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文檔簡介

3.4 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù), 而且有各高階導(dǎo)數(shù), 它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示. 這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同. 一個(gè)實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo), 它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說它有高階導(dǎo)數(shù)存在了.,定理 解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù), 它的n階 導(dǎo)數(shù)為:,其中C為在函數(shù) f (z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞 z0的任何一條正向簡單閉曲線, 而且它的內(nèi)部全含于D.,證 設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn), 先證n=1的情形, 即,因此就是要證,按柯西積分公式有,因此,現(xiàn)要證當(dāng)Dz0時(shí)I0, 而,f (z)在C上連續(xù), 則有界, 設(shè)界為M, 則在C上有| f (z) | M. d為 z0 到C上各點(diǎn)的最短距離, 則取 |Dz| 適當(dāng)?shù)匦∈蛊錆M足 |Dz| d/2,因此,L是C的長度,這就證得了當(dāng) Dz0時(shí), I0.,這就證得了,再利用同樣的方法去求極限:,依此類推, 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明:,高階導(dǎo)數(shù)公式的作用, 不在于通過積分來求導(dǎo), 而在于通過求導(dǎo)來求積分.,例1 求下列積分的值, 其中C為正向圓周: | z | = r 1.,解 1) 函數(shù) 在C內(nèi)的z=1處不解析, 但cospz在C內(nèi)卻是處處解析的. 由高階導(dǎo)數(shù)公式，,由多連通域Cauchy和高階導(dǎo)數(shù)Cauchy公式，可解

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