天津市第一0二中學2025屆高三上學期第一次月考數(shù)學試卷（解析版）

高三年級統(tǒng)練二（數(shù)學）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意列舉法表示集合，再根據(jù)并集的運算求解即可.解：由題，，，則.故選：D.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得，然后結(jié)合必要條件、充分條件的判定方法即可得出結(jié)論.根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在R上單調(diào)遞增所以當a13>b1當時，無意義，則“”是“”的不充分條件；當時，，則“”是“”的必要條件；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.設，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出a,b,c的范圍，解：，，∴．故選：D4.曲線是造型中的精靈，以曲線為元素的LOGO給人簡約而不簡單的審美感受，某數(shù)學興趣小組設計了如圖所示的雙型曲線LOGO，以下4個函數(shù)中最能擬合該曲線的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)，排除B項；由，排除C項，由當時，函數(shù)，可排除D，由函數(shù)為奇函數(shù)，且當時，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，得到A符合題意，即可求解.由函數(shù)，其定義域為，關于原點對稱，可得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以排除B；由函數(shù)，可得，故排除C；由函數(shù)，當時，可得且，則，故排除D．由函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，且，所以為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，由時，，可得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，且，所以A項符合題意.故選：A.5.已知過點的直線與圓相切，且與直線垂直，則（）A.2 B. C. D.-2【答案】D【解析】【分析】點在已知圓上，由此可求出的斜率，由已知得，由此即可得解.點在圓上，則，設切線斜率為，所以，則.故選：D．6.已知函數(shù)滿足,且在區(qū)間上單調(diào)遞減,則的解析式可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)可得直線是圖象的對稱軸,再根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)遞減對各選項進行排除即可.由題意,所以直線是圖象的對稱軸,可以排除選項B,C.又因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,排除A.故選：D.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)判定,屬于基礎題.7.已知，，，則的最小值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】由換底公式和基本不等式即可求解.由知,結(jié)合，以及換底公式可知，，當且僅當，，即時等號成立，即時等號成立，故的最小值為，故選：B.8.已知向量，且，則向量在向量上的投影向量坐標是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】通過向量線性運算、向量平行求得參數(shù)，根據(jù)投影向量求法求解即可.因為向量，所以，因為，則，解得，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C.9.已知橢圓在左、右焦點分別為，，點在橢圓上，是坐標原點，，，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可知，根據(jù)橢圓的定義可知，在中，由余弦定理可得，進而可得，由此即可求出結(jié)果.設，橢圓的離心率為；因為，所以，即，因為，所以，所以在中，由余弦定理可得，即，所以，又，所以.故選：A.二、填空題（將正確答案填在橫線上）10.已知i是虛數(shù)單位，z（5－3i）＝1－4i，則______．【答案】【解析】【分析】利用復數(shù)運算法則求出復數(shù)，在求出模長即可.則故答案：.11.在的展開式中，的系數(shù)為___________.【答案】##【解析】【分析】借助二項式的展開式的通項公式計算即可得.對有，則有，即，的系數(shù)為.故答案為：.12.過點作一條直線截圓所得弦長為，則直線的方程是___________.【答案】或【解析】【分析】待定系數(shù)法設直線，由弦長公式求解可化為故圓心到直線距離若直線斜率不存在，方程為，則，滿足題意若直線斜率存在，設其方程為，，解得，此時直線方程為故答案為：或13.有兩臺車床加工同一型號零件，第一臺車床加工的優(yōu)秀率為15%，第二臺車床加工的優(yōu)秀率為10%．假定兩臺車床加工的優(yōu)秀率互不影響，則兩臺車床加工零件，同時出現(xiàn)優(yōu)秀品的概率為________；若把加工出來的零件混放在一起，已知第一臺車床加工的零件數(shù)占總數(shù)的60%，第二臺車床加工的零件數(shù)占總數(shù)的40%，現(xiàn)任取一個零件，則它是優(yōu)秀品的概率為________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式即可求解第一空，根據(jù)全概率公式即可求解第二空.由于第一臺車床加工的優(yōu)秀率為15%，第二臺車床加工的優(yōu)秀率為10%，所以兩臺車床加工零件，同時出現(xiàn)優(yōu)秀品的概率為記“加工的零件為優(yōu)秀品”，“零件為第1臺車床加工“，“零件為第2臺車床加工“，，，，，由全概率公式可得，故答案為：14.在2022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國、各地區(qū)代表團的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形（如圖②）．