山東省日照市莒縣嵐山2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題含解析

PAGE16-山東省日照市莒縣、嵐山2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題（含解析）一、單項選擇題1.若,則復數(shù)=()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對復數(shù)進行化簡運算，然后依據(jù)共軛復數(shù)的概念得到.【詳解】因為所以【點睛】本題考查復數(shù)的運算，共軛復數(shù)的概念，屬于簡潔題.2.（）A. B. C. D.無法確定【答案】B【解析】【分析】依據(jù)導數(shù)的極限定義，即可簡潔求得.【詳解】因為2.故選：B.【點睛】本題考查導數(shù)極限定義的應用，屬基礎(chǔ)題.3.若函數(shù)，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求導，再計算即可.【詳解】因為，故可得，故可得.故選：B.【點睛】本題考查導數(shù)的計算，屬基礎(chǔ)題；須要留意中為常數(shù)即可.4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)組合數(shù)的運算性質(zhì)，即可簡潔求得.【詳解】因為.故選：D.【點睛】本題考查組合數(shù)的運算性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.5.已知從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)等于從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)的倍，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，列出方程，依據(jù)組合數(shù)的運算，即可簡潔求得.【詳解】因為，則，整理得，因為，故解得.故選：C.【點睛】本題考查組合數(shù)的運算性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.6.表示虛數(shù)單位，則的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，結(jié)合周期性即可簡潔求得.【詳解】因為，且其冪運算周期為4，故可得.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的指數(shù)冪運算，屬基礎(chǔ)題.7.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將多項式函數(shù)整理，對求導，即可簡潔得到結(jié)果.【詳解】因為，故可得，故可得，則；，則.故選：A.【點睛】本題考查導數(shù)的計算，屬基礎(chǔ)題；只需先化簡，再求導即可.8.設(shè)隨機變量X的分布列為，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】由概率和為1,可知，解得，=選B.9.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】探討的單調(diào)性，由集合之間的關(guān)系即可求得參數(shù)范圍.【詳解】因為，故可得，故在上單調(diào)遞減；又因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，則是的子集，只需，解得.故選：C.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，涉及由集合之間的關(guān)系求參數(shù)的范圍，屬綜合基礎(chǔ)題.10.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，即可簡潔求得結(jié)果.【詳解】令，則可得；令，則可得；上述兩式相減可得：，解得.故選：A.【點睛】本題考查通過賦值法求二項綻開式中的系數(shù)之和，屬基礎(chǔ)題.二、多項選擇題11.將四個不同的小球放入三個分別標有1、2、3號的盒子中，不允許有空盒子的放法有多少種？下列結(jié)論正確的有（）.A. B. C. D.18【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)題意，分析可得三個盒子中有1個中放2個球，有2種解法：（1）分2步進行分析：①先將四個不同的小球分成3組，②將分好的3組全排列，對應放到3個盒子中，由分步計數(shù)原理計算可得答案；（2）分2步進行分析：①在4個小球中任選2個，在3個盒子中任選1個，將選出的2個小球放入選出的小盒中，②將剩下的2個小球全排列，放入剩下的2個小盒中，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】依據(jù)題意，四個不同的小球放入三個分別標有1?3號的盒子中，且沒有空盒，則三個盒子中有1個中放2個球，剩下的2個盒子中各放1個，有2種解法：（1）分2步進行分析：①先將四個不同的小球分成3組，有種分組方法；②將分好的3組全排列，對應放到3個盒子中，有種放法；則沒有空盒的放法有種；（2）分2步進行分析：①在4個小球中任選2個，在3個盒子中任選1個，將選出的2個小球放入選出的小盒中，有種狀況；②將剩下的2個小球全排列，放入剩下的2個小盒中，有種放法；則沒有空盒的放法有種；故選：BC．【點睛】本題考查排列、組合的應用，考查分類探討思想，考查邏輯推理實力和運算求解實力．12.設(shè)點是曲線上的隨意一點，點處的切線的傾斜角為，則角的取值范圍包含下列哪些（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】對函數(shù)求導，解得的范圍，依據(jù)斜率和傾斜角之間的關(guān)系，即可簡潔求得.【詳解】因為，故可得；設(shè)切線的傾斜角為，則，故可得，故選：CD【點睛】本題考查利用導數(shù)求切線傾斜角的范圍，屬基礎(chǔ)題.13.已知函數(shù)，下列關(guān)于的四個命題：①函數(shù)在上是增函數(shù)；②函數(shù)的最小值為；③假如時，，則的最小值為；④函數(shù)有個零點.其中假命題有（）A.① B.② C.③ D.④【答案】D【解析】【分析】利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合解決問題.【詳解】因為，故可得，則在，單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且，且當趨近于正無窮時，趨近于零.則的圖像如下所示：由函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在上增函數(shù)，故①正確；數(shù)形結(jié)合可知，函數(shù)的最小值為，故②正確；因為，假如時，，則的最小值為，故③正確；明顯，只有一個零點，故④錯誤.故選：D.【點睛】本題考查利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，最值以及零點，屬綜合中檔題.三、填空題14.是一組已知數(shù)據(jù)，令，當______時，取最小值.【答案】【解析】【分析】求函數(shù)求導，利用導數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性，從而求得最小值.