什么是數(shù)學(xué)建模

PAGEPAGE2數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模1、數(shù)學(xué)模型的概念數(shù)學(xué)模型其實(shí)是每個(gè)人都十分熟悉的．早在學(xué)習(xí)初等代數(shù)的時(shí)候我們就已經(jīng)用建立數(shù)學(xué)模型的方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題了．當(dāng)然其中許多問(wèn)題是老師為了教會(huì)學(xué)生知識(shí)而人為設(shè)置的．例如所謂“航行問(wèn)題”：甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船速、水速各若干?用x、y分別代表船速和水速，可以列出方程(x+y)*30=750，(x-y)*50=750實(shí)際上，這組方程就是上述航行問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型．列出方程，原問(wèn)題已轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題．方程的解x=20(公里／小時(shí))，v=5(公里／小時(shí))，最終給出了航行問(wèn)題的答案．當(dāng)然，真正實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型通常要復(fù)雜得多，但是數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)容已經(jīng)包含在解這個(gè)代數(shù)應(yīng)用題的過(guò)程中了，那就是：根據(jù)建立數(shù)學(xué)模型的目的和問(wèn)題的背景作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)(航行中設(shè)船速和水速為常數(shù))；用字母表示待求的未知量(x、y代表船速和水速)；利用相應(yīng)的物理或其它規(guī)律(勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間)，列出數(shù)學(xué)式子(二元一次方程)；求出數(shù)學(xué)上的解答(x=20，y=5)；用這個(gè)答案解釋原問(wèn)題(船速和水速分別為20公里／小時(shí)和5公里／小時(shí)；最后還要用實(shí)際現(xiàn)象來(lái)驗(yàn)證上述結(jié)果．一般地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型可以描述為，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)．2、數(shù)學(xué)建模的概念需要指出，問(wèn)題的重點(diǎn)往往不在于一個(gè)數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)是什么樣子，而在于建立這個(gè)數(shù)學(xué)模型(MathematicalModelling)的全過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)模型和建立數(shù)學(xué)模型常簡(jiǎn)稱為模型和建模．建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程前面的航行問(wèn)題大致描述了用建模方法解決實(shí)際問(wèn)題的途徑．一般說(shuō)來(lái)這一過(guò)程可以分為表述、求解、解釋、驗(yàn)證幾個(gè)階段，并且通過(guò)這些階段完成從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型，再?gòu)臄?shù)學(xué)模型回到現(xiàn)實(shí)對(duì)象的循環(huán)，如圖1—1所示．圖1—1表述(Fomulation)是指根據(jù)建模的目的和掌握的信息(如數(shù)據(jù)、現(xiàn)象)，將實(shí)際問(wèn)題翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言確切地表述出來(lái)。求解(Solution)即選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答．解釋(Interpretation)是指把數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答翻譯回現(xiàn)實(shí)對(duì)象，給出實(shí)際問(wèn)題的解答．驗(yàn)證(Verification)是指用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答，以確認(rèn)結(jié)果的正確性．圖1—1揭示了現(xiàn)實(shí)對(duì)象和數(shù)學(xué)模型的關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)模型是將現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息加以翻譯、歸納的產(chǎn)物，它源于現(xiàn)實(shí)，又高于現(xiàn)實(shí)，因?yàn)樗镁_的語(yǔ)言表述了對(duì)象的內(nèi)在特性．?dāng)?shù)學(xué)模型經(jīng)過(guò)求解、演繹，得到數(shù)學(xué)上的解答，再經(jīng)過(guò)翻譯回到現(xiàn)實(shí)對(duì)象，給出分析、預(yù)報(bào)、決策、控制的結(jié)果．