2023-2024學(xué)年北京四中高二（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京四中高二（上）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1．已知直線l的一個(gè)方向向量為，則直線l的斜率為（）A． B． C． D．﹣12．已知點(diǎn)A（﹣2，3，0），B（1，3，2），，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（4，3，4） B．（﹣4，﹣1，﹣4） C．（﹣1，6，2） D．（﹣5，3，﹣2）3．已知直線方程kx﹣y﹣2k＝0，則可知直線恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）4．平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都是1，O為A1C1中點(diǎn)，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，，則（）A．x＝1，y＝1 B．x＝1， C．， D．，y＝15．“a＝﹣3”是“直線x+ay+2＝0與直線ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知點(diǎn)（1，﹣2）和在直線l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的兩側(cè)，則直線l傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．7．過(guò)點(diǎn)A（4，1）的圓C與直線x﹣y＝1相切于點(diǎn)B（2，1），則圓C的方程為（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝5 B． C．（x﹣3）2+（y﹣8）2＝50 D．（x﹣3）2+y2＝28．正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O為正方形ABCD中心，A1P＝λA1B1（λ∈[0，1]），直線OP與平面ABC所成角為θ，則θ取最大時(shí)λ的值為（）A． B． C． D．9．A（1，y1），B（﹣2，y2）是直線y＝﹣x上的兩點(diǎn)，若沿x軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角，則折疊后A、B兩點(diǎn)間的距離是（）A．6 B． C． D．10．點(diǎn)M（x0，y0）到兩條直線：x+3y﹣2＝0，x+3y+6＝0距離相等，y0＜x0+2，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11．（5分）若向量與向量共線，則x的值為．12．（5分）直線2x﹣y﹣1＝0與2x﹣y+1＝0之間的距離是．13．（5分）以A（2，3），B（4，9）為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的方程是．14．（5分）在空間四邊形ABCD中，＝．15．（5分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，點(diǎn)D在棱AC上滑動(dòng)，點(diǎn)E在棱BB1上滑動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①三棱錐C1﹣A1DE的體積不變；②A1D+DB的最小值為；③點(diǎn)D到直線C1E的距離的最小值為；④使得A1D⊥C1E成立的點(diǎn)D、E不存在．其中所有正確的結(jié)論為．三、解答題（本大題共6小題，共85分）16．（13分）已知點(diǎn)A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）．（1）求△ABC的面積；（2）過(guò)點(diǎn)C的直線l與點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B（﹣3，5）距離相等，求直線l的方程．17．（13分）如圖，在△ABC中，，BC＝4，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，O為DE的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）平面A1OB⊥平面BCED；（2）若F為A1C的中點(diǎn)，求點(diǎn)F到面A1OB的距離．18．（14分）已知直線l過(guò)點(diǎn)P（2，3），圓C：x2+4x+y2﹣12＝0．（1）求與圓C相切的直線l的方程；（2）當(dāng)直線l是圓C的一條對(duì)稱軸，交圓C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線與x軸交于D，E兩點(diǎn)，求|DE|．19．（15分）如圖，梯形ABCD所在的平面與等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，|CD|＝|DA|＝|AF|＝|FE|＝2，|AB|＝4．（1）求證：DF∥平面BCE；（2）求二面角C﹣BF﹣A的余弦值；（3）線段CE上是否存在點(diǎn)G，使得AG⊥平面BCF？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（15分）已知圓和圓（r＞0）．（1）若圓C1與圓C2相交，求r的取值范圍；（2）若直線l：y＝kx+1與圓C1交于P、Q兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)k的值；（3）若r＝2，設(shè)P為平面上的點(diǎn)，且滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．21．（15分）對(duì)于n維向量A＝（a1，a2，…，an），若對(duì)任意i∈{1，2，…，n}均有ai＝0或ai＝1，則稱A為n維T向量．對(duì)于兩個(gè)n維T向量A，B，定義d（A，B）＝．（Ⅰ）若A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．（Ⅱ）現(xiàn)有一個(gè)5維T向量序列：A1，A2，A3，…，若A1＝（1，1，1，1，1）且滿足：d（Ai，Ai+1）＝2，i∈N*．求證：該序列中不存在5維T向量（0，0，0，0，0）．（Ⅲ）現(xiàn)有一個(gè)12維T向量序列：A1，A2，A3，…，若且滿足：d（Ai，Ai+1）＝m，m∈N*，i＝1，2，3，…，若存在正整數(shù)j使得，Aj為12維T向量序列中的項(xiàng)，求出所有的m．

