數(shù)學(xué)新學(xué)案北師大版選修課件第二章變化率與導(dǎo)數(shù).pptx

1、第二章 變化率與導(dǎo)數(shù),1變化的快慢與變化率,1.函數(shù)的平均變化率 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間x1,x2上的平均變化率 (1)條件:已知函數(shù)y=f(x),自變量x從x1變?yōu)閤2,函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2).記x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1).,(3)實(shí)質(zhì):函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比. (4)作用:刻畫(huà)函數(shù)值在區(qū)間x1,x2上變化的快慢.,名師點(diǎn)撥對(duì)平均變化率的理解 (1)y=f(x)在區(qū)間x1,x2上的平均變化率是曲線y=f(x)在區(qū)間x1,x2上陡峭程度的“數(shù)量化”,曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺(jué)化”. (2)平均變化率的絕對(duì)值越大,曲線y=f(x)在區(qū)間x1,x2上越“

2、陡峭”,反之亦然. (3)平均變化率的物理意義是把位移s看成時(shí)間t的函數(shù)s=s(t),在 時(shí)間段t1,t2上的平均速度,即 (4)改變量并不一定都是正值,也可以是負(fù)值,函數(shù)值的改變量還可以是0,比如常數(shù)函數(shù),其函數(shù)值的改變量就是0. (5)注意變量的對(duì)應(yīng),若x=x2-x1,則y=f(x2)-f(x1),而不是y=f(x1)=f(x2).,【做一做1】 函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間-1,3上的平均變化率是(),答案:B,2.瞬時(shí)變化率及瞬時(shí)速度 對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過(guò)程中,若設(shè)x=x1-x0,y=f(x1)-f(x0),則函數(shù)的平均變化率是,而當(dāng)x趨于0時(shí),平均變化

3、率就趨于函數(shù)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率,瞬時(shí)變化率刻畫(huà)的是函數(shù)在一點(diǎn)處變化的快慢. 名師點(diǎn)撥1.瞬時(shí)變化率是刻畫(huà)函數(shù)值在x0點(diǎn)處變化的快慢,而平均變化率刻畫(huà)函數(shù)值在區(qū)間x1,x2上變化的快慢. 2.瞬時(shí)速度即位移函數(shù)相對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率.,【做一做2】 如果某物體作運(yùn)動(dòng)方程為s=2(1-t2)的直線運(yùn)動(dòng)(s的單位:m,t的單位:s),那么,物體在1.2 s末的瞬時(shí)速度為() A.-4.8 m/sB.-0.8 m/s C.0.88 m/sD.4.8 m/s,即t=1.2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為-4.8 m/s.,答案:A,思考辨析 判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”. (1)對(duì)

4、于常數(shù)函數(shù)y=a(a是常數(shù)),它的平均變化率為0. () (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間x1,x2內(nèi)的平均變化率為0,則說(shuō)明函數(shù)f(x)在區(qū)間x1,x2上沒(méi)有發(fā)生變化. () (3)在平均變化率的定義中,自變量x在區(qū)間x1,x2上的改變量x為任意實(shí)數(shù). () (4)函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x由x0改變到x0+x時(shí),函數(shù)值的改變量y是f(x0+x)-f(x0). () (5)瞬時(shí)速度是平均速度的極限值. (),探究一,探究二,探究三,思維辨析,平均變化率 【例1】 求函數(shù)y=3x2+2在下列區(qū)間上的平均變化率. (1)2,2.1;(2)2,2+x. 分析:可以先求自變量的增量和函數(shù)值的增量,再代入

5、公式求解.,解:(1)函數(shù)y=3x2+2在區(qū)間2,2.1上的平均變化率為,(2)函數(shù)y=3x2+2在區(qū)間2,2+x上的平均變化率為,反思感悟求函數(shù)平均變化率的步驟 第一步,求自變量的改變量x=x2-x1, 第二步,求函數(shù)值的改變量y=f(x2)-f(x1).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練1一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s=5-3t2,則在一段時(shí)間1,1+t內(nèi)相應(yīng)的平均速度為() A.-3t-6B.-3t+6 C.3t-6D.3t+6,解析:質(zhì)點(diǎn)在1,1+t內(nèi)的平均變化率,答案:A,探究一,探究二,探究三,思維辨析,瞬時(shí)變化率 【例2】 已知s(t)= gt2,其中g(shù)=10 m/s2. (1)

