2023-2024學年北京東城區(qū)一六六中高三（上）期中數(shù)學試題及答案

2023北京一六六中高三（上）期中數(shù)學（考試時長：120分鐘）考查目標知識：集合與簡易邏輯；不等式；函數(shù)與導數(shù)；三角函數(shù)與解三角形；立體幾何；平面解析幾何；排列組合與二項式定理；概率統(tǒng)計能力：數(shù)學抽象概括；邏輯推理論證；數(shù)學建模應用；直觀想想；數(shù)學運算；數(shù)據(jù)分析；空間想象能力一、選擇題：本題共小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．A={x|x1x，B={x|0x，則集合或AB=（1.已知集合）{x|0x{x|1xA.C.B.D.{x|x1或x{x|x1或x2+2.在復平面內，復數(shù)A.第一象限對應的點位于（）iB.第二象限C.第三象限D.第四象限b0”是“ab”的（3.“a）A.充分而不必要條件C.充分必要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件a=2)b=0)c=4)=4.已知向量，，，若(ab)//()，則實數(shù)（）112A.2B.1C.D.4x,y滿足axa(0a，則下列關系式恒成立的是（y5.已知實數(shù)）11tanxtanyA.C.B.x2+1y2+1ln(x+y22+D.x3y33()=fxx?0)的圖像關于直線x=對稱，則可以為（）6.函數(shù)21212A.B.C.D.133f(x)=sinx?xcosx7.關于函數(shù)下列說法錯誤的是A.f(x)是奇函數(shù)B.0不是f(x)的極值點ππC.f(x)在(?,)上有且僅有322D.f(x)的值域是R8.二維碼與生活息息相關，我們使用的二維碼主要是2121大小的，即441個點，根據(jù)0和1的二進制編碼，一共有2種不同的碼假設我們1秒鐘用掉1萬個二維碼，1萬年約為311秒，那么大約可以用lg230.5（）A.萬年B.萬年C.10萬年D.205萬年9.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，利用細沙全部流到下部容器所需要的時間進行計時.如圖，某沙漏由上、下兩個圓維組2成.這兩個圓錐的底面直徑和高分別相等，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度（h）的（細管長度忽3略不計）.假設細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.這個沙堆的高與圓錐的高h的比值為（）8491323A.B.C.D.()﹐若集合fx()=(?中恰有個元素，則稱函數(shù)()是階準偶函fxkfxk“xxfx10.對于函數(shù)1x,xaf(x)=a是“2階準偶函數(shù)”，則的取值范圍是（）數(shù)”.若函數(shù)2x2,xa()2)4)4)D.A.,0B.C.二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．已知角x的頂點在坐標原點，始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點P，且點P的1=縱坐標為，則2____________．12.在2x)4的二項展開式中，第四項為____________．?π()=fx2sin+)x13.已知函數(shù).2①若f(0)=1，則=___________；②若xR，使(+)?()=成立，則的最小值是___________.fx2fx414.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術．圖1是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形剪紙窗花．圖2中正六邊形的邊長為，圓O的圓心為該正六邊形的中心，圓O的半徑為2，圓O的直徑MN，點P在正六邊形的邊上運動，則PMPN的最小值為____________15.某班在一次考試后分析學生在語文?數(shù)學?英語三個學科的表現(xiàn)，繪制了各科年級排名的散點圖（如下關于該班級學生這三個學科本次考試的情況，給出下列四個結論：①三科中，數(shù)學年級排名的平均數(shù)及方差均最小；②語文、數(shù)學、英語年級排名均在150名以外的學生為1③本次考試該班語文第一名、數(shù)學第一名、英語第一名可能為三名不同的同學；1④從該班學生中隨機抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學排名均在150以內的概率為．3其中所有正確結論的序號是__________．三、解答題：本題共6小題，共分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，BC//CE⊥，垂足為，==，=331，將16.