專題21等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-

專題2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【基本知識梳理】知識點1：常見的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于，超過小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超過符號語言><≥≤注意點：(1)仔細(xì)審題，注意同一個題目的單位是否一致．(2)用適當(dāng)?shù)牟坏忍栠B接．(3)多個不等關(guān)系用不等式組表示．知識點2：比較大小的基本方法關(guān)系方法作差法與0比較作商法與1比較或或知識點3：等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知識點4：不等式的性質(zhì)(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【題型1用不等式表示不等關(guān)系】【例1】（20232024?四川眉山?高一上?月考）將一根長為的繩子截成兩段，已知其中一段的長度為m，若兩段繩子長度之差不小于，則所滿足的不等關(guān)系為（）A. B.或C. D.【答案】D【解析】【分析】直接表示出另一段，列不等式組即可得到答案.【詳解】由題意,可知另一段繩子的長度為.因為兩段繩子長度之差不小于，所以，化簡得：.故選：D【變式11】（20232024?貴州遵義?高一上?月考）持續(xù)的高溫干燥天氣導(dǎo)致某地突發(fā)山火，現(xiàn)需將物資運往滅火前線．從物資集散地到滅火前線共，其中靠近滅火前線的山路崎嶇，需摩托車運送，其他路段可用汽車運送．已知在可用汽車運送的路段，運送的平均速度為，設(shè)需摩托車運送的路段平均速度為，為使物資能在1小時內(nèi)到達(dá)滅火前線，則x應(yīng)該滿足的不等式為（）．A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)總時長小于1列不等式，即汽車所用時間加上摩托車所用時間小于1小時即得．【詳解】由題意汽車所用時間加上摩托車所用時間小于1小時，即，故選：D．【變式12】（20232024?四川廣元?高一上?月考）（多選）某工藝廠用A、B兩種型號不銹鋼薄板制作矩形、菱形、圓3種圖形模板，每個圖形模板需要A、矩形菱形圓總數(shù)A531055B12613125該廠簽購制作矩形、菱形、圓3種模板分別為x，y，z（）塊.上述問題中不等關(guān)系表示正確為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意直接列不等式即可求解.【詳解】因為每個矩形模板需要5張A薄板，每個菱形模板需要3張A薄板，每個圓模板需要10張A薄板，且共有55張A薄板，所以，因為每個矩形模板需要12張B薄板，每個菱形模板需要6張B薄板，每個圓模板需要13張B薄板，且共有125張B薄板，所以.故選：BC.【變式13】（20232024?四川南充?高一上?月考）火車站有某公司待運的甲種貨物1530噸，乙種貨物1150噸．現(xiàn)計劃用A，B兩種型號的貨箱共50節(jié)運送這批貨物．已知35噸甲種貨物和15噸乙種貨物可裝滿一節(jié)A型貨箱，25噸甲種貨物和35噸乙種貨物可裝滿一節(jié)B型貨箱，據(jù)此安排A，A.A貨箱28節(jié)，B貨箱22節(jié) B.A貨箱29節(jié)，B貨箱21節(jié)C.A貨箱31節(jié)，B貨箱19節(jié) D.A貨箱30節(jié)，B貨箱20節(jié)【答案】C【解析】【分析】設(shè)A、B貨箱分別有x，y節(jié)，則，結(jié)合已知判斷各選項是否能夠裝運所有貨物即可．【詳解】設(shè)A、B貨箱分別有x，y節(jié)，則，A：共50節(jié)且，，滿足；B：共50節(jié)且，，滿足；C：共50節(jié)且，，不滿足；D：共50節(jié)且，，滿足；故選：C.【題型2由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小】【例2】（20232024??高一上?福建三明?月考）若，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷A，其余選項可用特殊值驗證.【詳解】因為，，由不等式的可加性可得，故A正確；當(dāng)，，，時，，，，故B錯誤；當(dāng)，，，時，，，，故C錯誤；當(dāng)，，，時，，，，故D錯誤.故選：A【變式21】（20232024?貴州遵義?高一上?月考）對于任意實數(shù)A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A,不能得到，比如，故錯誤，對于B，若，不能得到，比如，故錯誤，對于C，若，不能得到，比如，故錯誤，對于D，因為，所以，故正確，故選：D【變式22】（20232024?內(nèi)蒙古?高一上?