最后，這些結(jié)果必須經(jīng)受實(shí)際的檢驗(yàn)，完成實(shí)踐一理論一實(shí)踐這一循環(huán)．如果檢驗(yàn)結(jié)果正確或基本正確，就可以用來(lái)指導(dǎo)實(shí)際，否則應(yīng)重復(fù)上述過(guò)程．3、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，它的產(chǎn)生和許多重大發(fā)展都是和現(xiàn)實(shí)世界的生產(chǎn)活動(dòng)和其它相應(yīng)學(xué)科的需要密切相關(guān)的．同時(shí)，數(shù)學(xué)作為認(rèn)識(shí)和改造世界的強(qiáng)有力的工具，又促進(jìn)了科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)建設(shè)的發(fā)展．17世紀(jì)偉大的科學(xué)家牛頓在研究力學(xué)的過(guò)程中發(fā)明了近代數(shù)學(xué)最重要的成果之一——微積分，并以微積分為工具推導(dǎo)了著名的力學(xué)定律——萬(wàn)有引力定律．這一成就是科學(xué)發(fā)展史上成功地建立數(shù)學(xué)模型的范例．?dāng)?shù)學(xué)的特點(diǎn)不僅在于它的概念的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的確定性，而且在于它的應(yīng)用的廣泛性．進(jìn)入20世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)的應(yīng)用不僅在它的傳統(tǒng)領(lǐng)域——所謂物理領(lǐng)域(諸如力學(xué)、電學(xué)等學(xué)科及機(jī)電、土木、冶金等工程技術(shù))繼續(xù)取得許多重要進(jìn)展，而且迅速進(jìn)入了一些新領(lǐng)域——所謂非物理領(lǐng)域(諸如經(jīng)濟(jì)、交通、人口、生態(tài)、醫(yī)學(xué)、社會(huì)等領(lǐng)域)，產(chǎn)生了如數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)等邊緣學(xué)科．隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)模型這個(gè)詞匯越來(lái)越多地出現(xiàn)在現(xiàn)代人的生產(chǎn)、工作和社會(huì)活動(dòng)中：●電氣工程師必須建立所要控制的生產(chǎn)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，用這個(gè)模型對(duì)控制裝置作出相應(yīng)的設(shè)計(jì)和計(jì)算，才能實(shí)現(xiàn)有效的過(guò)程控制．●氣象工作者為了得到準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)，一刻也離不開(kāi)根據(jù)氣象站、氣象衛(wèi)星匯集的氣壓、雨量、風(fēng)速等資料建立的數(shù)學(xué)模型．●生理醫(yī)學(xué)專家有了藥物濃度在人體內(nèi)隨時(shí)間和空間變化的數(shù)學(xué)模型，就可以分析藥物的療效，有效地指導(dǎo)臨床用藥．●城市規(guī)劃工作者需要建立一個(gè)包括人口、經(jīng)濟(jì)、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為領(lǐng)導(dǎo)層對(duì)城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學(xué)根據(jù)．●廠長(zhǎng)經(jīng)理們要是能夠根據(jù)產(chǎn)品的需求狀況、生產(chǎn)條件和成本、貯存費(fèi)用等信息，籌劃出一個(gè)合理安排生產(chǎn)和銷售的數(shù)學(xué)模型，可以獲得更大的經(jīng)濟(jì)效益．…………就是在日常活動(dòng)如訪友、采購(gòu)當(dāng)中，人們也會(huì)談?wù)撜乙粋€(gè)數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化一下出行的路線．對(duì)于廣大的科學(xué)技術(shù)人員和應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，建立數(shù)學(xué)模型是溝通擺在面前的實(shí)際問(wèn)題與他們掌握的數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁．馬克思曾說(shuō)過(guò)：“一門科學(xué)只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了完善的地步”?？梢哉J(rèn)為數(shù)學(xué)在各門科學(xué)中被應(yīng)用的水平，標(biāo)志著這門科學(xué)發(fā)展的水平．隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，特別是電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到從自然科學(xué)技術(shù)到工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)建設(shè)，從經(jīng)濟(jì)活動(dòng)到社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域．