數(shù)學(xué)例題與探究：回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精典題精講【例1】下列五個(gè)命題，正確命題的序號(hào)為_(kāi)____________。①任何兩個(gè)變量都具有相關(guān)關(guān)系②圓的周長(zhǎng)與該圓的半徑具有相關(guān)關(guān)系③某商品的需求量與該商品的價(jià)格是一種非確定性關(guān)系④根據(jù)散點(diǎn)圖求得的回歸直線(xiàn)方程可能是沒(méi)有意義的⑤兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系可以通過(guò)回歸直線(xiàn)，把非確定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定性問(wèn)題進(jìn)行研究思路解析：變量的相關(guān)關(guān)系是變量之間的一種近似關(guān)系，并不是所有的變量都有相關(guān)關(guān)系,而有些變量之間是確定的函數(shù)關(guān)系。例如，②中圓的周長(zhǎng)與該圓的半徑就是一種確定的函數(shù)關(guān)系;另外,線(xiàn)性回歸直線(xiàn)是描述這種關(guān)系的有效的方法;如果兩個(gè)變量對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)與所求出的直線(xiàn)偏離較大，那么，這條回歸直線(xiàn)的方程就是毫無(wú)意義的.答案:③④⑤綠色通道:相關(guān)關(guān)系是一種不確定關(guān)系，但是它們之間也有一定的規(guī)律,根據(jù)回歸分析可以對(duì)它們之間的關(guān)系進(jìn)行估計(jì).變式訓(xùn)練兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系是一種（）A.確定性關(guān)系B.線(xiàn)性關(guān)系C.非線(xiàn)性關(guān)系D.可能是線(xiàn)性關(guān)系也可能不是線(xiàn)性關(guān)系思路解析:變量之間的相關(guān)關(guān)系是一種非確定性的關(guān)系,如果所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線(xiàn)附近，那么它們之間就是一種線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,否則不是線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.答案：D【例2】為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線(xiàn)性相關(guān)性，甲、乙兩個(gè)同學(xué)各自獨(dú)立地做了10次和15次試驗(yàn)，并且利用線(xiàn)性回歸方法，求得回歸直線(xiàn)分別為l1和l2。已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為s，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是t，則下列說(shuō)法正確的是（)A。l1與l2有交點(diǎn)（s,t）B。l1與l2相交，但交點(diǎn)不一定是（s，t）C。l1與l2必定平行D。l1與l2必定重合思路解析：回歸直線(xiàn)=a+bx中的系數(shù),所以，方程又可以寫(xiě)成：。顯然，當(dāng)x=時(shí)，y=,所以,回歸直線(xiàn)一定通過(guò)定點(diǎn)（)。這里的=s，=t，也即是說(shuō)，所得回歸直線(xiàn)方程恒過(guò)點(diǎn)(s，t），所以,l1與l2有交點(diǎn)（s,t），但是考慮到一般數(shù)據(jù)之間是有誤差的，所以，不一定重合.答案：A黑色陷阱：回歸直線(xiàn)是對(duì)相關(guān)關(guān)系的一種估計(jì)關(guān)系式，由于相關(guān)關(guān)系的不確定性,實(shí)際上這些點(diǎn)不一定都在回歸直線(xiàn)上。否則就會(huì)因?yàn)椴焕斫庀嚓P(guān)關(guān)系的含義而導(dǎo)致錯(cuò)誤。變式訓(xùn)練“回歸”一詞是在研究子女的身高與父母的身高之間的遺傳關(guān)系時(shí)由高爾頓提出的。他的研究結(jié)果是子代的平均身高向中心回歸.根據(jù)他的結(jié)論，在兒子的身高y與父親的身高x的回歸方程y=中，(）A.在（—1，0）內(nèi)B.等于0C.在（0，1)內(nèi)D.在［1，+∞)內(nèi)思路解析：根據(jù)遺傳的含義，子女的身高應(yīng)該逐漸接近父親的身高，也就是一種正相關(guān)關(guān)系，所以,應(yīng)是一個(gè)正值,又子女的身高逐漸回歸到父親的身高,所以，〈1。