3.1雙曲線及其標準方程

1、,雙曲線及其標準方程,壽縣迎河中學 龍如山,學習難點： 雙曲線標準方程推導過程中的化簡.,學習目標： 1.了解雙曲線的定義及幾何圖形； 2.掌握雙曲線的標準方程的兩種形式； 3.學會利用定義去求解雙曲線的標準方程, 并提高自身的運算能力.,學習重點： 雙曲線的定義和標準方程； 不同的條件下雙曲線的標準方程的求法.,問題1：橢圓的定義是什么？,平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2| ）的點的軌跡叫做橢圓。,問題2：橢圓的標準方程是怎樣的?,， ， 關(guān)系如何？,問題3：如果把橢圓定義中“距離的和”改為“距離的差”那么動點的軌跡會發(fā)生怎樣的變化？,復習引入,畫雙曲線,演示實驗

2、：用拉鏈畫雙曲線,畫雙曲線,演示實驗：用拉鏈畫雙曲線,如圖(A)，,|MF1|-|MF2|=2a(右支),如圖(B)，,|MF2|-|MF1|=2a(左支),由可得：,| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的絕對值）,上面 兩條曲線合起來叫做 雙曲線,每一條叫做雙曲線 的一支。,看圖分析動點M滿足的條件：,根據(jù)實驗及橢圓定義，你能給雙曲線下定義嗎？,平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|，且不等于0）的點的軌跡叫做雙曲線。,這兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離|F1F2|叫做雙曲線的焦距。,通常情況下，我們把|F1F2|記為2c（c0)；

3、 常數(shù)記為2a(a0).,問題4:定義中為什么強調(diào)常數(shù)要小于|F1F2|且不等于0（即02a2c）？如果不對常數(shù)加以限制 ，動點的軌跡會是什么？,一、雙曲線的定義,若2a=2c,則軌跡是什么？,若2a2c,則軌跡是什么？,若2a=0,則軌跡是什么？,此時軌跡為以F1或F2為端點的兩條射線,此時軌跡不存在,此時軌跡為線段F1F2的垂直平分線,F1,F2,F1,F2,分3種情況來看：,二、雙曲線標準方程的推導, 建系,使 軸經(jīng)過兩焦點 ， 軸為線段 的垂直平分線。, 設(shè)點,設(shè) 是雙曲線上任一點，,焦距為 ，那么 焦點 又設(shè)|MF1|與|MF2| 的差的絕對值等于常數(shù) 。, 列式,即,數(shù)學的美！,多

4、么美麗對稱的圖形！,將上述方程化為：,移項兩邊平方后整理得：,兩邊再平方后整理得：,由雙曲線定義知：,即：,設(shè),代入上式整理得：,兩邊同時除以 得：,化簡,這個方程叫做雙曲線的標準方程 ，它所表示的雙曲線的焦點在x軸上，焦點是 F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0).,其中c2=a2+b2.,類比橢圓的標準方程，請思考焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是什么？,其中c2=a2+b2.,這個方程叫做雙曲線的標準方程 ，它所表示的雙曲線的焦點在y軸上，焦點是 F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c).,三.雙曲線兩種標準方程的比較, 方程用“”號連接。, 分母是 但 大小不定。, 。,如果 的系數(shù)是正的，則焦點在

5、軸上；如果 的系數(shù)是正的，則焦點在 軸上。即焦點跟著正的跑,F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,四、雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯(lián)系,|MF1|MF2|=2a2c,|MF1|+|MF2|=2a 2c,F（0，c）,F（0，c）,練一練,判斷下列方程是否表示雙曲線？若是，求出 及焦點坐標。,答案：,題后反思： 先把非標準方程化成標準方程，再判斷焦點所在的坐標軸。,因此，雙曲線的標準方程為,例1、已知雙曲線的焦點 F1(-5,0), F2(5,0)，雙曲線上一點P到兩個焦點的距離差的絕對值等于8，求雙曲線的標準方程.,根據(jù)已知條件，|F

6、1F2|=10,|PF1|-|PF2|=8，,例題講解,解：因為雙曲線的焦點在 軸上，所以設(shè)它的標準方程為,故,那么,例2.已知雙曲線的焦點是 ,且經(jīng)過點M(2,-5). 求雙曲線的標準方程.,解法一:,又因為雙曲線經(jīng)過點M(2,-5),方程聯(lián)立可求得:,因此，雙曲線的標準方程為,由題意知,由題意知,雙曲線的焦點在 軸上,所以設(shè)雙曲線 的標準方程為,例題講解,例2.已知雙曲線的焦點是 ,且經(jīng)過點M(2,-5). 求雙曲線的標準方程.,解法二:,由雙曲線的定義知:,雙曲線的標準方程是:,雙曲線的焦點在 軸上,例題講解,使A、B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合,解: 由聲速及在A地聽到炮

7、彈爆炸聲比在B地晚2s,可知A地與爆炸點的距離比B地與爆炸點的距離遠680m.因為|AB|680m,所以爆炸點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線在靠近B處的一支上.,例3已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程.,如圖所示，建立直角坐標系xOy,設(shè)爆炸點P的坐標為(x,y)，則,即 2a=680，a=340,因此炮彈爆炸點的軌跡方程為,已知雙曲線的焦點為F1(-5,0), F2(5,0)雙曲線上一點到焦點的距離差的絕對值等于6，則 (1) a=_ , c =_ , b =_,(2) 雙曲線的標準方程為_,(3)雙曲線上一點， |PF1|=10, 則|PF2|=_,3,5,4,4或16,課堂鞏固,x2與y2的系數(shù)的大小,x2與y2的系數(shù)的正負,c2=a2+b2,小結(jié)：,（1）推導雙曲線的標準方程；,（2）利用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程；,（3）類比法。,焦