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1．【答案】D【分析】利用斜率公式求解．【解答】解：因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為，所以直線l的斜率為．故選：D．2．【答案】A【分析】設(shè)P（x，y，z），表示出、，即可得到方程組，解得即可．【解答】解：設(shè)P（x，y，z），因?yàn)锳（﹣2，3，0），B（1，3，2），所以，，因?yàn)?，所以（x+2，y﹣3，z）＝2（3，0，2），所以，解得，即P（4，3，4）．故選：A．3．【答案】B【分析】依題意可得（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得即可．【解答】解：直線kx﹣y﹣2k＝0，即（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得，所以直線kx﹣y﹣2k＝0恒過(guò)點(diǎn)（2，0）．故選：B．4．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得．【解答】解：依題意＝＝，又，所以，．故選：C．5．【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合兩直線垂直的判定分析判斷即可．【解答】解：當(dāng)直線x+ay+2＝0與直線ax+（a+2）y+1＝0互相垂直時(shí)，a+a（a+2）＝0，得a2+3a＝0，解得a＝0或a＝﹣3，所以當(dāng)a＝﹣3時(shí)，直線x+ay+2＝0與直線ax+（a+2）y+1＝0互相垂直，而當(dāng)直線x+ay+2＝0與直線ax+（a+2）y+1＝0互相垂直時(shí)，a＝0或a＝﹣3，所以“a＝﹣3”是“直線x+ay+2＝0與直線ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的充分不必要條件．故選：A．6．【答案】C【分析】因?yàn)辄c(diǎn)（1，﹣2）和在直線l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的兩側(cè)，那么把這兩個(gè)點(diǎn)代入ax﹣y﹣1，它們的符號(hào)相反，乘積小于0，求出a的范圍，設(shè)直線l傾斜角為θ，則a＝tanθ，再根據(jù)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出范圍．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)（1，﹣2）和在直線l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的兩側(cè)，所以，（a+2﹣1）（a﹣1）＜0，即：（a+1）（a﹣）＜0，解得﹣1＜a＜，設(shè)直線l傾斜角為θ，∴a＝tanθ，∴﹣1＜tanθ＜，∴0＜θ＜，或＜θ＜π，故選：C．7．【答案】D【分析】由圓心和切點(diǎn)連線與切線垂直可得kBC＝﹣1，得到關(guān)于圓心的一個(gè)方程，根據(jù)圓的性質(zhì)，可知圓心C在AB的垂直平分線x＝3上，由此可求得a，b的值，得到圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可求得圓的半徑即可求解．【解答】解：設(shè)圓心C（a，b），因?yàn)橹本€x﹣y＝1與圓C相切于點(diǎn)B（2，1），所以，即a+b﹣3＝0，因?yàn)锳B中垂線為x＝3，則圓心C滿足直線x＝3，即a＝3，∴b＝0，所以半徑，所以圓C的方程為（x﹣3）2+y2＝2．故選：D．8．【答案】A【分析】在平面ABB1A1中過(guò)點(diǎn)P作PP1⊥AB交AB于點(diǎn)P1，連接P1O，即可得到∠POP1即為線OP與平面ABC所成角，且，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則，從而求出（tanθ）max，即可得解．【解答】解：在平面ABB1A1中過(guò)點(diǎn)P作PP1⊥AB交AB于點(diǎn)P1，連接P1O，由正方體的性質(zhì)可知PP1⊥平面ABCD，則∠POP1即為直線OP與平面ABC所成角，則，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則，所以當(dāng)OP1＝1時(shí)（tanθ）max＝1，此時(shí)θ取最大值，P1為AB的中點(diǎn)，又A1P＝λA1B1，所以當(dāng)時(shí)θ取最大值．故選：A．9．【答案】C【分析】求出沿x軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角后，點(diǎn)A在平面xOy上的射影C的坐標(biāo)，作BD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D（﹣2，0），然后利用空間向量表示，利用向量的模的性質(zhì)進(jìn)行求解，即可得到答案．【解答】解：∵A（1，y1），B（﹣2，y2）是直線y＝﹣x上的兩點(diǎn)，∴y1＝﹣，y2＝2，現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角后，點(diǎn)A在平面xOy上的射影為C（1，0），作BD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D（﹣2，0），∴＝++，∴＝+++2?