋20，故f(2)＝8－4＋20＝24.故選D.題后師說

答案：BCD

答案：B

角度二求切線方程例3(1)[2024·河南鄭州模擬]已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋1，則曲線y＝f(x)在x＝0處的切線方程為____________．(2)曲線y＝(x－4)ex過坐標原點的切線方程為__________．x＋y－2＝0y＝－e2x

答案：C

答案：D

題后師說(1)處理與切線有關的問題，關鍵是根據(jù)曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程：①切點處的導數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上；②切點在曲線上．(2)注意區(qū)分“在點P處的切線”與“過點P的切線”．鞏固訓練2(1)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是(

)A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)答案：B

(2)曲線y＝ex－lnx在點(1，e)處的切線方程為________________．(3)[2024·福建泉州模擬]已知直線y＝x－1與曲線y＝ex＋a相切，則實數(shù)a的值為__________．(e－1)x－y＋1＝0

－2

答案：D

(2)[2021·新高考Ⅰ卷]若過點(a，b)可以作曲線y＝ex的兩條切線，則(

)A．eb<a

B．ea<bC．0<a<ebD．0<b<ea答案：D

題后師說(1)設切點列方程．(2)切線條數(shù)的判斷，實質是切點橫坐標為變量(方程)零點個數(shù)的判斷．鞏固訓練3

[2022·新高考Ⅰ卷]若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是____________________．

1．已知函數(shù)f(x)＝x2·f′(0)＋x·f(1)－2，則f(2)＝(

)A．12B．10C．8D．6答案：B

2．[2024·江西宜春模擬]已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x2在x＝1處的切線與直線x＋y＋1＝0垂直，則a＝(

)A．2B．－2C．1D．－1答案：D

答案：A

4．[2022·新高考Ⅱ卷]曲線y＝ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為____________，____________．

狀元筆記兩曲線的公切線問題1.求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析