2025版新教材高考數(shù)學一輪復習第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第3節(jié)隨機事件的概率學案含解析新人教B版

第3節(jié)隨機事務的概率一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．樣本點與樣本空間把隨機試驗中每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果，都稱為樣本點，把由全部樣本點組成的集合稱為樣本空間(通常用大寫希臘字母Ω表示)．2．事務的相關(guān)概念3．事務的關(guān)系與運算(1)事務的關(guān)系定義表示法圖示包含關(guān)系一般地，對于事務A與事務B，假如事務A發(fā)生時，事務B肯定發(fā)生，則稱“A包含于B”(或“B包含A”)A?B(或B?A)相等關(guān)系假如事務A發(fā)生時，事務B肯定發(fā)生；而且事務B發(fā)生時，事務A也肯定發(fā)生，則稱“A與B相等”A＝B?A?B且B?A事務互斥給定事務A，B，若事務A與B不能同時發(fā)生，則稱A與B互斥AB＝?(或A∩B＝?)事務對立給定樣本空間Ω與事務A，則由Ω中全部不屬于A的樣本點組成的事務稱為A的對立事務eq\x\to(A)(2)事務的和與積定義表示法圖示事務的和(并)給定事務A，B，由全部A中的樣本點與B中的樣本點組成的事務稱為A與B的和(或并)A＋B或(A∪B)事務的積(交)給定事務A，B，由A與B中的公共樣本點組成的事務稱為A與B的積(或交)AB(或A∩B)(3)事務的混合運算因為事務運算的結(jié)果仍是事務，因此可以進行事務的混合運算，例如(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)表示的是Aeq\x\to(B)與eq\x\to(A)B的和，實際意義是：A發(fā)生且B不發(fā)生，或者A不發(fā)生且B發(fā)生，換句話說就是A與B中恰有一個發(fā)生．同數(shù)的加、減、乘、除混合運算一樣，事務的混合運算也有優(yōu)先級，我們規(guī)定：求積運算的優(yōu)先級高于求和運算，因此(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)可簡寫為Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B.4．概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必定事務的概率P(Ω)＝1.(3)不行能事務的概率P(?)＝0.(4)①假如事務A與事務B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②假如事務A與事務B互為對立事務，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．③假如A?B，那么P(A)≤P(B)．④設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事務，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．1．隨機事務A，B互斥與對立的區(qū)分與聯(lián)系當隨機事務A，B互斥時，不肯定對立；當隨機事務A，B對立時，肯定互斥．2．從集合的角度理解互斥事務和對立事務(1)幾個事務彼此互斥，是指由各個事務所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．(2)事務A的對立事務eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事務A所含的結(jié)果組成的集合的補集．二、基本技能·思想·活動體驗1．推斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)事務發(fā)生的頻率與概率是相同的．(×)(2)隨機事務和隨機試驗是一回事．(×)(3)在大量重復試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(√)(4)兩個事務的和事務發(fā)生是指這兩個事務至少有一個發(fā)生．(√)(5)若A，B為互斥事務，則P(A)＋P(B)＝1.(×)(6)對立事務肯定是互斥事務，互斥事務不肯定是對立事務．(√)2．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事務“至少有一次中靶”的對立事務是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶D解析：“至少有一次中靶”的對立事務是“兩次都不中靶”．3．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面對上恰有5次”是()A．必定事務 B．隨機事務C．不行能事務 D．無法確定B解析：拋擲10次硬幣正面對上的次數(shù)可能為0～10，都有可能發(fā)生，所以正面對上5次是隨機事務．4．(多選題)若干個人站成一排，其中不是互斥事務的是()A．“甲站排頭”與“乙站排頭”B．“甲站排頭”與“乙不站排尾”C．“甲站排頭”與“乙站排尾”D．“甲不站排頭”與“乙不站排尾”BCD解析：對于A，“甲站排頭”與“乙站排頭”不行能同時發(fā)生，是互斥事務．對于B，“甲站排頭”時，乙可以“不站排尾”，兩者可以同時發(fā)生，不是互斥事務．對于C，“甲站排頭”時，乙可以“站排尾”，兩者可以同時發(fā)生，不是互斥事務．對于D，“甲不站排頭”時，乙可以“不站排尾”，兩者可以同時發(fā)生，不是互斥事務．故選BCD.5．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為________．0.45解析：由表知[10,40)的頻數(shù)為2＋3＋4＝9，所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為eq\f(9,20)＝0.45.6．(2024·濟南模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事務A＝{抽到一等品}，事務B＝{抽到二等品}，事務C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事務“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________．0.35解析：因為事務A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，所以事務“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為p＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.考點1隨機事務的關(guān)系——基礎(chǔ)性(1)把紅、黃、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四人，每個人分得一張，事務“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”()A．是對立事務B．是不行能事務C．是互斥但不對立事務D．不是互斥事務C解析：明顯兩個事務不行能同時發(fā)生，但兩者可能同時不發(fā)生，因為紅牌可以分給丙、丁兩人，綜上，這兩個事務為互斥但不對立事務．(2)設(shè)條件甲：事務A與事務B是對立事務，結(jié)論乙：概率滿意P(A)＋P(B)＝1，則甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：若事務A與事務B是對立事務，則A∪B為必定事務．再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投擲一枚硬幣3次，滿意P(A)＋P(B)＝1，但A，B不肯定是對立事務．如事務A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事務B：“出現(xiàn)3次正面”，則P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，滿意P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對立事務．