期中A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】利用特殊值判斷A、C、D，利用不等式的性質(zhì)判斷B.【詳解】對于A：當(dāng)時，，若，則，故A錯誤；對于B：因為，所以，即，所以，故B正確；對于C：當(dāng)，，，時，滿足，，但是，故C錯誤；對于D：當(dāng)時，，故D錯誤.故選：B【變式23】（20242025?湖南長沙?高三上?聯(lián)考）（多選）設(shè)，則下列不等式中正確是（A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解ABD，利用作差法即可求解C.【詳解】由于，故對于A,,故A正確，對于B，由于故，B錯誤，對于C，故，C正確，對于D，若時，，故D錯誤，故選;BC【題型3利用作差法比較大小】【例3】（20222023?內(nèi)蒙古阿拉善盟?高一上?期中）已知,，則,的大小關(guān)系是_____．【答案】【解析】【分析】利用作差法直接比較大小.【詳解】解：因為,所以所以.故答案為：.【變式31】（20242025?黑龍江?高三上?開學(xué)考A.B.C.D.【答案】D.又.【變式32】（20232024?浙江湖州?高一上?期末）（多選）若，，，則下列命題正確的是（A.若且，則 B.若且，則C.若，則 D.【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值判斷A，利用作差法判斷B、C、D.【詳解】對于A：當(dāng)，時，滿足且，但，故A錯誤；對于B：因為且，所以，故，故B正確；對于C：因為，所以，即，故C錯誤；對于D：因為，所以，故D正確．故選：BD．【變式33】（20232024?浙江杭州?高二上?期末）小港、小海兩人同時相約兩次到同一水果店購買葡萄，小港每次購買50元葡萄，小海每次購買A.小港兩次購買葡萄的平均價格比小海低 B.小海兩次購買葡萄的平均價格比小港低C.小港與小海兩次購買葡萄的平均價格一樣 D.丙次購買葡萄的平均價格無法比較【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意計算出兩人兩次購買葡萄的平均價格，作差比較大小即可.【詳解】設(shè)兩次葡萄單價分別為元/千克和元/千克，且，則小海兩次均購買3千克葡萄，平均價格為元/千克，小港兩次均購買50元葡萄，平均價格為元．因為，所以小港兩次購買葡萄的平均價格比小海低．故選：A.【題型4利用作商法比較大小】【例4】（20232024·高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)a=7，b=3?3，則a【解答過程】由a、b均大于0，可用作商法，再化簡后與1作大小比較，即可得出答案.【解答過程】∵ab=7又∵b>0，∴a>b.故答案為：>.【變式41】（20232024?湖南長沙?高三上?月考）（多選）對于實數(shù)，，A.若，則 B.若，則C.若，則， D.若，，則【答案】ABD【解析】對選項A，因為，所以，，所以，故A正確；對選項B，，，所以，因為，所以，即，故B正確；對選項C，令，，滿足，不滿足，，故C錯誤；對選項D，因為，，所以，故D正確.故選：ABD.【變式42】（20222023·安徽六安·高一上·月考）設(shè)a>b>0，比較a2?b【答案】a【分析】先判斷兩個式子的符號，然后利用作商法與1進(jìn)行比較即可.【詳解】∵a>b>0?a+b>0,a?b>0，∴a∴a∴a【變式43】（20232024?貴州六盤水?高一上①設(shè)，比較的大小；②設(shè)，比較的大?。虎墼O(shè)，比較的大小.注：如果選擇多組分別解答，按第一個解答計分.【答案】①；②；③；【解析】【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小關(guān)系；②用作差法比較即可；③用作差法或作商法比較即可.【詳解】解：①，因為，所以，即；.②，.③方法一（作差法），因為，所以，所以，所以...方法二（作商法）因，所以，所以，所以..【題型5利用不等式的性質(zhì)求值或取值范圍】【例5】（20232024?山東泰安?高一上?期中）已知，則的取值范圍是【答案】【解析】【分析】確定，，得到范圍.【詳解】，則，，故.【變式51】（20232024?吉林四平?高一上?期中）已知，，則的取值范圍是（A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由相等關(guān)系列方程組求出m，n，再利用不等式的性質(zhì)求的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，所以，解得，于是又，，所以，即.故．故選：D．【變式52】（20232024?浙江嘉興?高一上?期中）（多選）已知實數(shù)x，y滿足，，則（A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)求解.【詳解】實數(shù)x，y滿足，，由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有，，AC選項正確；由，得，B選項錯誤；由，得，D選項正確.故選：ACD【變式53】（20232024?四