24.4 相似三角形判定（第1課時）同步練習(xí)

24.4相似三角形判定（第1課時）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．如圖，點(diǎn)P是?ABCD邊AB上的一點(diǎn)，射線CP交DA的延長線于點(diǎn)E，則圖中相似的三角形有（）A．0對 B．1對 C．2對 D．3對2．如圖，在直角三角形中，是斜邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線最多有（

）．A．2條 B．3條 C．4條 D．5條二、填空題3．在和中，，，，，則與是否相似？______，理由是______．4．如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，直線DF與AB的延長線相交于點(diǎn)E，BP∥DF，且與AD相交于點(diǎn)P，請從圖中找出一組相似的三角形：_________________．5．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，則DB=________．6．如圖，在中，，分別交、于點(diǎn)、，、交于點(diǎn)，則相似三角形有______．三、解答題7．如圖，△ABC中，DE//BC，EF//AB．求證：△ADE∽△EFC．8．如圖，在中，，，，．（1）求證：∽；（2）求的長度．9．如圖，在四邊形中，，，．求證：∽．10．如圖，在正方形中，是的中點(diǎn)，，垂足為，，求的長．11．如圖，在梯形中，，，是上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)、的長分別為、，．那么當(dāng)點(diǎn)在邊上移動時，的值是否變化？若變化，求出的取值范圍；若不變，求出的值，并說明理由．12．如圖，已知是矩形的邊上一點(diǎn)，于，試說明：．【能力提升】1.如圖，是平行四邊形的邊延長線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)．圖中 有哪幾對相似三角形？2．如圖，、分別是的邊、上的點(diǎn)，且．求證：．3.如圖，在中，，于點(diǎn)，且，求的值．4．如圖，，于點(diǎn)，，，求的長．5.如圖，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，，，， 若與相似，求的值．6.如圖，是等邊三角形，，求證．7.正方形中，是中點(diǎn)，于點(diǎn)，厘米，求的長．8.如圖，在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，聯(lián) 結(jié)交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)．求證：．9.如圖，在中，，，是內(nèi)一點(diǎn)，且．求證：．10.如圖，在梯形中，//，且，點(diǎn)、分別是、的 中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求．11.如圖，在中，，//，點(diǎn)在邊上，與相交于點(diǎn) ，且．（1）求證：；（2）．12.如圖，已知、均為等邊三角形，、分別在邊、上，請找 出一個與相似的三角形，并加以證明．

24.4相似三角形判定（第1課時）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．如圖，點(diǎn)P是?ABCD邊AB上的一點(diǎn)，射線CP交DA的延長線于點(diǎn)E，則圖中相似的三角形有（）A．0對 B．1對 C．2對 D．3對【答案】D【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四邊形的性質(zhì)得出即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，∴△EDC∽△CBP，故有3對相似三角形．故選D．2．如圖，在直角三角形中，是斜邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線最多有（

）．A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】B【分析】過點(diǎn)P作直線與另一邊相交，則所得的三角形與原三角形有一個公共角，故只要再作一個直角就可以．【詳解】解：如圖，由于△ABC是直角三角形，過點(diǎn)P作直線截△ABC，則截得的三角形與△ABC有一公共角，所以只要再作一個直角即可使截得的三角形與原三角形相似，過點(diǎn)P可作AB的垂線、AC的垂線、BC的垂線，共3條直線，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相似的判定定理及其運(yùn)用．解題時運(yùn)用了兩角法（有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）來判定兩個三角形相似．二、填空題3．在和中，，，，，則與是否相似？______，理由是______．【答案】