推斷互斥事務、對立事務的兩種方法(1)定義法：推斷互斥事務、對立事務一般用定義推斷，不行能同時發(fā)生的兩個事務為互斥事務；兩個事務，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事務為對立事務，對立事務肯定是互斥事務．(2)集合法：①由各個事務所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事務互斥；②事務A的對立事務所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事務A所含的結(jié)果組成的集合的補集．1．(2024·菏澤一中高三月考)同時投擲兩枚硬幣一次，互斥而不對立的兩個事務是()A．“至少有1枚正面朝上”與“2枚都是反面朝上”B．“至少有1枚正面朝上”與“至少有1枚反面朝上”C．“恰有1枚正面朝上”與“2枚都是正面朝上”D．“至少有1枚反面朝上”與“2枚都是反面朝上”C解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”與“2枚都是反面朝上”不能同時發(fā)生，且“至少有1枚正面朝上”不發(fā)生時，“2枚都是反面朝上”肯定發(fā)生，故A中的兩個事務是對立事務；在B中，當兩枚硬幣恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上時，“至少有1枚正面朝上”與“至少有1枚反面朝上”能同時發(fā)生，故B中的兩個事務不是互斥事務；在C中，“恰有1枚正面朝上”與“2枚都是正面朝上”不能同時發(fā)生，且其中一個不發(fā)生時，另一個有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生，故C中的兩個事務是互斥而不對立事務；在D中，當2枚硬幣同時反面朝上時，“至少有1枚反面朝上”與“2枚都是反面朝上”能同時發(fā)生，故D中的兩個事務不是互斥事務．故選C.2．口袋里裝有6個形態(tài)相同的小球，其中紅球1個，白球2個，黃球3個．從中取出兩個球，事務A＝“取出的兩個球同色”，B＝“取出的兩個球中至少有一個黃球”，C＝“取出的兩個球中至少有一個白球”，D＝“取出的兩個球不同色”，E＝“取出的兩個球中至多有一個白球”．下列推斷中正確的序號為________．①A與D為對立事務；②B與C是互斥事務；③C與E是對立事務；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．①④解析：明顯A與D是對立事務，①正確；當取出的兩個球為一黃一白時，B與C都發(fā)生，②不正確；當取出的兩個球中恰有一個白球時，事務C與E都發(fā)生，③不正確；C∪E為必定事務，P(C∪E)＝1，④正確；P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，⑤不正確．考點2隨機事務的頻率與概率——基礎(chǔ)性如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時間(分)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑．解：(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用頻率估計相應的概率p＝eq\f(44,100)＝0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為所用時間(分)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的頻率0.10.20.30.20.2選擇L2的頻率00.10.40.40.1(3)設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.因為P(A1)＞P(A2)，所以甲應選擇L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.因為P(B1)＜P(B2)，所以乙應選擇L2.1．概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個隨機事務出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事務發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事務概率的估計值．2．隨機事務概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義求事務的概率，即通過大量的重復試驗，事務發(fā)生的頻率會漸漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率．留意：概率的定義是求一個事務概率的基本方法．1．在投擲一枚硬幣的試驗中，共投擲了100次，正面朝上的頻數(shù)為51次，則正面朝上的頻率為()A．49 B．0.5C．0.51 D．0.49C解析：由題意，依據(jù)事務發(fā)生的頻率的定義可知，“正面朝上”的頻率為eq\f(51,100)＝0.51.2．(2024·濰坊高三模擬)某學校共有教職工120人，對他們進行年齡結(jié)構(gòu)和受教化程度的調(diào)查，其結(jié)果如下表：本科探討生合計35歲以下40307035～50歲27134050歲以上8210現(xiàn)從該校教職工中任取1人，則下列結(jié)論正確的是()A．該校教職工具有本科學歷的概率低于60%B．該校教職工具有探討生學歷的概率超過50%C．該校教職工的年齡在50歲以上的概率超過10%D．該校教職工的年齡在35歲及以上且具有探討生學歷的概率超過10%D解析：對于選項A，該校教職工具有本科學歷的概率p＝eq\f(75,120)＝eq\f(5,8)＝62.5%>60%，故A錯誤；對于選項B，該校教職工具有探討生學歷的概率p＝eq\f(45,120)＝eq\f(3,8)＝37.5%<50%，故B錯誤；對于選項C，該校教職工的年齡在50歲以上的概率p＝eq\f(10,120)＝eq\f(1,12)≈8.3%<10%，故C錯誤；對于選項D，該校教職工的年齡在35歲及以上且具有探討生學歷的概率p＝eq\f(15,120)＝eq\f(1,8)＝12.5%>10%，故D正確．故選D.考點3互斥事務與對立事務的概率——綜合性經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口排隊的人數(shù)相應的概率如下：排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率；(2)至少3人排隊等候的概率．解：記“無人排隊等候”為事務A，“1人排隊等候”為事務B，“2人排隊等候”為事務C，“3人排隊等候”為事務D，“4人排隊等候”為事務E，“5人及5人以上排隊等候”為事務F，則事務A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥．(1)記“至多2人排隊等候”為事務G，則G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)(方法一)記“至少3人排隊等候”為事務H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.(方法二)記“至少3人排隊等候”為事務H，則其對立事務為事務G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.求困難互斥事務概率的兩種方法(1)干脆法：將所求事務分解為一些彼此互斥事務的和，運用互斥事務概率的加法公式計算．(2)間接法：先求此事務的對立事務，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求得，即運用逆向思維(正難則反)，特殊是“至多”“至少”型題目，用間接法就會較簡便．提示：應用互斥事務概率的加法公式，肯定要留意首先確定各個事務是否彼此互斥，然后求出各事務發(fā)生的概率，再求和(或差)．間接法體現(xiàn)了“正難則反”的思想方法．1．拋擲一個質(zhì)地勻稱的骰子的試驗，事務A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事務B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事務A＋eq