4.1指數(shù) 講義（知識點+考點+練習）-2021-2022學年人教A版（2019）高一數(shù)學必修第一冊

4.1指數(shù)一、n次方根，根式1．a(chǎn)的n次方根的定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a(chǎn)的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號a的取值范圍n為奇數(shù)eq\r(n,a)Rn為偶數(shù)±eq\r(n,a)[0，＋∞)3.根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．思考根據(jù)n次方根的定義，當n為奇數(shù)時，是否對任意實數(shù)a都存在n次方根？n為偶數(shù)呢？二、根式的性質(zhì)根式的性質(zhì)是化簡根式的重要依據(jù)(1)負數(shù)沒有偶次方根．(2)0的任何次方根都是0，記作eq\r(n,0)＝0.(3)(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．(4)eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù))．(5)eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù))．思考根式化簡開偶次方根時應(yīng)注意什么問題？三、分數(shù)指數(shù)冪1．規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．2．規(guī)定正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．3．0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．思考分數(shù)指數(shù)冪可以理解為eq\f(m,n)個a相乘嗎？四、有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．(4)拓展：eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．五、無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．考點一根式的運算【例1】(2020·全國高一課時練習)若，則化簡________.【練1】(2020·全國高一課時練習)化簡：－＝________.考點二分數(shù)指數(shù)冪的運算【例2】(2020·全國高一課時練習)化簡下列各式；(1)；(2).【練2】(2020·浙江高一課時練習)化簡的結(jié)果為()A． B． C． D．考點三條件等式求值【例3】(2020·浙江高一課時練習)已知，那么等于()A． B． C． D．【練3】(2020·全國高一課時練習)已知，求下列各式的值：(1)；(2).考點四綜合運算【例4】(2020·浙江高一課時練習)計算下列各式：(1).(2).(3).【練4】(2020·浙江高一課時練習)化簡：________.

課后練習已知xy≠0且4xA.

xy<0

B.

xy>0

C.

x>0,y>0

D.

x<0,y>0（2018高一上·銅仁期中）若a>1，b>0，ab＋a－b＝22，則ab－a－b等于(

)A.

B.

2或－2

C.

－2

D.

2（2020高一上·奈曼旗期中）已知x12+A.

5

B.

23

C.

25

D.

27（2019高一上·石門月考）化簡(a?A.

0

B.

2(b?a)

C.

0或2(b?a)

（2020高一上·河北期中）(0.064)?

（2018高一上·臺州期末）823=

1

，log（2020高一上·開魯月考）223?（2019高一上·長春期中）計算下列各式的值：（1）0.064?（2）log2（2018高一上·東臺月考）計算：

（1）2log（2）2?（2019高一上·興慶期中）計算（1）4x（2）2log（2019高一上·射洪月考）計算下列各式的值：（1）(9（2）log3精講答案思考答案當n為奇數(shù)時，對任意實數(shù)a，都存在n次方根，可表示為eq\r(n,a)，但當n為偶數(shù)時不是，因為當a<0時，a沒有n次方根；當a≥0時，a才有n次方根，可表示為±eq\r(n,a).思考答案開偶次方根時，先用絕對值表示開方的結(jié)果，再去掉絕對值號化簡，化簡時要結(jié)合條件或分類討論．思考答案不可以．分數(shù)指數(shù)冪不可以理解為eq\f(m,n)個a相乘．事實上，它是根式的一種新寫法．【例1】【答案】【解析】因為所以，當時，原式；當時，原式.故答案為：【練1】【答案】【解析】原式＝.故答案為：【例2】【答案】(1)(2)【解析】(1)原式.(2)原式【練2】【答案】A【解析】原式.故選：A【例3】【答案】C【解析】當時，，，此時；當時，，，此時.，因此，.故選：C.【練3】【答案】(1)；(2).【解析】(1)平方得，；(2)由(1)，平方得，.【例4】【答案】(1)；(2)100；(3).【解析】(1)原式.(2)原式.(3)原式.【練4】【答案】【解析】練習答案1.【答案】A【考點】方根與根式及根式的化簡運算【解析】【解答】解：因為4x2y2=|2xy|又因為xy≠0，所以xy<0。故答案為：A.

【分析】因為4x2y2=|2xy|，又因為42.【答案】D【考點】有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值【解析】∵a>1，b>0，∴ab>a－b，(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(22)2－4＝4，∴ab－a－b＝2.故答案為：D.【分析】由題意可得(ab－a－b)2的值，開平方可得結(jié)果.3.【答案】B【考點】有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)【解析】x+1故答案為：B【分析】由x+14.【答案】C【考點】方根與根式及根式的化簡運算【解析】解：(a?b)2當a≥b時，原式=a?當a<b時，原式=b?故答案為：C．【分析】當n為偶數(shù)時，nan=|a|，當n5.【答案】74【考點】有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)【解析】(0.064)?=[=5故答案為：74

6.【答案】a-1【考點】方根與根式及根式的化簡運算【解析】【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)求解，注意開方數(shù)的正負。7.【答案】4；12【考點】有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值，對數(shù)的運算性質(zhì)【解析】823=故答案為：4，12【分析】由指數(shù),對數(shù)運算直接求解.8.【答案】43【考點】方根與根式及根式的化簡運算【解析】解：22化簡得：2×2整理得：43故答案為：43【分析】利用無理根式的運算法則可得

223?2?9.【答案】（1）解：0.064?=[=5=10

（2）解：log2=log=3=3=0【考點】有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對數(shù)的運算性質(zhì)【解析】（1）利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解即可；（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.10.【答案】（1）解：2log32?log3329+log3=22+1[(【考點】有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值，對數(shù)的運算性質(zhì)【解析】(1)結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，即可得出答案。（2）運用有理數(shù)指數(shù)冪化簡，求值，即可得出答案。11.【答案】（1）解：原式