專題24 正方形的性質(zhì)與判定（分層精練）解析版

專題24正方形的性質(zhì)與判定（分層精練）1．（2021?黑龍江）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件，使矩形ABCD是正方形．【答案】AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）【解答】解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四邊形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形．或∵四邊形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是正方形，故答案為：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．2．（黑龍江）如圖在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且BE＝BF，請你添加一個條件，使四邊形BECF是正方形．【答案】AC＝BC【解答】解：添加條件：AC＝BC．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四邊形BECF是菱形；當(dāng)BC＝AC時，∵∠ACB＝90°，則∠A＝45°時，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°∴菱形BECF是正方形．故答案為AC＝BC．3．（2022秋?錦江區(qū)期末）小穎將能夠活動的菱形學(xué)具活動成為圖1所示形狀，并測得AC＝5，∠B＝60°，接著，她又將這個學(xué)具活動成為圖2所示正方形，此時A'C'的長為．【答案】5【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AC＝5，∴AB＝BC＝5，∵四邊形A′B′C′D′為正方形，∴∠A′B′C′＝90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A′B′＝B′C′＝AB＝5，∴A′C′＝＝5，故答案為：5．4．（2020?呼倫貝爾）已知：如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EOF＝90°．求證：CE＝DF．【解答】證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE＝DF．5．（2020?西寧）如圖，E是正方形ABCD對角線BD上一點，連接AE，CE，并延長CE交AD于點F．（1）求證：△ABE≌△CBE；（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）；（2）∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠AEC＝140°，∴∠CEB＝70°，∵∠DEC+∠CEB＝180°，∴∠DEC＝180°﹣∠CEB＝110°，∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，∴∠DFE＝∠DEC﹣∠ADB＝110°﹣45°＝65°．6．（2021?邵陽）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且AE＝CF．連接DE，DF，BE，BF．（1）證明：△ADE≌△CBF．（2）若AB＝4，AE＝2，求四邊形BEDF的周長．【解答】（1）證明：由正方形對角線平分每一組對角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）解：∵AB＝AD＝，∴BD＝＝＝8，由正方形對角線相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，又AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF＝4﹣2＝2，故四邊形BEDF為平行四邊形．∵∠DOE＝90°，∴四邊形BEDF是菱形，∴DE＝＝＝2．∴4DE＝，故四邊形BEDF的周長為8．7．（上海）已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是對角線BD上一點，且EA＝EC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．【解答】證明：（1）在△ADE與△CDE中，，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AD＝CD，∴四邊形ABCD是菱形；（2）∵BE＝BC∴∠BCE＝∠BEC，∵∠CBE：∠BCE＝2：3，∴∠CBE＝180×＝45°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是正方形8．（2022?遵義）將正方形ABCD和菱形EFGH按照如圖所示擺放，頂點D與頂點H重合，菱形EFGH的對角線HF經(jīng)過點B，點E，G分別在AB，BC上．（1）求證：△ADE≌△CDG；（2）若AE＝BE＝2，求BF的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，四邊形HEFG是菱形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠A＝∠C＝90°，在Rt△ADE和Rt△CDG中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDG（HL）；（2）解：過E作EQ⊥DF于Q，則∠EQB＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD＝AB＝AE+BE＝2+2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°，∴∠QEB＝45°＝∠EBQ，∴EQ＝BQ，∵BE＝2，∴2EQ2＝22，∴EQ＝BQ＝（負(fù)數(shù)舍去），在Rt△DAE中，由勾股定理得：DE＝＝＝2，∵四邊形EFGH是菱形，∴EF＝DE＝2，∴QF＝＝＝3，∴BF＝QF﹣QB＝3﹣＝2．9．（2019?玉林）如圖，在正方形ABCD中，分別過頂點B，D作BE∥DF交對角線AC所在直線于E，F(xiàn)點，并分別延長EB，F(xiàn)D到點H，G，使BH＝DG，連接EG，F(xiàn)H．（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形；（2）已知：AB＝2，EB＝4，tan∠GEH＝2，求四邊形EHFG的周長．