【詳解】因，故可得，故可得在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當時，取得最小值.故答案為：.【點睛】本題考查利用導數(shù)探討函數(shù)的最小值，屬基礎(chǔ)題.15.設(shè)是原點，向量對應的復數(shù)分別為，，表示虛數(shù)單位，那么向量對應的復數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意寫出兩點的坐標，依據(jù)向量的坐標運算求得，進而寫出對應的復數(shù).【詳解】因為向量對應的復數(shù)分別為，，故可得，則，故其對應的復數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查向量的運算，復數(shù)在復平面對應點坐標的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.16.設(shè)是圖象的一條切線，問與坐標軸所圍成的三角形面積為______.【答案】4【解析】【分析】依據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出切線的方程，進而求得軸上的截距，即可求得結(jié)果.【詳解】因為，故可得，設(shè)切點為，則過切點的切線方程為，且，則切線在軸上的截距分別為，則與坐標軸所圍成的三角形面積.故答案為：4.【點睛】本題考查利用導數(shù)的幾何意義求切線的方程，屬中檔題.17.已知函數(shù)，的導函數(shù)的部分圖象如圖所示，且導函數(shù)有最小值，則導函數(shù)______，的值是______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先依據(jù)求得的解析式，再結(jié)合的圖像求得解析式，進而求得的解析式，即可求得函數(shù)值.【詳解】因為，故可得，依據(jù)圖像可得，且，解得；故；，則.故答案為：；.【點睛】本題考查導數(shù)的求解，由余弦型三角函數(shù)的圖像求解析式，以及三角函數(shù)值的求解，屬綜合困難題.三、解答題18.已知名學生和名老師站在一排照相，求：（1）名老師不站在兩邊，且必需相鄰，有多少種排法？（2）名老師不能相鄰的排法有多少種？【答案】(1)432；(2)1440.【解析】【分析】（1）將3名老師捆綁，小集團內(nèi)部全排列再將剩余4名同學全排列即可；（2）采納插空法即可簡潔求得.【詳解】（1）將3名老師捆綁，內(nèi)部全排列共有中方式，再從5個位置構(gòu)成的不在兩邊的3個位置中選取一個位置讓3位老師就坐；再對剩余4名學生求全排列，則全部的排法有種.（2）利用4名同學產(chǎn)生的5個空，將3名老師插入其中即可.則全部的排法有種.【點睛】本題考查用捆綁法處理相鄰問題，以及用插空法處理不相鄰問題，屬綜合基礎(chǔ)題.19.已知的綻開式的二項式系數(shù)之和為.（1）求的值；（2）求的綻開式中項的系數(shù).【答案】(1)4；(2)32【解析】【分析】（1）由二項式系數(shù)為，即可簡潔求得；（2）利用綻開式的通項公式，即可簡潔求得.【詳解】（1）因為綻開式的二項式系數(shù)之和為，即可得，解得.（2）對，其通項公式為令，解得，故的系數(shù)為.【點睛】本題考查由二項式系數(shù)和求參數(shù)，以及利用綻開式的通項公式求某一項的系數(shù)，屬綜合基礎(chǔ)題.20.設(shè)曲線在點處取得極值.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【答案】(1)2；(2)在區(qū)間和單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；的極大值為；的微小值為.【解析】【分析】（1）依據(jù)，即可簡潔求得；（2）依據(jù)（1）中所求，求得，即可簡潔求得單調(diào)區(qū)間和極值.【詳解】（1）因為，故可得，又因為，故可得，解得.（2）由（1）可知，，令，解得，又因為函數(shù)定義域為，故可得在區(qū)間和單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.故的極大值為；的微小值為.【點睛】本題考查利用極值點求參數(shù)值，以及利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬綜合基礎(chǔ)題.21.微信是現(xiàn)代生活信息溝通的重要工具，隨機對運用微信的人進行統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計表，每天運用微信時間在兩小時以上的人被定義為“微信依靠”，不超過兩小時的人被定義為“非微信依靠”，已知“非微信依靠”與“微信依靠”人數(shù)比恰為.運用微信時間（單位：小時）頻數(shù)頻率50.05150.15150.15300.30合計1001.00（1）確定的值；（2）為進一步了解運用微信對自己的日常工作和生活是否有影響，從“微信依靠”和“非微信依靠”人中用分層抽樣的方法確定人，若需從這人中隨機選取人進行問卷調(diào)查，設(shè)選取的人中“微信依靠”的人數(shù)為，求的分布列；（3）求選取的人中“微信依靠”至少人的概率.【答案】(1)；(2)分布列見詳解；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)樣本容量以及頻率之和為，結(jié)合“非微信依靠”與“微信依靠”人數(shù)比恰為，列出方程組，即可求得未知數(shù)；（2）先計算出10人中微信依靠和非微信依靠的人數(shù)，再求得的取值，求得其概率，即可解得.（3）依據(jù)（2）中所求分布列，即可簡潔求得.【詳解】（1）由題可知非微信依靠人數(shù)為人，微信依靠人數(shù)為40人，故可得；則；人，則.（2）依據(jù)題意，10人中非微信依靠人數(shù)為人；微信依靠人數(shù)為人；則簡潔知，且其聽從超幾何分布，故可得，，，；故得分布列如下所示：（3）由題可知選取的人中“微信依靠”至少人的概率為由（2）中分布列可得.故選取的人中“微信依靠”至少人的概率為.【點睛】本題考查頻率和概率的計算以及超幾何分布的分布列求解，屬綜合中檔題.22.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）求導，可得切線的斜率，依據(jù)點斜式即可求得；（2）分別參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)探討其單調(diào)性和最值即可求得.【詳解】（1）因為，故可得，則，，故在點處的切線方程為，整理得.（2）關(guān)于的不等式在上恒成立，等價于在上恒成立，令，只需即可.又，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故可得.則要滿意題意，只需即可.故.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)求函數(shù)的最值，屬綜合中檔題，涉及構(gòu)造函數(shù)法.23.設(shè)函數(shù).（1）探討的導函數(shù)零點的個數(shù)；（2）證明：當時，.【答案】(1)當時，沒有零點；當時，有一個零點；(2)證明見詳解.【解析】【分析】（1）求導，將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的求解問題，則問題得解；（2）推斷