+2?+2?＝3+9+12﹣2××2×＝18，∴||＝3．故選：C．10．【答案】B【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式得到x0+3y0+2＝0，結(jié)合y0＜x0+2求出x0，再由x0≠0及計(jì)算可得．【解答】解：依題意，所以x0+3y0+2＝0，即，又y0＜x0+2，所以，解得x0＞﹣2，顯然x0≠0，所以，當(dāng)﹣2＜x0＜0時(shí)，所以，當(dāng)x0＞0時(shí)，所以．綜上可得．故選：B．二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11．【答案】3．【分析】利用向量共線定理求解．【解答】解：因?yàn)橄蛄颗c向量共線，所以，解得x＝3．故答案為：3．12．【答案】．【分析】由平行線間的距離公式可求得結(jié)果．【解答】解：易知直線2x﹣y﹣1＝0與2x﹣y+1＝0平行，這兩條直線間的距離為．故答案為：．13．【答案】（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)計(jì)算即可．【解答】解：易知該圓圓心為A（2，3），B（4，9）的中點(diǎn)C（3，6），半徑，所以該圓方程為：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．故答案為：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．14．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】如圖：設(shè)；由向量的加、減運(yùn)算知：，，代入上式即得結(jié)論．【解答】解：如圖，設(shè)＝，＝，＝，則，＝，＝，＝．所以，＝＝0故答案是：015．【答案】①②③．【分析】根據(jù)錐體的體積公式判斷①，將將△ABC翻折到與矩形ACC1A1共面時(shí)連接A1B交AC于點(diǎn)D，此時(shí)A1D+DB取得最小值，利用勾股定理求出距離最小值，即可判斷②，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出點(diǎn)到距離，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得③，利用，即可判斷④．【解答】解：∵BB1⊥平面ABC，對(duì)于①：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，CC1⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴CC1⊥BC，又CC1?AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又點(diǎn)D在棱AC上滑動(dòng)，∴，∴，∴三棱錐C1﹣A1DE的體積不變，故①正確；對(duì)于②：如圖將△ABC翻折到與矩形ACC1A1共面時(shí)連接A1B交AC于點(diǎn)D，此時(shí)A1D+DB取得最小值，∵A1C1＝CC1＝2，BC＝1，∴A1B＝＝，∴A1D+DB的最小值為，故②正確；對(duì)于③：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)D（a，0，0），a∈[0，2]，E（0，1，c），c∈[0，2]，C1（0，0，2），∴，，則點(diǎn)D到直線C1E的距離d＝＝＝，當(dāng)c＝2時(shí)，，當(dāng)0≤c＜2時(shí)，0＜（c﹣2）2≤4，∴，∴，∴，∴∈（0，]，∴當(dāng)取最大值，且a2＝0時(shí)，，即當(dāng)D在C點(diǎn)E在B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D到直線C1E的距離的最小值為，故③正確；對(duì)于④：A1（2，0，2），，，∴，∵c∈[0，2]，∴當(dāng)c＝2時(shí)，，∴，即A1D⊥C1E，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．三、解答題（本大題共6小題，共85分）16．【答案】（1）；（2）3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．【分析】（1）求出三角形的三邊長(zhǎng)，并求其中一個(gè)角的余弦值，代入公式即可求得面積．（2）過(guò)點(diǎn)C的直線l與點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B（﹣3，5）距離相等，即直線l與直線AB平行或經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)，代入求解即可．【解答】解：（1）由點(diǎn)A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）可得，，，，在△ABC中，，所以，△ABC的面積為．（2）過(guò)點(diǎn)C的直線l與點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B（﹣3，5）距離相等，即直線l與直線AB平行或經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)C的直線l與平行時(shí)，，則直線方程為3x+4y﹣26＝0；當(dāng)過(guò)點(diǎn)C的直線l過(guò)AB的中點(diǎn)，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，，所以直線方程為，即3x+14y﹣46＝0．所以直線方程為3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．17．【答案】（1）證明過(guò)程請(qǐng)見(jiàn)解答；（2）．