一般地說(shuō)，當(dāng)實(shí)際問(wèn)題需要我們對(duì)所研究的現(xiàn)實(shí)對(duì)象提供分析、預(yù)報(bào)、決策、控制等方面的定量結(jié)果時(shí)，往往都離不開(kāi)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，而建立數(shù)學(xué)模型則是這個(gè)過(guò)程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．?dāng)?shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)方法、數(shù)值方法和電子計(jì)算機(jī)相結(jié)合常常在許多高新技術(shù)中發(fā)揮核心的作用，這是高新技術(shù)的新的特征之一，這也將數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界的應(yīng)用推向一個(gè)新的階段．國(guó)際上已形成了“數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵性的，普遍的、能夠?qū)嵭械募夹g(shù)”的共識(shí)，還提出了“高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”的觀點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)模型在使數(shù)學(xué)成為重要技術(shù)的過(guò)程中起著關(guān)鍵作用．●數(shù)學(xué)引起了產(chǎn)品設(shè)計(jì)的革命性變化．通過(guò)建立合適的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行數(shù)學(xué)的分析和數(shù)值模擬，在新產(chǎn)品的設(shè)計(jì)階段無(wú)需經(jīng)過(guò)大量昂貴的試驗(yàn)就可準(zhǔn)確地預(yù)知產(chǎn)品的性能．波音767飛機(jī)成功的設(shè)計(jì)就是一個(gè)絕好的例子．應(yīng)用數(shù)學(xué)家成功地建立了跨音速流和激波的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)值模擬設(shè)計(jì)出防激波的飛機(jī)翼型；飛機(jī)的強(qiáng)度也是在建立了數(shù)學(xué)模型之后用有限元法計(jì)算的；先進(jìn)的飛機(jī)自動(dòng)導(dǎo)航和自動(dòng)降落系統(tǒng)完全是基于新的數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)成功的．在渦輪機(jī)、壓氣機(jī)、內(nèi)燃機(jī)，發(fā)電機(jī)、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)磁盤或光盤、大規(guī)模集成電路、汽車車身、船體等的設(shè)計(jì)中都用到了類似的方法．●數(shù)學(xué)模型和最優(yōu)控制軟件是生產(chǎn)過(guò)程最優(yōu)控制系統(tǒng)的核心．工商經(jīng)營(yíng)管理主要應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)模型。運(yùn)籌學(xué)模型在選擇合理的運(yùn)輸路線、生產(chǎn)設(shè)備和人力資源的最佳使用、判定合理的生產(chǎn)計(jì)劃等方面發(fā)揮了重要的作用，大大地提高了管理水平并促成了管理科學(xué)的誕生．●人們建立了分子結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，在人工合成一種有機(jī)化合物之前就可以預(yù)先給出其結(jié)構(gòu)并預(yù)測(cè)它的化學(xué)性質(zhì)；許多復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)過(guò)程已經(jīng)建立了數(shù)學(xué)模型，可以用電子計(jì)算機(jī)模擬反應(yīng)的全過(guò)程．●在和國(guó)民經(jīng)濟(jì)有密切關(guān)系的氣象預(yù)報(bào)方面，建立數(shù)學(xué)模型之后，利用大型電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值模擬已成為中長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)、臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)的主要手段．在高速電子通訊中，在信息的傳輸、壓縮、安全保密等方面，數(shù)學(xué)模型和方法也起著關(guān)鍵的作用．●由于統(tǒng)計(jì)模型的應(yīng)用和遺傳數(shù)學(xué)模型及肌肉、神經(jīng)、血管和多種人體器官數(shù)學(xué)模型的建立和完善，以前幾乎不用高等數(shù)學(xué)的生物醫(yī)學(xué)，已經(jīng)有了很大的改觀．X射線斷層掃描儀(CT)和核磁共振(NMR)等以數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法為基礎(chǔ)的先進(jìn)儀器的采用就是一個(gè)明顯的例子．