如圖1所示，在等腰梯形ABCD，沿EC折起到△1EC的位置，使平面DEC⊥1平面ABCE，如圖2所示，點GAD為棱上一個動1點．（1）當點G為棱AD中點時，求證：BG//1EC平面1⊥1ABD（2）求證：AB平面；（3）求直線CD1與平面所成角的正弦值．=1+sinA．1B+C217.在中，（1）求2sin2A；（2）再從條件①條件②條件③這三組條件中選擇一組作為已知，使??存在且唯一確定，求AB的長．條件①：3；==223條件②：cosB條件③：sinB=,ACBC=3+2；+33+3=,的面積為．22注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分．18.某學校組織高一、高二年級學生進行了“紀念建黨100”的知識競賽.從這兩個年級各隨機抽取了40名學生，對其成績進行分析，得到了高一年級成績的頻率分布直方圖和高二年級成績的頻數(shù)分布表.成績分組頻數(shù)75,8080,85))269095))1614295,100高二規(guī)定成績不低于90“優(yōu)秀”.（1）估計高一年級知識競賽的優(yōu)秀率：（2）將成績位于某區(qū)間的頻率作為成績位于該區(qū)間的概率.在高一、高二年級學生中各選出2名學生，記這4名學生中成績優(yōu)秀的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列；（3）在高一、高二年級各隨機選取1名學生，用X，Y分別表示所選高一、高二年級學生成績優(yōu)秀的人數(shù).寫出方差()()的大小關系.（只需寫出結論）DX,DYx22y22()+1ab0經(jīng)過=()A1(0)和B?3兩點，點為橢圓的右頂點，點219.已知橢圓C:CPabPA為橢圓C上位于第一象限的點，直線（1）求橢圓C的方程及離心率；與y軸交于點M與x軸交于點N．1（2）比較的面積與△NA2B的面積的大小，并說明理由．f(x)=x?x?220.已知函數(shù).（1）求f(x)的極值；（2）已知tZ，且xx+xt(x?x1t恒成立，求的最大值；對任意的g(x)=f(x+?e+3的零點為m(m，當x(,+)，12，且xx時，證明：12（3）設xln(1+ln(2+1?2e.滿足，是正實數(shù)，當n2時，，則稱是anan1anaa,a,21.若無窮數(shù)列?數(shù)列”.“Y（1）若是“Y?數(shù)列”且1=1Y?數(shù)列”，證明：，寫出的所有可能值；aa4n（2）設是“是等差數(shù)列充要條件是單調遞減；是等比數(shù)列充要anananan條件是單調遞增；an（3）若是“Y?數(shù)列”且是周期數(shù)列（即存在正整數(shù)T，使得對任意正整數(shù)，都有a=aT+nnann的元素個數(shù)的所有可能值的個數(shù).1i2018i=a集合1參考答案一、選擇題：本題共小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】C【分析】根據(jù)并集概念進行求解.B={x|x1或x【詳解】A故選：C.2.【答案】D【分析】先化簡原式，然后根據(jù)實部虛部確定復數(shù)所在象限.2+i=3?i【詳解】，i在復平面內對應的點的坐標為2(?)，位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)與復平面的關系，屬于基礎題.3.【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質結合充分條件和必要條件的定義即可得解.b0可得ab，【詳解】由a由ab可得ab0，b0”是“ab”的充分而不必要條件.所以“a故選：A.4.【答案】C【分析】先寫出a+b的坐標，再由m//nxy?xy=0可求得參數(shù).1221【詳解】∵向量a2),b0),c4)．===∴a+b=2)+0)=+,2)，∵(a+b)//c(R)，12+)?32=0=∴，解得．故選：C．5.【答案】D【分析】xyaxay(0a，然后再逐項判斷.根據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)的單調性得到axa(0ay【詳解】因為，xy所以由指數(shù)函數(shù)的單調性得：1+11x=y=1時，，故錯誤；A.當x2y2+1B.當x=,y=時，tanx=tany，故錯誤；44x=y=22n()2y+C.當時，l1，故錯誤；y=x3在R上是增函數(shù)，所以x3y3，故正確；D.因為冪函數(shù)故選：D6.【答案】C2f(x)=x?0)的對稱軸為x?=k=2k+0)【分析】【詳解】，化簡得到得到答案.333f(x)=x?0)32對稱軸為：x?=k?=k=2k+0)(kZ)323323當k=0時，故選:C.取值為.7.【答案】C【分析】【詳解】分析：利用函數(shù)的奇偶性、極值、零點、值域分析每一個選項得解.