答案:C【例3】要分析學(xué)生初中升學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有什么影響，在高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽選10名學(xué)生，分析他們?nèi)雽W(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)和高一年級(jí)期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)(如下表）：學(xué)生編號(hào)12345678910入學(xué)成績(jī)x63674588817152995876高一期末成績(jī)y65785282928973985675(1）計(jì)算入學(xué)成績(jī)（x）與高一期末考試成績(jī)(y）的相關(guān)關(guān)系；（2）對(duì)變量x與y進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，如果x與y之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求出一元線(xiàn)性回歸方程；(3）若某學(xué)生入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)80分,試估計(jì)他高一期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)。思路分析：可以直接代入相關(guān)公式得出回歸直線(xiàn)方程,根據(jù)方程對(duì)他高一的期末成績(jī)進(jìn)行估計(jì).解：(1)因?yàn)椋?3+67+…+76)=70,（65+78+…+75)=76，Lxy==1894，Lxx==2474,lyy==2056，因此求得相關(guān)系數(shù)為r==0.839789.結(jié)果說(shuō)明這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度是比較高的。(2)查表求得在顯著水平0.05和自由度10-2=8的相關(guān)系數(shù)臨界值r0。05=0。632，因r=0.839768〉r0.05,這說(shuō)明數(shù)學(xué)入學(xué)成績(jī)與高一期末成績(jī)之間存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.設(shè)線(xiàn)性回歸方程為y=a+bx，在兩組變量具有顯著的線(xiàn)性關(guān)系情況下:b==0.76556，a==22.41067.因此所求的線(xiàn)性回歸方程是y=22。41067+0.76556x。（3）若某學(xué)生入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分，代入上式可求得y≈84分，即這個(gè)學(xué)生高一期末數(shù)學(xué)成績(jī)預(yù)測(cè)值為84分。綠色通道：回歸直線(xiàn)是對(duì)相關(guān)關(guān)系的一種估計(jì)關(guān)系式，通過(guò)回歸直線(xiàn)可對(duì)某些事物的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)報(bào),但是要通過(guò)對(duì)其誤差進(jìn)行分析確定預(yù)報(bào)的可信度，這也是研究相關(guān)關(guān)系一種常用的思路.變式訓(xùn)練某電器商經(jīng)過(guò)多年經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本店每個(gè)月售出的電冰箱的臺(tái)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，ξ的分布列如下：ξ123…12P…設(shè)每售出一臺(tái)電冰箱，電器商獲利300元,如銷(xiāo)售不出而囤積于倉(cāng)庫(kù)，則每臺(tái)每月需花保養(yǎng)費(fèi)用100元,問(wèn)電器商月初購(gòu)進(jìn)多少臺(tái)電冰箱才能使自己月平均收益最大？思路分析:首先根據(jù)已知條件建立回歸直線(xiàn)方程，再代入相應(yīng)數(shù)據(jù)即可。解:設(shè)x為月初電器商購(gòu)進(jìn)的冰箱臺(tái)數(shù)，只需考慮1≤x≤12的情況，設(shè)電器每月的收益為η元，則η是隨機(jī)變量ξ的函數(shù)，且η=電器商平均每月獲益的平均數(shù)，即數(shù)學(xué)期望為Eη=300x(Px+Px+1+…+P12)+［300—100(x—1）］P1+［2×300—100(x-1）］P2+［3×300-100(x-1)］P3+…+[300×300-100(x—1）］Pn-1=（-2x2+38x)。由于x∈N＊,故可求出，當(dāng)x=9或10,也即電器商月初購(gòu)進(jìn)9臺(tái)或10臺(tái)電冰箱時(shí)，收益最大.【例4】燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈泡的壽命為ξ（單位：小時(shí)）,已知ξ—N（1000,302)，要使燈泡的平均壽命為1000小時(shí)的概率為99.7％，問(wèn)燈泡的最低壽命應(yīng)控制在多少小時(shí)以上？思路分析:由于ξ服從正態(tài)分布，故應(yīng)利用正態(tài)分布的性質(zhì)解題.