福建省龍巖一中2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 理（實(shí)驗(yàn)班含解析）（通用）

1、福建省龍巖一中2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 理（實(shí)驗(yàn)班，含解析）第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則 （）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在中，利用正弦定理與兩角和的正弦可得，結(jié)合，即可求得答案【詳解】在中，由正弦定理得：， ，又 ，又， 故選： 【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)與正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題2.等差數(shù)列中，若，則該數(shù)列的前項(xiàng)的和為（）A. 2020B. 4030C. 6045D. 12090【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)

2、列的性質(zhì)與求和公式即可得出結(jié)果【詳解】由等差數(shù)列， ，則，解得，則該數(shù)列的前2020項(xiàng)的和，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3.一首小詩數(shù)燈，詩曰：“遠(yuǎn)望燈塔高7層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，頂層數(shù)來有4盞，塔上共有多少燈？”答曰（）A. 252盞B. 256盞C. 508盞D. 512盞【答案】C【解析】試題分析：由已知可得,數(shù)列是等比數(shù)列,故選C.考點(diǎn)：等比數(shù)列求和.4.已知等差數(shù)列中，是它的前項(xiàng)和，若，則當(dāng)最大時(shí)的值為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 是等差數(shù)列中大于零的最后一項(xiàng)，因此 是所有前 項(xiàng)和里最大的。故選A。

3、5. 是橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義可判斷，平方得出，再利用余弦定理求解即可【詳解】 是橢圓上一點(diǎn)， 、 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)， ， ， ， ，在中， ，故選： 【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓定義，焦點(diǎn)三角形的問題，結(jié)合余弦定理整體求解是運(yùn)算的技巧，屬于中檔題6.某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（）A. 大于B. 小于C. 大于等于D. 小于

4、等于【答案】A【解析】【分析】設(shè)天平左臂長為，右臂長為（不妨設(shè)），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，根據(jù)，求出和的值，并利用基本不等式，可得 .【詳解】由于天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長為，右臂長為（不妨設(shè)），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為 由杠桿的平衡原理：， 解得，則下面比較與10的大小： 因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，即 這樣可知稱出的黃金質(zhì)量大于 故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，運(yùn)用了物理中的杠桿平衡原理知識(shí)來求解，屬于基礎(chǔ)題7.下列說法正確的是（）A. “”是“”的充分不必要條件B. 命題“，”的否定是“，”C. 命題“若，則”的逆命題

5、為真命題D. 命題“若，則或”為真命題【答案】D【解析】選項(xiàng)A：，所以“”是其必要不充分條件；選項(xiàng)B：命題“”的否定是“”；選項(xiàng)C：命題“若，則”的逆命題是“若，則”，當(dāng)c=0時(shí)，不成立；選項(xiàng)D：其逆否命題為“若且，則”為真命題，故原命題為真，故選D8.中，點(diǎn) 在雙曲線上，則（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線定義，求出的三邊關(guān)系，再利用正弦定理化簡，求出它的值即可【詳解】中， ， ，點(diǎn)在雙曲線上，與為雙曲線的兩焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義得：，則故選：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的應(yīng)用問題，考查了雙曲線的定義與簡單性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目9.斜率為2的直線 過雙

6、曲線 的右焦點(diǎn)，且與雙曲線的左右兩支都相交，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知直線的斜率，求出漸近線的斜率范圍，推出的關(guān)系，然后求出離心率的范圍【詳解】依題意，斜率為2的直線l過雙曲線 的右焦點(diǎn)且與雙曲線的左右兩支分別相交，結(jié)合圖形分析可知，雙曲線的一條漸近線的斜率必大于2，即，因此該雙曲線的離心率故選： .【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線的斜率的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題10.已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)是F，若拋物線上存在一點(diǎn)P，使得|PA|PF|最小,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析

7、】拋物線的準(zhǔn)線為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，其中為到準(zhǔn)線的距離，而，此時(shí).選C.點(diǎn)睛：在拋物線中，與焦點(diǎn)有關(guān)的最值問題，通常轉(zhuǎn)化為與準(zhǔn)線有關(guān)的最值問題.11.已知滿足約束條件，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在約束條件下取到最小值時(shí)，的最小值為（ ）A. 5B. 4C. D. 2【答案】B【解析】試題分析： 由得，直線的斜率，作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最小由，解得，即，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)的最小值為，即，所以點(diǎn)在直線上，則原點(diǎn)到直線的距離，即的最小值.故選B考點(diǎn)：1、簡單線性規(guī)劃；2、點(diǎn)到直線的距離【思路點(diǎn)睛】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定取得最小值

8、的條件，點(diǎn)在直線，而的幾何意義為點(diǎn)到直線的距離的平方，將問題轉(zhuǎn)化為求到直線的距離即可得到結(jié)論本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)取得最小值的條件是解決本題的關(guān)鍵屬于基礎(chǔ)題12.已知c是橢圓的半焦距，則的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用橢圓的中心、一個(gè)短軸的頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，運(yùn)用勾股定理、基本不等式，直角三角形的2個(gè)直角邊之和大于斜邊，便可以求出式子的范圍【詳解】橢圓的中心、一個(gè)短軸的頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，兩直角邊分別為、 ，斜邊為 ，由直角三角形的2個(gè)直角邊之和大于斜邊得： ，又，故選： 【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的

