知識(shí)點(diǎn)典型例題直線平面簡(jiǎn)單的幾何體

1、知識(shí)點(diǎn)典型例題直線、平面、簡(jiǎn)單的幾何體1引言立體幾何的學(xué)習(xí)，主要把握對(duì)圖形的識(shí)別及變換（分割，補(bǔ)形，旋轉(zhuǎn)等），因此，既要熟記基本圖形中元素的位置關(guān)系和度量關(guān)系，也要能在復(fù)雜背景圖形中“剝出”基本圖形.平面及空間直線1.平面的基本性質(zhì):(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi) 公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們還有其他公共點(diǎn),且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條直線.公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面（不共線的三點(diǎn)確定一平面）推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面推論3；經(jīng)過(guò)兩條

2、平行直線有且只有一個(gè)平面 注：水平放置的平面圖形的直觀圖的畫(huà)法用斜二測(cè)畫(huà)法其規(guī)則是：在已知圖形取水平平面，取互相垂直的軸，再取0z軸，使，且；畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸，使(或)，,所確定的平面表示水平平面；已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段,在直觀圖中分別畫(huà)成平行于軸、軸或軸的線段；已知圖形中平行于x軸和z軸的線段,在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變;平行于y軸的線段,長(zhǎng)度為原來(lái)的一半 運(yùn)用平面的三個(gè)公理及推論，能證明共點(diǎn)、共線、共面一類(lèi)問(wèn)題。2. 空間兩條直線位置關(guān)系有：相交、平行、異面. 相交直線 共面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線 共面沒(méi)有公共點(diǎn)；公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行;

3、等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等 異面直線 不同在任一平面內(nèi). 平面及空間直線 ()兩條異面直線所成的角(或夾角)：對(duì)于兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線,，則與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角)若兩條異面直線所成的角是直角，則稱這兩條異面直線互相垂直.異面直線所成的角的范圍是 ()兩條異面直線的距離：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線. 兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離注：如圖:設(shè)異面直線a，b所成角為

4、q, 則EF2=m2+n2+d22mncosq 或證明兩條直線是異面直線一般用反證法。 例1.“直線a經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)P”用符號(hào)表示為 ( )(A) (B) (C) (D) 例2. 對(duì)于空間中的三條直線，有以下四個(gè)條件：三條直線兩兩相交；三條直線兩兩平行；三條直線共點(diǎn)；兩直線相交，第三條平行于其中一條與另個(gè)一條相交.其中使這三條直線共面的充分條件有（ ）個(gè)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4例3. 如圖ABCDA1B1C1D1是正方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) (A)A、M、O三點(diǎn)共線 (B)M、O、A1、A四點(diǎn)共面(C)A、O、C、M四點(diǎn)

5、共面 (D)B、B1、O、M四點(diǎn)共面例4. 直線互相平行的一個(gè)充要條件是( )(A)都垂直于同一平面 (B) l1平行l(wèi)2所在的平面(C)與同一平面所成的角相等 (D) l1，l2都平行于同一平面例5. a,b為兩異面直線，下列結(jié)論正確的是 ( )(A)過(guò)不在a,b上的任何一點(diǎn)，可作一個(gè)平面與a,b都平行(B)過(guò)不在a,b上的任一點(diǎn)，可作一直線與a,b都相交(C)過(guò)不在a,b上任一點(diǎn)，可作一直線與a,b都平行(D)過(guò)a可以并且只可以作一個(gè)平面與b平行例6.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1 中，E、F分別是AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1C與EF所成角的余弦值為( )(A)(B) (C)

6、(D) 例7. 已知如右圖，在中選擇適當(dāng)?shù)姆?hào)填入各個(gè)空格：AB ，A AB，A ，a CD，A a，BD ，D a。例8.已知正的邊長(zhǎng)為,則到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都為1的平面有_ 個(gè).例9. 已知異面直線a與b所成的角是500，空間有一定點(diǎn)P，則過(guò)點(diǎn)P與a，b所成的角都是700的直線有_條.平面及空間直線例10. 一副三角板ABC和ABD如圖擺成直二面角，若BCa，求AB和CD的夾角的余弦值。直線和平面平行與平面和平面平行1.直線和平面的位置關(guān)系有：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行.注:直線與平面相交和直線與平面平行統(tǒng)稱為直線在平面外(1) 直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn); (2) 直線與