【分析】（1）由A1O⊥DE，平面A1DE⊥平面BCED，可知A1O⊥平面BCED，再由面面垂直的判定定理，即可得證；（2）作DP⊥BC于P，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離，即可得解．【解答】（1）證明：由題意知，A1D＝A1E，因?yàn)辄c(diǎn)O是DE的中點(diǎn)，所以A1O⊥DE，因?yàn)槠矫鍭1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED＝DE，A1O?平面A1DE，所以A1O⊥平面BCED，又A1O?平面A1OB，所以平面A1OB⊥平面BCED．（2）解：作DP⊥BC于P，則BP＝1，因?yàn)镈E∥BC，所以DP⊥DE，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DP，DE所在直線分別為x，y軸，作Dz⊥平面BCED，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1（0，1，2），O（0，1，0），B（2，﹣1，0），C（2，3，0），因?yàn)镕為A1C的中點(diǎn)，所以F（1，2，1），所以＝（0，0，2），＝（2，﹣2，0），＝（1，1，1），設(shè)面A1OB的法向量為＝（x，y，z），則，即，取x＝1，則y＝1，z＝0，所以＝（1，1，0），故點(diǎn)F到面A1OB的距離為＝＝．18．【答案】（1）x＝2或7x+24y﹣86＝0；（2）10．【分析】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，再分斜率存在與不存在兩種情況討論；（2）依題意直線l過(guò)圓心C，即可求出直線l的方程，即可得到，利用銳角三角函數(shù)求出|AD|，從而求出|CD|，從而得解．【解答】解：（1）圓C：x2+4x+y2﹣12＝0，即（x+2）2+y2＝16，所以圓心C（﹣2，0），半徑r＝4，當(dāng)斜率不存在時(shí)直線的方程為x＝2，符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則y﹣3＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+3＝0，則，解得，所以切線方程為7x+24y﹣86＝0，綜上可得切線方程為x＝2或7x+24y﹣86＝0．（2）因?yàn)橹本€l是圓C的一條對(duì)稱軸，所以直線l過(guò)圓心C，則直線l的方程，即3x﹣4y+6＝0，則，又，即，所以|AD|＝3，則，同理可得|CE|＝5，所以|DE|＝10．19．【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）；（3）線段CE上不存在點(diǎn)G，使得AG⊥平面BCF．【分析】（1）先證明四邊形CDFE為平行四邊形，從而得到DF∥CE，再利用線面平行的判定定理證明即可；（2）在平面ABEF內(nèi)，過(guò)A作Az⊥AB，證明AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面BCF的法向量，由向量的夾角公式求解即可；（3）利用待定系數(shù)法求出平面ACE的法向量，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，證明平面ACE與平面BCF不可能垂直，即可得到答案．【解答】（1）證明：因?yàn)镃D∥EF，且CD＝EF，所以四邊形CDFE為平行四邊形，所以DF∥CE，因?yàn)镈F?平面BCE，CE?平面BCE，所以DF∥平面BCE；（2）解：在平面ABEF內(nèi)，過(guò)A作Az⊥AB，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az?平面ABEF，Az⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，所以AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．由題意得，A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），E（0，3，），F(xiàn)（0，1，），所以＝（2，﹣2，0），＝（0，﹣3，），設(shè)平面BCF的法向量為＝（x，y，z），則，令y＝1，則x＝1，z＝，所以＝（1，1，），平面ABF的一個(gè)法向量為＝（1，0，0），則cos＜，＞＝＝，所以平面CBF和平面BFA的夾角的余弦值為；（3）解：線段CE上不存在點(diǎn)G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：設(shè)平面ACE的法向量為＝（a，b，c），所以，令b＝1，則a＝﹣1，c＝﹣，所以＝（﹣1，1，﹣），因?yàn)?＝﹣1+1﹣3≠0，所以平面ACE與平面BCF不可能垂直，從而線段CE上不存在點(diǎn)G，使得AG⊥平面BCF．20．【答案】（1）（﹣2，+2）；（2）k＝；（3）（，）或（，）．【分析】（1）利用相交時(shí)圓心距的位置關(guān)系可求r的取值范圍；（2）聯(lián)立直線與圓C1，寫出韋達(dá)定理，結(jié)合數(shù)量積代換可求實(shí)數(shù)k的值；（3）由兩圓半徑相等，兩直線11和12截得圓C1和圓C2，弦長(zhǎng)相等可得弦心距相等，得＝，轉(zhuǎn)化為求方程組的解即可．【解答】解：（1）由題意得，圓C1的圓心C1（﹣3，1），r1＝2，圓C2的圓心C2（4，5），半徑為r，|C1C2|＝＝，∵圓C1與圓C2相交，∴|r﹣2|＜|C1C2|＜r+2，即|r﹣2|＜＜r+2，解得：﹣2＜r＜+2，∴r∈（﹣2，+2）．（2）設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），直線與圓C1聯(lián)立，得（1+k2）x2+6x+5＝0，由Δ＞0得k2＜，x1+x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）