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∵DF∥BE，∴∠CFD＝∠BEA，∵∠BAC＝∠BEA+∠ABE，∠DCA＝∠CFD+∠CDF，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∵BH＝DG，∴BE+BH＝DF+DG，即EH＝GF，∵EH∥GF，∴四邊形EHFG是平行四邊形；（2）如圖，連接BD，交EF于O，∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴∠AOB＝90°，∵AB＝2，∴OA＝OB＝2，Rt△BOE中，EB＝4，∴∠OEB＝30°，∴EO＝2，∵OD＝OB，∠EOB＝∠DOF，∵DF∥EB，∴∠DFC＝∠BEA，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴OF＝OE＝2，∴EF＝4，∴FM＝2，EM＝6，過F作FM⊥EH于M，交EH的延長線于M，∵EG∥FH，∴∠FHM＝∠GEH，∵tan∠GEH＝tan∠FHM＝＝2，∴，∴HM＝1，∴EH＝EM﹣HM＝6﹣1＝5，F(xiàn)H＝＝＝，∴四邊形EHFG的周長＝2EH+2FH＝2×5+2＝10+2．10．（2021?牡丹江）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，過點F作FG⊥BC于點G，連接AC．易證：AC＝（EC+FG）．（提示：取AB的中點M，連接EM）（1）當(dāng)點E是BC邊上任意一點時，如圖2；當(dāng)點E在BC延長線上時，如圖3．請直接寫出AC，EC，F(xiàn)G的數(shù)量關(guān)系，并對圖2進行證明；（2）已知正方形ABCD的面積是27，連接AF，當(dāng)△ABE中有一個內(nèi)角為30°時，則AF的長為．【解答】解：（1）如圖2中，結(jié)論：AC＝（FG+EC）．理由：在AB上截取BM＝BE，連接EM，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∴∠DCG＝90°，∠EAM+∠AEB＝90°，∵BM＝BE，∴AB﹣BM＝BC﹣BE，∠BME＝∠BEM＝45°，∴AM＝EC，∠AME＝135°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCG＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEF＝90°，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∴∠EAM＝∠FEC，∴在△AEM和△EFC中，，∴△AEM≌△EFC（ASA），∴EM＝CF，∵EM＝BE，CF＝FG，∴BE＝FG，∵AC＝BC＝（BE+EC），∴AC＝（FG+EC）．如圖3中，結(jié)論：AC＝（FG﹣EC）．（2）如圖1中，當(dāng)∠BAE＝30°時，∵正方形的面積為27，∴AB＝3，∠B＝90°，∴BE＝AB?tan30°＝3×＝3，∴AE＝2BE＝6，∵△AEM≌△EFC∴AE＝EF＝6，∴AF＝6，如圖3中，當(dāng)∠AEB＝30°時，同法可得AE＝EF＝2AB＝6，∴AF＝AE＝6，綜上所述，AF的長為6或6．11．（2022?大慶三模）如圖，已知四邊形ABCD為正方形AB＝2，點E為對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交BC延長線于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．在下列結(jié)論中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正確的結(jié)論有（）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【解答】解：過E作EM⊥BC于M點，過E作EN⊥CD于N點，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四邊形EMCN為正方形，∵四邊形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG為正方形；故①正確；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∵∠DCF＝90°，∴CG平分∠DCF，故③正確；∴AC＝AE+CE＝CE+CG＝AD，故②錯誤；當(dāng)DE⊥AC時，點C與點F重合，∴CE不一定等于CF，故④錯誤，故選：A．12．（2022?城關(guān)區(qū)校級模擬）如圖，在正方形ABCD中，點P在對角線BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F(xiàn)分別為垂足，連結(jié)AP，EF，則下列命題：①若AP＝5，則EF＝5；②若AP⊥BD，則EF∥BD；③若正方形邊長為4，則EF的最小值為2，其中正確的命題是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【解答】解：延長EP交AD于Q，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，∠BDC＝45°，∵PF⊥CD，∴∠DPF＝45°，∴DF＝PF，∵PE⊥BC，∴PQ⊥AD，四邊形CEPF為矩形，∴∠AQP＝90°，EC＝PF＝DF，∴∠AQP＝∠C，AQ＝FC，四邊形PQDF為正方形，∴DF＝QP，∴CE＝QP，在△AQP和△FCE中，，∴△AQP≌△FCE（SAS），∴AP＝EF，若AP＝5，則EF＝5，故①正確；若AP⊥BD，則∠PAQ＝45°，∵△AQP≌△FCE，∴∠EFC＝∠PAQ＝45°，∵∠BDC＝45°，∴∠EFC＝∠BDC，∴EF∥BD，故②正確；當(dāng)AP⊥BD時，AP有最小值，此時P為BD的中點，∵AB＝AD＝4，∴BD＝，∴AP＝BD＝，∵EF＝AP，∴EF的最小值為，故③錯誤，故選：A．13．（2022?泰安一模）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下列四個結(jié)論：①OA＝OD；②AD⊥EF；③當(dāng)∠A＝90°時，四邊形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正確的是（）A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④【答案】D【解答】解：如果OA＝OD，則四邊形AE