相似

一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，這兩個三角形相似【分析】首先由三角形內(nèi)角和定理求出∠B，然后根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行解答.【詳解】解：∵，，∴∠B＝180°－70°－65°＝45°，∴，，∴，理由是：一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，這兩個三角形相似；故答案為相似，一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，這兩個三角形相似.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握：一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，這兩個三角形相似.4．如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，直線DF與AB的延長線相交于點(diǎn)E，BP∥DF，且與AD相交于點(diǎn)P，請從圖中找出一組相似的三角形：_________________．【答案】△PAB∽△DAE(答案不唯一)【詳解】在□ABCD中，由DC∥AB，得△DCF∽△EBF，由AD∥BC，得△EBF∽△EAD，∴△DCF∽△EAD．∵BP∥DF，∴△EAD∽△BAP，∴△BAP∽△EBF∽△DCF．綜上，圖中相似的三角形有△DCF∽△EBF，△EBF∽△EAD，△DCF∽△EAD，△EAD∽△BAP，△BAP∽△EBF，△BAP∽△DCF，共6對，寫出其中任意一對即可．5．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，則DB=________．【答案】DB=3【詳解】∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴，∵AC=2，AD=1，∴，解得DB=3．6．如圖，在中，，分別交、于點(diǎn)、，、交于點(diǎn)，則相似三角形有______．【答案】∽，∽【分析】根據(jù)，找出相等的角，進(jìn)而得到相似三角形.【詳解】解：∵，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∽，∵，∴∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO，∴∽，故答案為∽，∽.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握：一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，這兩個三角形相似.三、解答題7．如圖，△ABC中，DE//BC，EF//AB．求證：△ADE∽△EFC．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADE=∠B，∠EFC=∠B，∠AED=∠C，等量代換得到∠ADE=∠EFC，于是得到結(jié)論．【詳解】∵ED∥BC，EF∥AB，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠EFC=∠B，∴∠ADE=∠EFC，∠AED=∠C，∴△ADE∽△EFC．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理．8．如圖，在中，，，，．（1）求證：∽；（2）求的長度．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得∠ADE＝∠B，，從而可得到∽；（2）由∽，可得，又知，，，可求AB=7，從而可得到EC的長度．【詳解】（1）∵，∴，，∴∽；（2）∵∽，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理.9．如圖，在四邊形中，，，．求證：∽．【分析】由平行線的性質(zhì)得到∠ADB＝∠DBC，結(jié)合∠A＝∠BDC＝90°，從而可得到△ABD∽△DCB．【詳解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∽．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握：一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，這兩個三角形相似.10．如圖，在正方形中，是的中點(diǎn)，，垂足為，，求的長．【答案】．【分析】根據(jù)同角的余角相等可得，證明∽，列出比例式，利用勾股定理求出BE，然后再將各數(shù)據(jù)代入計算即可.【詳解】∵，四邊形是正方形，∴，，∴，，∴，∴∽，∴，∵為中點(diǎn)，，∴，．在中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理.11．如圖，在梯形中，，，是上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)、的長分別為、，．那么當(dāng)點(diǎn)在邊上移動時，的值是否變化？若變化，求出的取值范圍；若不變，求出的值，并說明理由．【答案】的值不變化，，理由見解析.【分析】根據(jù)，得到∽，∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，整理得到即可求出x的值．【詳解】解：的值不變化，；理由如下：∵，∴∽，∴，∵，∴∽，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的值不變化，.【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理.12．如圖，已知是矩形的邊上一點(diǎn)，于，試說明：．【詳解】解法一：矩形中，，，．，，．．解法二：矩形中，．，，．（下同）【能力提升】1.如圖，是平行四邊形的邊延長線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)．圖中 有哪幾對相似三角形？【答案】，， ．【解析】由，可得： ，根據(jù)相似三角形預(yù)備定理， 可得：，， 進(jìn)而可得：，即這三個三角形兩兩相似．【總結(jié)】考查相似三角形預(yù)備定理，同時考查相似三角形的傳遞性．2．如圖，、分別是的邊、上的點(diǎn)，且．求證：．【解析】證明：， ， ， 即．【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定義，各邊對應(yīng)成比例，先判定再應(yīng)用即可得出結(jié)論．3.如圖，在中，，于點(diǎn)，且，求的值．【答案】．【解析】，即，又，可得．．又，，．，設(shè)，則，代入可得：．．【總結(jié)】考查基本模型的建立，直角三角形斜邊上的高線分出的兩個三角形與原三角形兩兩相似，稱作“子母三角形”，是一種常用的數(shù)學(xué)模型．4．如圖，，于點(diǎn)，，，求的長．【答案】．【解析】，，，．根據(jù)面積法，可知，解得．又，，可得．，代入可得：．，，．代入得：．【總結(jié)】考查對于“子母三角形”的認(rèn)識，初步建立可將相似三角形中可將對應(yīng)邊之比轉(zhuǎn)化為 同一三角形中邊長比的思想，實(shí)際上這個這個圖形中包含5個直角三角形，全部都是兩兩相似．5.如圖，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，，，， 若與相似，求的值．【答案】或2．【解析】（1）時，則應(yīng)有．由，可得：；（2）時，則應(yīng)有．由，代入得：，解得：．【總結(jié)】解決三角形相似問題時，一定要注意確立好對應(yīng)關(guān)系，題目沒有明確說明的前提下，則需要進(jìn)行分類討論．6.如圖，是等邊三角形，，求證．【解析】證明：是等邊三角形，．，．又，．，，，即．【總結(jié)】考查相似三角形的性質(zhì)和相關(guān)相似三角形判定定理1，先判定再應(yīng)用．7.正方形中，是中點(diǎn)，于點(diǎn)，厘米，求的長．【答案】．【解析】四邊形是正方形，．，又，，，∵是中點(diǎn)，∴．由勾股定理可得：，代入可得：．【總結(jié)】考查正方形背景下的直角三角形相似，實(shí)際上由直角和平行很容易得到相等的角，根據(jù)相似三角形判定定理1可證相似．8.如圖，在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，聯(lián) 結(jié)交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)．求證：．【解析】證明：， ，， 又，， ． ． ．【總結(jié)】考查利用“子母三角形”基礎(chǔ)模型證明角相等，根據(jù)同角的余角相等，證明角相等，再利用相似三角形判定定理1即可證明．9.如圖，在中，，，是內(nèi)一點(diǎn)，且．求證：．【解析】證明：，，．即．，．．，．【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理1，需要根據(jù)三角形內(nèi)角和進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化．10.如圖，在梯形中，//，且，點(diǎn)、分別是、的 中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求．【答案】（1）略；（2）．【解析】（1）證明：，是的中點(diǎn)， ，又//， 四邊形是平行四邊形． ， ．（2）解：，為中點(diǎn)， ，． 代入可得：．【總結(jié)】考查相似三角形的預(yù)備定理，同時與三角形一邊平行線性質(zhì)定理結(jié)合