詳解：對于選項A,f(-x)=sin(-x)+xcos(-x)=-sin+xx=-(sinx-cosx)=-f(x),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以選項A是正確的.f(x)=x?[cosx+x(?sinx=xsinx對于選項B,，可以得到函數(shù)f(x)在(0,)是增函數(shù)，在2(?,0)0.也是增函數(shù)，所以不是函數(shù)的極值點，所以選項B正確2對于選項C,由于函數(shù)在(0,)是增函數(shù)，在(?,0)是增函數(shù)，且f(0)=0,(?,)所以函數(shù)在上有且僅2222有1個零點，所以選項C錯誤.對于選項D,函數(shù)的值域為R，所以選項D正確故選:C.8.【答案】A【分析】估算出可用的年限，然后取常用對數(shù)計算即可.2441【詳解】由題意大約可以用萬年，31110424412441則==2441?315=441lg2?lg3?153111043154410.3?0.5?=117，24411178，即大約可以用萬年.所以31110故選：A9.【答案】A【分析】2h，設圓錐的底面半徑為r，則細沙形成的圓錐的底細沙全部在上部時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為32r，求出細沙的體積，再設細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的高為，求出細沙的體積，由體積h面半徑為3相等求解h，則答案可求.23h【詳解】解：細沙全部在上部時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為，2設圓錐的底面半徑為r，則細沙形成的圓錐的底面半徑為r，321228V=rh=r2h.∴細沙的體積為33381細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑r，設高為h，138則V=r2h=rh，2818=hh.得∴27h8=.h27故選：A.【點睛】此題考查圓錐體積公式的應用，屬于中檔題10.【答案】B【分析】根據(jù)“2階準偶函數(shù)”定義，分0，a0，a=0三種情況分析即可得答案.x1,xaf(x)=【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)2是“2階準偶函數(shù)”，x2,xaxxfx=f(?x)中恰有個元素.()2則集合1x,xa2f(x)=y=x2,xa當0時，函數(shù)2有一段部分為，注意的函數(shù)y本身具有偶函數(shù)性x2,xaxxfx=f(?x中不止有兩個元素，矛盾，()質，故集合1x21?x當a0時，根據(jù)“2階準偶函數(shù)”的定義得()的可能取值為x或，(?x)為，故當fx2f=2x21x()(中恰=f?x=2x，該方程無解，當x2=2x，解得x2或x4，故要使得集合==xxfx2有2個元素，則需要滿足a2，即0a2；1x,x0?x12當a=0時，函數(shù)f(x)=，fx()的取值為，(?)為fx=2xx2=2x，根據(jù)題意得2x2x2,x0滿足恰有兩個元素，故a=0滿足條件.0,2).a綜上，實數(shù)的取值范圍是故選：B【點睛】本題解題的關鍵是根據(jù)新定義的“2階準偶函數(shù)”，將問題轉化為研究函數(shù)()，(?)可能取xfxf何值，進而根據(jù)x22x方程有兩個解=x=2x=4或求解考查運算求解能力與綜合分析能力，是中檔題..二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．3【答案】?2【分析】由題設確定P的坐標，再由三角函數(shù)的定義求.31,)，故cos=?223【詳解】由題設知：P(?.23故答案為：?12.【答案】232?32x【分析】利用二項式定理寫出展開式通項公式，進而求第四項.r【詳解】由題設r1C(2x)(2)Cx=r4?r=?rr42，332.當r=3時，第四項為4(2)Cx2=?334=?32x3故答案為：?32x2ππ13.【答案】①..6212πsin=|【分析】①由已知可得，利用正弦函數(shù)的圖象及特殊角的三角函數(shù)值，結合范圍，即可2得解的值；πx++)?x+)=2=(k?k)π?k，，1②化簡已知等式可得，由正弦函數(shù)的性質可得122k2Z，結合范圍0，即可得解的最小值．1【詳解】解：①由已知可得2sin=1，可得sin=，2π5π=2π+=2π+，kZ，或66ππ，當k=0時，=．262sin[(x+2)+]?2sin(x+)=4②，使成立，x++)?x+)=2即，ππxRx++=21π+x+=2k2π+kZ，，，使，22ππ解得=??=??，k1kZ，，21πk2π(1k2)π22π又，的最小值是．2ππ故答案為：，．2614.【答案】8【分析】由PM=PO+OM，=+，然后由數(shù)量積的運算公式，結合正六邊形的性質，即可求解.