專題16 雙曲線（1大考向真題解讀）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁(yè)專題16雙曲線命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考對(duì)雙曲線的考查，重點(diǎn)是（1）雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）雙曲線的幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線）。（3）直線和雙曲線的位置關(guān)系及綜合應(yīng)用。雙曲線的離心率2023·新高考Ⅰ卷，162024·新高考Ⅰ卷，12命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查應(yīng)用定義求解雙曲線的離心率，難度較易。Ⅱ卷是雙曲線與數(shù)列的綜合問題，后續(xù)專題會(huì)解讀。雙曲線是圓雉曲線的重要內(nèi)容，但從總體上看，雙曲線的考試要求要比橢圓和拋物線低，在雙曲線的試題中，最為重要的是三點(diǎn)是：方程、漸近線、離心率。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查雙曲線的定義和離心率、漸近線。試題精講一、填空題1．（2024新高考Ⅰ卷·12）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為．【答案】【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結(jié)合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.【詳解】由題可知三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)在第一象限，將代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案為：一、填空題1．（2023新高考Ⅰ卷·16）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為．【答案】/【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，，將點(diǎn)代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；【詳解】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因?yàn)?，所以，則，又，所以，則，又點(diǎn)在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.一、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）．用集合表示為．注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支．（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以和為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線．（3）時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：=1\*GB3①條件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用．二、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形A2A2焦點(diǎn)坐標(biāo)，，對(duì)稱性關(guān)于，軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo)，，范圍實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為離心率漸近線方程令，焦點(diǎn)到漸近線的距離為令，焦點(diǎn)到漸近線的距離為點(diǎn)和雙曲線的位置關(guān)系共焦點(diǎn)的雙曲線方程共漸近線的雙曲線方程切線方程為切點(diǎn)為切點(diǎn)切線方程對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中換為，換成便得．切點(diǎn)弦所在直線方程為雙曲線外一點(diǎn)為雙曲線外一點(diǎn)點(diǎn)為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為，，．則弦長(zhǎng)，，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù)．通徑通徑（過焦點(diǎn)且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為焦點(diǎn)三角形雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的成為焦點(diǎn)三角形，設(shè)，，，則，，焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是等軸雙曲線等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線離心率兩漸近線互相垂直漸近線方程為方程可設(shè)為．【雙曲線常用結(jié)論】1、雙曲線的通徑過雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長(zhǎng)為．2、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系對(duì)于雙曲線，點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部，等價(jià)于．點(diǎn)在雙曲線外部，等價(jià)于結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析．3、雙曲線?？夹再|(zhì)性質(zhì)1：雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)；性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；4、雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大）5、雙曲線的切線點(diǎn)在雙曲線上，過點(diǎn)作雙曲線的切線方程為．若點(diǎn)在雙曲線外，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方程為一、單選題1．（2024·甘肅蘭州·三模）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先得到方程，求出，得到雙曲線方程和漸近線方程.【詳解】由題意得，解得，，故漸近線方程為.故選：C2．（2024·浙江紹興·三模）已知，為曲線：的焦點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則曲線的離心率B．若，則曲線的離心率C．若曲線上恰有兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得，則D．