解：因?yàn)闊襞莸氖褂脡勖巍狽（1000，302），故ξ在（1000—3×30，1000+3×30)的概率為99。7%，即ξ在（910,1090）內(nèi)取值的概率為99。1％，故燈泡的最低使用壽命應(yīng)控制在910小時(shí)以上.綠色通道：正態(tài)分布是一種很常見(jiàn)的分布規(guī)律，要解決此類(lèi)問(wèn)題要理解正態(tài)分布的性質(zhì)并加以應(yīng)用.變式訓(xùn)練假設(shè)某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(70，102).已知第100名的成績(jī)是60分，求第20名的成績(jī)約是多少分？思路分析:由于成績(jī)服從正態(tài)分布,故分?jǐn)?shù)落在某范圍內(nèi)的概率可用兩種方法即Φ函數(shù)或人數(shù)比來(lái)進(jìn)行計(jì)算。解：由題意可知：P（ξ≥60）=1-P(ξ<60)=1—Φ(）=1-Φ(-1）=-0。8413,這說(shuō)明數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分和60分以上的考生(共100名）在全體考生中占84.13%，因此，考生總數(shù)大致為≈119名，故前20名考生在全體考生中的比率大約為≈0。1681.設(shè)t為第20名考生的成績(jī)，則有P（ξ≥t）=1-Φ（）≈0.8319,經(jīng)查表得≈0.96,于是，第20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)約為79。6分.問(wèn)題探究問(wèn)題1：相關(guān)系數(shù)是相關(guān)分析中的主要參數(shù)，那么怎樣理解它的意義呢?導(dǎo)思：相關(guān)系數(shù)是反映相關(guān)關(guān)系的一個(gè)重要因素,體現(xiàn)了回歸方程與實(shí)際觀測(cè)值的密切程度,也即是根據(jù)回歸方程預(yù)報(bào)結(jié)果的準(zhǔn)確程度，因此，是線(xiàn)性回歸模型中一個(gè)重要的參數(shù).探究：假設(shè)對(duì)兩個(gè)相關(guān)變量X和Y作了n次觀測(cè)，得到n對(duì)數(shù)據(jù)：（X1，Y1)，(X2，Y2)，…,（Xn，Yn)，如果把它們描在坐標(biāo)圖上即得散點(diǎn)圖,借助散點(diǎn)圖可以觀察到X和Y或者同升,或者同降，或者一升一降的共同變化趨勢(shì),也即相關(guān)關(guān)系.相關(guān)分析是用相關(guān)系數(shù)來(lái)表示兩個(gè)變量間相互的直線(xiàn)關(guān)系，并判斷其密切程度的統(tǒng)計(jì)方法.相關(guān)系數(shù)沒(méi)有單位.在—1—+1范圍內(nèi)變動(dòng),其絕對(duì)值愈接近1，兩個(gè)變量間的直線(xiàn)相關(guān)愈密切;愈接近0,相關(guān)愈不密切.相關(guān)系數(shù)若為正，說(shuō)明一變量隨另一變量增減而增減,方向相同；若為負(fù),表示一變量增加、另一變量減少,即方向相反，但它不能表達(dá)直線(xiàn)以外（如各種曲線(xiàn))的關(guān)系。問(wèn)題2：怎樣理解回歸分析的基本思想？回歸分析有哪些實(shí)際的應(yīng)用?導(dǎo)思:回歸分析涉及統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)、建立數(shù)學(xué)模型的思路與方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究問(wèn)題的規(guī)律，無(wú)論從情感價(jià)值還是數(shù)學(xué)本身的思維意識(shí)，都能使我們有一個(gè)全面的提高,是高中教材中極有價(jià)值的知識(shí)點(diǎn).除此之外,回歸分析在生產(chǎn)實(shí)踐中也有極為廣泛的應(yīng)用,是數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的一種體現(xiàn)。探究:回歸分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)中一種重要的方法，體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)的基本思想,研究如何從樣本的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)去推測(cè)相應(yīng)總體的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，即如何根據(jù)樣本去探求有關(guān)總體的規(guī)律性。首先,從所收集的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，找出一條最接近的直線(xiàn)方程,即線(xiàn)性回歸方程，而把其他一些不具有線(xiàn)性回歸關(guān)系的數(shù)據(jù)用一種線(xiàn)性回歸方程進(jìn)行擬合，給出數(shù)據(jù)之間類(lèi)似函數(shù)的一種關(guān)系,體現(xiàn)了從特殊到一般的基本思路,使對(duì)不確定關(guān)系的