【詳解】如圖，連結PO，顯然=，()()()()PMPN=PO+PO+=PO+OMPO?，=?OM=?4，點P在正六邊形的邊上運動，O是其中心，3PO的最小值等于中心O到正六邊形的邊的距離，距離為4=23.因此22()所以PMPN的最大值為23?4=8.故答案為：815.【答案】①②④【分析】依據(jù)平均數(shù)和方差的定義判斷①；求得語文、數(shù)學、英語年級排名均在150名以外的學生人數(shù)判斷②；求得語文第一名、數(shù)學第一名、英語第一名的同學判斷③；求得從該班學生中隨機抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學排名均在150以內的概率判斷④.【詳解】①：三科中，數(shù)學對應的點比英語對應的點到橫軸的距離近且較為密集，數(shù)學對應的點到橫軸的距離比語文對應的點到縱軸距離近且較為密集，所以數(shù)學年級排名的平均數(shù)及方差均最小.判斷正確；②：語文、數(shù)學、英語年級排名均在150名以外的學生為1人.判斷正確；③：本次考試該班語文第一名、數(shù)學第一名、英語第一名為同一名同學.判斷錯誤；④：由圖表可知語文排名大于200的有3位同學，語文排名大于200且英語和數(shù)學排名均在150以內的同學僅有1位同學.故從該班學生中隨機抽取1人，若其語文排名大于200，1則其英語和數(shù)學排名均在150以內的概率為．判斷正確.3故答案為①②④三、解答題：本題共6小題，共分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟16.1）證明見解析3（2）證明見解析3）61EFGBC為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得答）取點F為棱的中點，可得四邊形案；1E⊥1E⊥，利用勾股（2）由面面垂直的性質定理可得平面ABCE，再由線面垂直的性質定理得定理得BEAB，最后由線面垂直的判定定理可得答案；、、z軸建立空間直角坐標系，求出CD、平⊥EA、、ED（3）以E為原點，分別以所在的直線為11ABD面的一個法向量，由線面角的向量求法可得答案.1【小問11ECF，取點F為棱的中點，連接1所以FG//，F(xiàn)G=，2在等腰梯形ABCD，BC//ADCE⊥，=3=3，1BC=AEFG//BC，F(xiàn)G=BC，所以，可得2所以四邊形FGBC為平行四邊形，BG//CF，又因為BG平面1EC，CF平面1EC所以BG//平面1EC；【小問2連接，因為平面1EC平面⊥ABCE，平面1EC平面=，1E1EC，1E⊥CE1E⊥，可得平面平面ABCE，⊥1E，所以，因為AB平面ABCE因為BC//ADCE⊥，AD=3BC=EC=1，所以AB=2，2，BE==2，可得AB2+BE2=AE2，即BEAB，⊥且BEE，1E平面1，⊥1所以AB平面；【小問3EA、、ED、、z軸，建立空間直角坐標系，以E為原點，分別以所在的直線為1所以()()()()，A0,0，B0C0D0,11=(?)DA=(2,0,?),DB=?)，所以CD，111)n=(x,y,zABD的一個法向量，1設為平面，即2x?z=0可得，令x=1，可得z=，y=1，2n=2)，x+y?z=0DBn01設直線CD1與平面ABD所成角為，1CnDnCD?1+21143所以sin=n,CD1==，2++613所以直線CD1與平面ABD所成角的正弦值為1.617.1）4（2）選條件②，AB的長為22+1.）利用三角形的內角和、誘導公式、二倍角的余弦公式對原始進行化簡即可求解.（2）對三個條件逐項分析，利用正弦定理、余弦定理求解邊AB的長度，注意題干中AB有唯一解，條件①無解，條件③有多個解，只有用條件②，AB有唯一解.【小問1B+CAA2sin2=1+sinA，則2(?)=2cos2=1+sinA，解：因為2222A2cos2?1=cosA=sinA，又0A.故2A=.所以：4【小問2解：選條件①：3，即a=b=3，==2由余弦定理得a2=b2+c2?bcA，即22=32+c?2c2，22()32?32c+5=0，=?45=?20，整理得c2故AB無解.223選條件②：cosB=,ACBC=3+2，即a+b=3++2，a，即22b13=1ab322則sinB=1B?2=，由正弦定理得=，解得a=b，3sinAsinB322+32b+b=b=3+2，解得：b==a=3.2，則所以22222214+2又sinCsin(AB)sinABAsinB=+=++=，23236ac=由正弦定理得，解得=c=22+1.sinAsinC33+3條件③：sinB=,的面積為，223=,0B,且A=B=B=或.因為sinB，故43323+3故對于條件③，B有2種可能，只要經(jīng)過縮放就能使的面積為，故AB不唯一.242+2綜上，選條件②，AB的長為18.1）30%；.3（2）分布列見解析；（3）D(X)DY().）先計算樣本的優(yōu)秀率，從而可解；（2）根據(jù)分布列的求解步驟即可求解；（3）根據(jù)兩點分布的方差計算公式即可判斷.