已知正六邊形的邊長為1，點M滿足，則________________；若點P是線段上的動點（包括端點），則的最小值是________________．【答案】①.##②.##【解析】【分析】建立平面直角坐標系，求出各點坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算求解即可．建立如圖所示的平面直角坐標系，則，則，，設，則，，當時，的最小值為故答案為：；.15.已知函數(shù)，其中.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是___________；若存在實數(shù)，使得關于的方程有三個不同的根，則的取值范圍是___________.【答案】①.②.【解析】【分析】由題意畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得關于m的不等式，求解得答案.時，函數(shù)圖象如下圖所示：要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，又，所以的取值范圍是；要使關于的方程有三個不同的根，則，即，所以的取值范圍是，故答案為：；．【點睛】方法點睛：對于分段函數(shù)的單調(diào)性，方程的根的個數(shù)等相關問題，運用數(shù)形結(jié)合是常采用的方法．三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟16.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由余弦定理計算可得；（2）由正弦定理計算可得；（3）由余弦定理求出，即可求出、，再由兩角差的正弦公式計算可得.【小問1】由余弦定理知，，所以，即，解得或（舍負），所以．【小問2】由正弦定理知，，所以，所以．【小問3】由余弦定理知，，所以，，所以.17.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ΔABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若，求ΔABC的面積.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）＝2sin（2x），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解其單調(diào)遞增區(qū)間．（2）由題意可得sin（2A）＝1，結(jié)合范圍2A∈（，），可求A的值，由正弦定理可得a，由余弦定理b，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．（1）∵sin2x﹣cos2x＝2sin（2x），令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ，kπ]，k∈Z．（2）∵f（A）＝2sin（2A）＝2，∴sin（2A）＝1，∵A∈（0，π），2A∈（，），∴2A，解得A，∵C，c＝2，∴由正弦定理，可得a，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得6＝b2+4﹣2，解得b＝1，（負值舍去），∴S△ABCabsinC（1）．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18.如圖，是一個四棱錐，已知四邊形是梯形，平面，，，，，點是棱的中點，點在棱上，．（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得直線平面.（2）利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值.（3）利用向量法求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問1】以為坐標原點，以的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則.為平面的一個法向量，因為，所以，所以，因為平面，所以平面.【小問2】設為平面的一個法向量，則，故可設，所以，所以直線與平面成角的正弦值為.【小問3】設為平面的一個法向量，則,因為，所以,取，則.為平面的一個法向量，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.19.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：長軸是短軸的倍，點(2，1)在橢圓C上.（1）求橢圓C方程；（2）設直線l與圓O：相切，切點在第一象限，與橢圓C相交于P，Q兩點.①求證：以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O；②若△OPQ的面積為求直線l的方程.【答案】（1）；（2）①證明見解析，②或.【解析】【分析】（1）由題意，列出方程組，求得的值，進而得到方程；（2）①直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理，計算出，可得，即以為直徑的圓過原點；②根據(jù)弦長公式，三角形的面積公式，列出方程，求得的值，即可求得直線分方程.（1）由題意橢圓C長軸是短軸的倍，點(2，1)在橢圓C上，可得，解得，，所以橢圓的方程為.（2）①因為切點在第一象限，直線的斜率存在，不妨設直線的方程為，即，且，，因為直線與圓相切，所以，即，聯(lián)立，得，設，，，，則有，，所以，所以，所以，即，即以為直徑的圓過原點.②由①可得，，，所以，點到直線的距離為，可得，解得，或，當時，，當時，，所以，，或，，則直線方程為或.【點睛】對于直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線的方程，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行轉(zhuǎn)化求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力．20.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）設，若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）當時，，則，求導得，由導數(shù)的幾何意義可得，即可解出；（2）若恒成立，則恒成立，令，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可得，則，即可解出；（3）若有兩個零點，則在