若，則曲線上存在四個(gè)不同的點(diǎn)，使得【答案】C【分析】根據(jù)給定的方程，結(jié)合橢圓、雙曲線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓，離心率，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，曲線是雙曲線，離心率，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓，其短半軸長(zhǎng)，半焦距，顯然以線段為直徑的圓恰過這個(gè)橢圓短軸端點(diǎn)，即符合條件的可以是8，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，則曲線是焦點(diǎn)在x上的雙曲線，則，以線段為直徑的圓與雙曲線有4個(gè)交點(diǎn)，即符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，D正確.故選：C3．（2024·安徽·三模）過雙曲線的下頂點(diǎn)作某一條漸近線的垂線，分別與兩條漸近線相交于兩點(diǎn)，若,則C的離心率為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】過點(diǎn)作另一條漸近線的垂線于，借助雙曲線的對(duì)稱性計(jì)算可得，即可得離心率.【詳解】過點(diǎn)作另一條漸近線的垂線于，由對(duì)稱性可得，由，則有，則，故，故，故，即.故選：A.4．（2024·全國(guó)·三模）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且離心率為，過點(diǎn)的直線l與C的一條漸近線垂直相交于點(diǎn)D，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)焦點(diǎn)，根據(jù)題意求點(diǎn)的坐標(biāo)和的值，進(jìn)而畫出圖象即可解決.【詳解】不妨設(shè)焦點(diǎn)，其中一條漸近線為，則直線l的方程為，由解得即，因?yàn)椋?，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，如下圖：于是.故選：A.5．（2024·四川成都·三模）已知雙曲線（，）的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線漸近線上一點(diǎn)且滿足，過作軸的垂線交漸近線于點(diǎn)，已知，則其離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式列方程求解即可.【詳解】，故點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且過作軸的垂線交漸近線于點(diǎn)，故設(shè)點(diǎn)，不妨設(shè)均在上，則，，，，即，，，故離心率為.故選：D.6．（2024·山西陽(yáng)泉·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的右支上有一點(diǎn)與雙曲線的左支交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件得是等邊三角形，設(shè)的邊長(zhǎng)為，結(jié)合雙曲線定義得，在中，由余弦定理求得離心率.【詳解】因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，且，所以，又，所以是等邊三角形，設(shè)的邊長(zhǎng)為，由雙曲線的定義知，，，所以，又，所以，即，所以，在中，由余弦定理知，，所以即，所以離心率.故選：C7．（2024·寧夏銀川·三模）已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線E的右支交于A，B兩點(diǎn)，若，且雙曲線E的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的定義結(jié)合已知條件求得，從而再得，由余弦定理求得，由誘導(dǎo)公式得，設(shè)，則，再由余弦定理求得，從而利用余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，因?yàn)?，所以，由雙曲線的定義可得，所以，在中，由余弦定理得，在中，，設(shè)，則，由得，解得，所以，所以.故選：D..8．（2024·湖南永州·三模）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，平分，其中一條漸近線與線段交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，結(jié)合角平分線的性質(zhì)和雙曲線的定義可得，從而可得，在中，由余弦定理可得，進(jìn)而可得，而，從而可求解.【詳解】如圖,,,，設(shè),則，平分,,,由雙曲線定義可知，，即,在中，由余弦定理知化簡(jiǎn)得,由得,不妨令一條漸近線與線段的交點(diǎn)在第一象限，則,.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵是由可得，結(jié)合角平分線的性質(zhì)和雙曲線的定義可得，從而可得.9．（2024·天津河西·三模）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：，，易得，設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：，，由題意得，設(shè)，則，解得，在中，由余弦定理得：，即，化簡(jiǎn)得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；故選：C10．（2024·浙江杭州·三模）已知雙曲線上存在關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的兩點(diǎn)A，B，以及雙曲線上的另一點(diǎn)C，使得為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，則可取，代入雙曲線方程整理可得，結(jié)合漸近線列式求解即可.【詳解】由題意可知：雙曲線的漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)，則可取，則，整理得，解得，即，可得，則，所以該雙曲線離心率的取值范圍是．故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.巧妙設(shè)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)，根據(jù)垂直和長(zhǎng)度關(guān)系可??；2.根據(jù)漸近線的幾何意義可得：.二、多選題11．（2024·河北邯鄲·三模）已知雙曲線，則（

）A．的取值范圍是 B．的焦點(diǎn)可在軸上也可在軸上C．的焦距為6 D．的離心率的取值范圍為【答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線方程的特征，易于求得，判斷方程中分母的符號(hào)即可判斷A,B項(xiàng)，計(jì)算易得C項(xiàng)，先算出離心率的表達(dá)式，再根據(jù)的范圍，即可確定的范圍.【詳解】對(duì)于A，表示雙曲線，，解得，故A正確；對(duì)于B，由A項(xiàng)可得，故，的焦點(diǎn)只能在軸上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)的半焦距為，則，，即焦距為，故C正確；對(duì)于D，離心率，，，的取值范圍是，故D錯(cuò)誤．故選：AC.12．（2024·河北保定·三模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與的左支相交于，兩點(diǎn)，若，且，則（