6、求t從3 s到3.1 s的平均速度; (2)求t從3 s到3.01 s的平均速度; (3)求t在t=3 s時(shí)的瞬時(shí)速度. 分析:函數(shù)的平均變化率和瞬時(shí)變化率即為平均速度和瞬時(shí)速度.,解:(1)t=3.1-3=0.1 (s),t指時(shí)間改變量,探究一,探究二,探究三,思維辨析,(2)t=3.01-3=0.01 (s),t指時(shí)間改變量,(3)由瞬時(shí)速度的定義可知,當(dāng)t=3 s時(shí)的瞬時(shí)速度為30 m/s.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟根據(jù)條件求瞬時(shí)速度的步驟 (1)探究非勻速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律s=s(t); (2)由時(shí)間改變量t確定位移改變量s=s(t0+t)-s(t0);,探究一,探究二,

7、探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練2以初速度v0(v00)垂直上拋的物體,t秒時(shí)的高度為s(t)=v0t- gt2,求物體在時(shí)刻t0處的瞬時(shí)速度.,因此物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度為v0-gt0.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,平均變化率的應(yīng)用 【例3】 求函數(shù)y=x2在x0到x0+x之間的平均變化率,并結(jié)合圖像探討當(dāng)x取定值后,隨x0取值不同,該函數(shù)的平均變化率的變化特點(diǎn)及其含義. 分析:由題目可獲取以下主要信息:已知函數(shù)的解析式;求該函數(shù)的平均變化率并指出變化率的變化特點(diǎn)及含義,解答本題時(shí)可數(shù)形結(jié)合,根據(jù)定義求解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,則函數(shù)圖像越陡峭. 反思感悟函數(shù)的平均變化率反映

8、了函數(shù)圖像上兩點(diǎn)連線的斜率,函數(shù)平均變化率的絕對(duì)值越大,斜率的絕對(duì)值越大,圖像也越陡峭.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練3一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),其位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s=t2+1,該質(zhì)點(diǎn)在2,2+t(t0)上的平均速度不大于5,則t的取值范圍是.,解析:質(zhì)點(diǎn)在2,2+t上的平均速度,又t0,t的取值范圍是(0,1.,答案:(0,1,探究一,探究二,探究三,思維辨析,因錯(cuò)用平均變化率公式而致誤 【典例】 已知曲線y=-2x3+2和這條曲線上的兩個(gè)點(diǎn)P(1,0),Q(2,-14),求該曲線在PQ段的平均變化率. 易錯(cuò)分析:在函數(shù)的平均變化率的求法公式中,y必須對(duì)應(yīng)x,即若x=x2-x1,

9、則y=f(x2)-f(x1),若x=x1-x2,則y=f(x1)-f(x2).,解:x1=1,y1=0,x2=2,y2=-14, x=x2-x1=2-1=1,y=y2-y1=-14-0=-14.,糾錯(cuò)心得在平均變化率的定義中,增量x的形式是多種多樣的,但不論x是哪種形式,y必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式.如x=x0-(x0-x),則y=f(x0)-f(x0-x);x=(x0+h)-(x0-h),則y=f(x0+h)-f(x0-h).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+1

10、0,請(qǐng)計(jì)算t0,0.5時(shí)的平均速度 及t1,2時(shí)的平均速度 .,解:當(dāng)t0,0.5時(shí),t=0.5-0=0.5 (s), h=(-4.90.52+6.50.5+10)-(-4.902+6.50+10)=2.025 (m),當(dāng)t1,2時(shí),t=2-1=1 (s), h=(-4.922+6.52+10)-(-4.9+6.5+10) =-8.2 (m),1 2 3 4,1.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-1,當(dāng)自變量x由1變化到1.1時(shí),函數(shù)的平均變化率為() A.2.1B.1.1C.2D.0,答案:A,1 2 3 4,2.一物體的運(yùn)動(dòng)曲線為s=2t3,則其在第t=3秒時(shí)的瞬時(shí)速度是() A.6B.18C.54D.81,解析:由瞬時(shí)速度的定義可知s=2(t+t)3-2t3=2(3+t)3-233=54t+