東莞市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析2

東莞市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線與直線交于點(diǎn)Q，m是實(shí)數(shù)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值是（）A.2 B.C. D.42．已知橢圓與圓在第二象限的交點(diǎn)是點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到直線的距離是，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.3．沙糖桔網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2019年這一年的收支情況，下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.月收入的最大值為90萬元，最小值為30萬元 B.這一年的總利潤超過400萬元C.這12個(gè)月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.7月份的利潤最大4．人教A版選擇性必修二教材的封面圖案是斐波那契螺旋線，它被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．斐波那契螺旋線的畫法是:以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…為邊長(zhǎng)的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．下圖為該螺旋線在正方形邊長(zhǎng)為1，1，2，3，5，8的部分，如圖建立平面直角坐標(biāo)系（規(guī)定小方格的邊長(zhǎng)為1），則接下來的一段圓弧所在圓的方程為（）A. B.C. D.5．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）A. B.0C. D.16．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.7．在平面上給定相異兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則數(shù)列是（）A.公比為3的等比數(shù)列 B.公差為3的等差數(shù)列C.公比為的等比數(shù)列 D.既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列9．在試驗(yàn)“甲射擊三次，觀察中靶的情況”中，事件A表示隨機(jī)事件“至少中靶1次”，事件B表示隨機(jī)事件“正好中靶2次”，事件C表示隨機(jī)事件“至多中靶2次”，事件D表示隨機(jī)事件“全部脫靶”，則（）A.A與C是互斥事件 B.B與C是互斥事件C.A與D是對(duì)立事件 D.B與D是對(duì)立事件10．在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B.C. D.11．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A. B.C. D.12．點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在直線上，則|MN|的最小值是（）A. B.C. D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則，兩點(diǎn)的最短距離為________14．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為___________.15．若函數(shù)在x=1處的切線與直線y=kx平行，則實(shí)數(shù)k=___________.16．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)命題方程表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線；命題，，若“”為假命題，“”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，在三棱錐中，平面，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.19．（12分）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且，，其中為常數(shù).（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）是否存在，使得是等差數(shù)列？并說明理由.20．（12分）如圖①，直角梯形中，，，點(diǎn)，分別在，上，，，將四邊形沿折起，使得點(diǎn)，分別到達(dá)點(diǎn)，的位置，如圖②，平面平面，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若，求證：.22．（10分）記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式得到，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榕c的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值是，故選：B.2、B【解析】連接，得到，作，求得，利用橢圓的定義，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，連接，因?yàn)閳A，可得，過點(diǎn)作，可得，且，由橢圓的定義，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，兩側(cè)同除，可得，解得或，又因?yàn)?，所以橢圓的離心率為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，直角三角形的勾股定理，以及橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理，列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】根據(jù)圖形和中位數(shù)、眾數(shù)的概念依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：由圖可知，月收入的最大值為90，最小值為30，故A正確；B：各個(gè)月的利潤分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以總利潤為20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(萬元)，故B錯(cuò)誤；C：這12個(gè)月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30，故C正確；D：7月份的利潤最大，為60萬元，故D正確.故選：B4、C【解析】由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由于每一個(gè)圓弧為四分之一圓，從而可求出下一段圓弧所以圓的圓心，進(jìn)而可得其方程【詳解】解：由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由題意可知下一段圓弧過點(diǎn)，因?yàn)槊恳欢螆A弧的圓心角都為90°，所以下一段圓弧所在圓的圓心與點(diǎn)的連線平行于軸，因?yàn)橄乱欢螆A弧半徑為13，所以所求圓的圓心為，所以所求圓的方程為，故選：C5、A【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算得切線斜率，由斜率求得傾斜角【詳解】，設(shè)傾斜角為，則，，故選：A6、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B7、C【解析】先求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，，,依題意得,即,兩邊平方化簡(jiǎn)得,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓心為,半徑的圓，當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)的面積最大，所以,解得；當(dāng)位于圓的最左端時(shí)的面積最小，所以,解得,故雙曲線的離心率為.故選:C.8、D【解析】由得，然后利用與的關(guān)系即可求出【詳解】因?yàn)椋运援?dāng)時(shí)，時(shí)，所以故數(shù)列既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列故選：D【點(diǎn)睛】要注意由求要分兩步：1.時(shí)，2.時(shí).9、C【解析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)锳與C，B與C可能同時(shí)發(fā)生，故選項(xiàng)A、B不正確；B與D不可能同時(shí)發(fā)生，但B與D不是事件的所有結(jié)果，故選項(xiàng)D不正確；A與D不可能同時(shí)發(fā)生，且A與D為事件的所有結(jié)果，故選項(xiàng)C正確故選：C.10、B【解析】作出線面角構(gòu)造三角形直接求解，建立空間直角坐標(biāo)系用向量法求解.【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，由正方體性質(zhì)知平面，所以平面平面，在平面作，則平面，因?yàn)?，所以即為所求角，所?故選：B11、C【解析】首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】根據(jù)題意可知圓心，又由于線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段最短，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，圓心，半徑為，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】線段最短，就是說的距離最小，此時(shí)直線和直線垂直，可先求的斜率，再求直線的方程，然后與直線聯(lián)立求交點(diǎn)即可【詳解】定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段最短時(shí)，就是直線和直線垂直，的方程為：，它與聯(lián)立解得，所以的坐標(biāo)是，所以，故答案為：14、【解析】化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】由題意知，，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：15、2【解析】由題可求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即求.【詳解】∵，∴，，又函數(shù)在x=1處的切線與直線y=kx平行，∴.故答案為：2.16、【解析】根據(jù)充分性和必要性，求得參數(shù)取值范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閜：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，故集合為集合的真子集，故只需.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】求出當(dāng)命題、分別為真命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，分析可知、中一真一假，分真假、假真兩種情況討論，求出對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的取值范圍，綜合可得結(jié)果.【詳解】解：若為真命題，則，即，解得，若為真命題，則，解得，因?yàn)椤啊睘榧倜}，“”為真命題，則、中一真一假，若真假，則，可得，若假真，則，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的范圍為.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)勾股定理先證明，然后證明，進(jìn)而通過線面垂直的判定定理證明問題；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過空間向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】∵，，∴，∴，∵平面，平面，∴，∵，，，∴平面.【小問2詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，，有取，可得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，，有取，可得平面的一個(gè)法向量為，所以，故平面與平面的夾角的正弦值為.19、（1）詳見解析；（2）存在時(shí)是等差數(shù)列，詳見解析.【解析】（1）利用與的關(guān)系可得，再結(jié)合條件即證；（2）由題可得，，若是等差數(shù)列，可得，進(jìn)而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，即證.【小問1詳解】∵，∴，∴，又，∴，∴，∴數(shù)列為等差數(shù)列；【小問2詳解】∵，，∴，又，∴，若是等差數(shù)列，則，即，解得，當(dāng)時(shí)，由，∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，即，為奇數(shù)，∴數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，∴，即，為偶數(shù)，綜上可得，當(dāng)時(shí)，，，故存在時(shí)，使數(shù)列是等差數(shù)列.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)，，，，易證，再根據(jù)平面平面，，得到平面，進(jìn)而得到，再利用線面垂直的判定定理證明平面即可；（2）根據(jù)（1）知，，兩兩垂直，以，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，由求解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，，，所以，，又，所以是等腰直角三角形，即，所?由平面幾何知識(shí)易知，所以，即.又平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以.又，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知，，兩兩垂直，以，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，F(xiàn)（1，0，0），則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，取，則.由，，，得平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，則，由圖可知二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.21、（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析【解析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令、，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先求出，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，從而證明結(jié)論