【小問1高一年級知識競賽的優(yōu)秀率為(0.04+0.02)5=0.3，所以高一年級知識競賽的優(yōu)秀率為30%.【小問237在高一年級學生中選中成績優(yōu)秀學生的概率為，選中成績不優(yōu)秀學生的概率為；235在高二年級學生中選中成績優(yōu)秀學生的概率為，選中成績不優(yōu)秀學生的概率為5.的所有可能取值為0，，2，34；2273441P=0)==)==2)==3)==4)==，105250022373723966=，PPPPC12+C121010510552500332223722781237+C12C1+=，210510105510525002231023+372276C12C12=，55101052500322236=，1052500所以隨機變量ξ的分布列為：Pξ012344419667812762500362500250025002500X,Y【小問3詳解】顯然均符合兩點分布，P(X=0)=0.7,P(X==PY=0)=PY==0.4且，()=DX0.30.7=DY)=0.60.4=0.24，所以D(X)DY)x2y2c12+=1，離心率e==19.1）；43a（2）相等，理由見解析a,b）根據(jù)求橢圓方程，以及離心率；（2）首先設點P的坐標，再利用坐標分別表示兩個三角形的面積，做差后，即可比較大小.【小問1由題意可知，ab==3，c=a2?2=，b1x2y2c12+=1，離心率e==所以橢圓方程為；43a【小問2(Px)0設0y02y00+2PA1:yPB:yS==(+)x2=y=，令x0，得M直線直線，0+2y0+330x?3，令y=0，得xN=，0y0+31302y00+2=+2所以+2y31030y02y00+2=+(3)(0+)+2y0(0)3xy+2yy+3000=，(+3)(+)x2y001230y0+330S=2?3=3?2y(3)+0()23y+3?3x00=()2y+30()()3xy+2yy+323y+3?3x000000S?S2=?()()(x+2)y+32y+30004y02+302?12==0(3)(+)2x2y+00S=S2所以20.【答案】(1)極小值為-，無極大值；(2)3；(3)證明見解析.【分析】(1)對函數(shù)f(x)求導，分析導函數(shù)在其零點分定義區(qū)間上的正負即可得解；(2)將給定不等式等價轉化，構造函數(shù)，并討論其最值即可得解；(3)討論函數(shù)g(x)的零點，構造函數(shù)并討論其單調性，再借助單調性即可作答.1x?1f(x)=x?x?2(0,+)，(x)=1?=【詳解】(1)函數(shù)定義域為f，xx0x1時f(x)x1時f(x)0，x=1時，f(x)取得極小值f=1，無極大值，所以f(x)的極小值為-1，無極大值；xx+xxx+xx?1(2)xxx+xt(x?t，令h(x)=(x，x?1x+2)(x??(xx+x)x?x?2==h(x)，(x?2(x?2f(x)=x?x?2在+)上單調遞增，而f=1?ln3f(4)=2?40，由(1)知x4),f(x)=0x=x?2，當1xxf(x)h(x)0xx，當時，0，即時，00000，f(x)h(x)0h(x)x)上遞減，在(x0,+)上遞增，于是得在0xx+xx(x?2)+x000x=xh(x)h(0)==000==04)，則時，00?10?1t0，而tZ，則t=3從而有，t所以的最大值是3；g(x)=f(x+?e+3在(0,+)上遞增，g=f(2)?e+3=3?e?20，(3)由(1)知g(2)=f?e+3=4?e?ln30，m2)大于，g(x)1即ln(x+1x+1令(x)=,x(,+)，(x)=e?x[?ln(x+，ex1x+11F(x)=?ln(x+在+)x(,+F(x)F(m)F=?20，顯然上單調遞減，2x(m,),(x)0+，(x)在(m,+),(,+)xx，且時，12于是得上單調遞減，(x)(x)，21ln(1+ln(2+ln(1+ln(2+ee1=e1?2即，e1e22ln(1+ln(2+,(,+)xx時，12e1?2所以，且..21.1）（2）證明見解析31009）利用遞推關系，根據(jù)分類討論思想求解即可；（2）當是等差數(shù)列時，利用反證法可證明單調遞減，根據(jù)等比數(shù)列的性質可證后者；anan的最大項，再證明當是奇數(shù)時，aannan1是n的奇數(shù)倍，當是偶數(shù)時，an1是的（3）先證是數(shù)列1偶數(shù)倍，即可求出.【小問1a2a=0或2，2由題可知，則因為，所以當時，1,01，則3=1或1，a3a21,a2a=02a30當a22時，=a3，則a=0或4，3a?a=a,a,a3，所以當a=13a時，4因為，4312a=0則當當當或?2，4a=03a402,0a=?2，則4時，時，時，或2，a=0，則或2，4a=13a4a=43a4a=0，則或8，4a綜上，的所有可能值為；4【小問2|a?a=aa=02a或，21因為，所以211當是等差數(shù)列時，假設