9、簡單性質(zhì)、基本不等式的應(yīng)用，考查了直角三角形三邊的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則 .【答案】.【解析】試題分析：由題意知，且數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，考點(diǎn)：1考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)；2對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算14.過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)， ，若，則線段的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為_【答案】【解析】【分析】先大致繪出圖像，結(jié)合拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，計(jì)算MN?！驹斀狻?結(jié)合拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，故 所以【點(diǎn)睛】本道題考查了拋物線的性質(zhì)，可以將AB的長轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到準(zhǔn)線距離

10、，然后結(jié)合梯形中位線定理，即可。15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn) 與 的焦點(diǎn)不重合，若分別為線段的中點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在上，則_【答案】12【解析】【分析】由題意作出圖象，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連結(jié)，用橢圓的定義解答即可【詳解】如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連結(jié) ，則 ，分別是，的中位線，則 故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查三角形的中位線的性質(zhì)，屬于中檔題16.在等腰中，則面積的最大值為_【答案】4【解析】【分析】由題意建立坐標(biāo)系，結(jié)合向量模的坐標(biāo)運(yùn)算及基本不等式求解即可【詳解】以為軸，以的垂直平分線為軸，設(shè) ， ， ， ， ， ， ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即 ， ，面積的最大值

11、為4，故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了用解析的方法解決平面幾何問題，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，模的計(jì)算，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.在平面四邊形中，(1)求的值；(2)求的長【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，在中，根據(jù)余弦定理求得，再根據(jù)正弦定理可得，即的值；（2）由（1）可得的值，根據(jù)，進(jìn)而利用和與差的公式可求得，然后解直角三角形即可.【詳解】設(shè).（1）在中，由余弦定理得，即,，解得（負(fù)值舍去）.在中，由正弦定理得，所以，即.（2）由題設(shè)知，為銳角，于是由（1）知，.而，所以 .在 中

12、，故.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡，考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用.解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的，其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向；第二步：定工具，根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的轉(zhuǎn)換；第三步：求結(jié)果.18.為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知0，=.（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（）（）【解析】【分析】（I）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用作差法即可求an的通項(xiàng)公式：（）求出bn，利用裂項(xiàng)法即可求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【詳解】解：（I

13、）由an2+2an4Sn+3，可知an+12+2an+14Sn+1+3兩式相減得an+12an2+2（an+1an）4an+1，即2（an+1+an）an+12an2（an+1+an）（an+1an），an0，an+1an2，a12+2a14a1+3，a11（舍）或a13，則an是首項(xiàng)為3，公差d2的等差數(shù)列，an的通項(xiàng)公式an3+2（n1）2n+1：（）an2n+1，bn（），數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn（）（）.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計(jì)算，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵19.（）設(shè) ，若 是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍（）已知命題方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；命題：雙曲線

14、的離心率若 有且只有一個(gè)為真命題，求的取值范圍【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）求出，解集，利用條件，列出不等式即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.（）根據(jù)方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓得到的范圍，根據(jù)雙曲線的離心率的范圍求出的范圍，利用復(fù)合命題的真假轉(zhuǎn)化求解即可詳解】（）：由題意得， 是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，且（等號(hào)不能同時(shí)取得），故實(shí)數(shù)的取值范圍為（）將方程 改寫為 ，只有當(dāng)，即時(shí)，方程表示的曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以命題等價(jià)于；因?yàn)殡p曲線 的離心率，所以 ，且，解得 ，所以命題等價(jià)于 若真假，則不存在；若假真，則綜上可知的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，橢圓方程的應(yīng)

15、用，雙曲線的簡單性質(zhì)以及充要條件，四種命題的逆否關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力20.已知雙曲線的離心率為，虛軸長為4（）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過點(diǎn) ，傾斜角為直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積【答案】（）;（）.【解析】試題分析：（）根據(jù)已知條件及可得關(guān)于的方程組,從而可求得.（）由點(diǎn)斜式可得直線方程,與雙曲線聯(lián)立消去可得關(guān)于的一元二次方程.可得兩根之和,兩根之積.由弦長公式可得,根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式可得原點(diǎn)到直線的距離,從而可求得的面積.試題解析：解：()依題意可得解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()直線的方程為設(shè)、由可得由韋達(dá)定理可得，即原點(diǎn)到直線的距離為于是 的面積為考點(diǎn)：1雙曲線的方

16、程,簡單幾何性質(zhì);2直線與雙曲線的位置關(guān)系問題.21.已知函數(shù)，滿足 ， ，且函數(shù)的值域?yàn)?（）求函數(shù)的解析式；（）設(shè)函數(shù)，對(duì)任意 ，存在 ，使得 求的取值范圍【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）根據(jù)，可得由判別式 ，可得，又，可得，解得和的值，可得的分析式（）先求得f(x)的最大值為9，可得，即 對(duì)任意恒成立構(gòu)造，利用，由此求得的范圍【詳解】（）根據(jù)，可得 由函數(shù)的值域?yàn)?知，方程，判別式 ，即 .又 ， ，即 ，解得：， （）由（）可得f(x)的對(duì)稱軸為，則當(dāng)時(shí)， 取得最大值為9，若對(duì)任意，存在，使得 ，即，即 對(duì)任意恒成立設(shè) ，則，即，解得 的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) ，兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過焦點(diǎn)作 軸的垂線交橢圓上半部分于點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的弦，設(shè)弦 所在的直線分別交軸于、兩點(diǎn)，若為等腰三角形時(shí)，問直線的斜率是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由【答案】（）；（）直線斜率為定值，該定值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分析可得的值，進(jìn)而分析可得，由橢圓的幾何性質(zhì)分析可得的值，代入橢圓的方程即可得答案