）A． B．C．的離心率為 D．直線的斜率為【答案】ACD【分析】設(shè)，，結(jié)合雙曲線的定義與勾股定理可以求得的值，即可判斷出A，B選項(xiàng)；再結(jié)合勾股定理可以求得的關(guān)系，再求出離心率；求直線的斜率，在直角三角形中，用斜率的定義求正切值可以求得直線的斜率.【詳解】如圖，由，可設(shè)，.因?yàn)?，所?設(shè)，，則，，，解得，則，，所以，故A選項(xiàng)正確；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；在中，由，得，則，從而的離心率為，故C選項(xiàng)正確.又，所以直線的斜率為，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.13．（2024·貴州貴陽(yáng)·三模）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，斜率為正的漸近線為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，交雙曲線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是雙曲線上任意一點(diǎn)，若，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的共軛雙曲線方程為C．當(dāng)點(diǎn)位于雙曲線右支時(shí)，D．點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為【答案】ACD【分析】利用三角形面積公式得，再利用余弦定理得，則解出雙曲線方程，再利用離心率定義和共軛雙曲線方程的含義即可判斷AB；對(duì)C，計(jì)算得，再根據(jù)的范圍即可判斷；對(duì)D，，利用點(diǎn)到直線的距離公式并結(jié)合點(diǎn)雙曲線上化簡(jiǎn)即可.【詳解】如圖，因?yàn)?，所以，，則，所以，又，在中，，化簡(jiǎn)得，所以，雙曲線方程為，對(duì)于A，雙曲線的離心率為，A正確；對(duì)于B，雙曲線的共軛雙曲線方程為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因?yàn)?，則，即，C正確；對(duì)于D，漸近線方程為，設(shè)，點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為，D正確，故選：ACD.14．（2024·山西呂梁·三模）已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，兩曲線有公共焦點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，，以下結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)焦距相等可判斷A；根據(jù)橢圓和雙曲線定義，結(jié)合余弦定理整理可判斷B；根據(jù)B中變形可判斷C；由B中結(jié)論，結(jié)合的范圍可判斷D.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，對(duì)于A中，因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，可得，所以，即，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義，可得，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以B正確；對(duì)于C中，由，可得，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)?，所以，由可得，所以，所以D正確.故選：BCD.15．（2024·重慶·三模）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上點(diǎn)，且的內(nèi)切圓圓心為，則下列說法正確的是（

）A． B．直線PF1的斜率為C．的周長(zhǎng)為 D．的外接圓半徑為【答案】ACD【分析】對(duì)于A，根據(jù)三角形與其內(nèi)切圓性質(zhì)結(jié)合雙曲線定義即可求解；根據(jù)已知條件、、以及與各個(gè)所需量的關(guān)系即可求出、和，進(jìn)而可依次求出直線PF1的斜率、結(jié)合焦三角形面積公式得的周長(zhǎng)、結(jié)合正弦定理得的外接圓半徑.【詳解】如圖1，由條件，點(diǎn)應(yīng)在雙曲線的右支上，設(shè)圓分別與的三邊切于點(diǎn)，則由題，且，，又，A選項(xiàng)正確；由選項(xiàng)A得，連接、、，則，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；同理，，，，所以由焦三角面積公式得，又，故得，的周長(zhǎng)為，選項(xiàng)正確；由，由正弦定理得，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求直線PF1的斜率、的周長(zhǎng)、的外接圓半徑的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件、、以及與各個(gè)所需量的關(guān)系即可求出、和.三、填空題16．（2024·湖北荊州·三模）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則C的漸近線方程為．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線過點(diǎn)求出a，然后可得.【詳解】因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，又，所以漸近線方程為.故答案為：.17．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，曲線上的點(diǎn)滿足，，，則雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】利用，可得，，結(jié)合雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，，所以，則，即雙曲線的離心率為.故答案為：.18．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與的右支交于，兩點(diǎn)，若，則．【答案】/【分析】根據(jù)雙曲線的定義表示出，，即可得到，再由余弦定理計(jì)算可得.【詳解】依題意過點(diǎn)的直線與的右支交于，兩點(diǎn)，且，，，則，，，所以，可得，解得或（舍去）．故答案為：．19．（2024·浙江金華·三模）若圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為2，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)條件，將弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為圓心到漸近線的距離，進(jìn)而可得出與的關(guān)系，求解即可.【詳解】對(duì)于雙曲線，其漸近線方程為，對(duì)于圓，有，圓心為，半徑，漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心到漸近線的距離為，由點(diǎn)到直線距離公式得：，所以，所以，解得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.20．（2024·山東煙臺(tái)·三模）已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，其右焦點(diǎn)為F，若直線與在第一象限的交點(diǎn)為P且軸，則實(shí)數(shù)k的值為.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程可得，由軸得，利用斜率公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線：（，）的漸近線方程為，依題意有，即，又右焦點(diǎn)為，且軸，所以，所以，故答案為：.