7、平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn); (3) 直線與平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)直線和平面平行的判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行. 即 直線和平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線與平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行. 即 2.兩個(gè)平面的位置關(guān)系：平行、相交（垂直是相交的一種特殊情況）(1)兩個(gè)平面相交有一條公共直線(2)兩平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)()兩個(gè)平面平行的判定定理: 如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行. 即推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行

8、. 即垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.即; ()兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行. 即 注:平行問(wèn)題常用平行轉(zhuǎn)化的思想: 直線和平面平行與平面和平面平行例11.若直線ab，且a平面a，則直線b與平面a的位置關(guān)系是( )(A)ba (B)ba (C)ba或ba (D)以上都不對(duì)例12. 若直線l與平面a 的一條平行線平行，則l和a 的位置關(guān)系是 ( )(A) (B) (C) (D)例13.直線與平面平行的充要條件是( )(A)直線與平面內(nèi)的一條直線平行 (B)直線與平面內(nèi)的兩條直線不相交(C)直線與平面內(nèi)的任一直線都

9、不相交 (D)直線與平行內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行例14. “平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等”是“”的（ ）(A)充要條件(B)充分不必要條件(C)必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件例15. 夾在兩平行平面之間的兩條線段的長(zhǎng)度相等的充要條件是( )。(A)兩條線段同時(shí)與平面垂直 (B)兩條線段互相平行(C)兩條線段相交 (D)兩條線段與平面所成的角相等例16. 經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)可以作 個(gè)平面平行于這個(gè)平面；可以作 條直線平行于這個(gè)平面.例17. 如圖，直線AC、DF被三個(gè)平行平面a、b、所截，已知AB=2，BC=3，EF=4，則DF= 。例18. 給出下列四組命題：pq直線l平面l上兩點(diǎn)到的距

10、離相等直線l平面l垂直于內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平面平面直線，且平面內(nèi)任一直線平行于平面滿足p是q的充分且必要條件的序號(hào)是_例19. 如圖所示，ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AEAB2a，CDa，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，求證：(1) DF/平面ABC；(2) AFBD.例20. 在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別為棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點(diǎn)，O為AC與BD的交點(diǎn)（如圖）求證：EG平面BB1D1D；平面BDF平面B1D1H；A1O平面BDF；平面BDF平面AA1C.直線和平面垂直1.直線和平面垂直:(1)定義:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,那么就說(shuō)

11、直線和平面互相垂直.記作: (2)判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面.即 (3)性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行即 2. 三垂線定理:(1)斜線在平面內(nèi)的射影：從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)斜足和垂足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影注：垂線段比任何一條斜線段短 三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直. 即 三垂線定理的逆定理:在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.即 3.直線和平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平

12、面內(nèi)的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角注:最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線所成的角中最小的角即（為最小角，如圖）其中q1為斜線OA與平面a 所成角，即為OAB，q2為OA射影AB與a 內(nèi)直線AC所成的角，q為OAC.顯然，qq1，qq2一條直線垂直于平面，就說(shuō)它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，就說(shuō)它們所成的角是的角，可見(jiàn)，直線和平面所成的角的范圍是直線與平面所成的角：關(guān)鍵是找直線在平面內(nèi)的射影.三垂線定理及其逆定理在證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點(diǎn)到直線的垂線等非常有用.垂直轉(zhuǎn)化:直線和平面垂直例21.等腰直角三角形ABC

13、沿斜邊上的高AD折成直二面角B-AD-C，則BD與平面ABC所成角的正切值為( ) (A) (B) (C)1 (D)例22. 命題:（1）一個(gè)平面的兩條斜線段中，較長(zhǎng)的斜線段有較長(zhǎng)的射影;（2）兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影是兩條相交直線;（3）兩條平行直線在同一平面內(nèi)的射影是兩條平行直線;（4）一個(gè)銳角在一個(gè)平面內(nèi)的射影一定是銳角.以上命題正確的有（ ）(A)0個(gè) (B)1個(gè) (C)2個(gè) (D)3個(gè)例23. 平面a 內(nèi)有一四邊形ABCD，P為a 外一點(diǎn)，P點(diǎn)到四邊形ABCD各邊的距離相等，則這個(gè)四邊形（ ）(A)必有外接圓 (B)必有內(nèi)切圓 (C)既有內(nèi)切圓又有外接圓 (D)必是正方形例24

14、. 如圖，PAO所在平面，AB為底面圓的直徑，C為下底面圓周上一點(diǎn)，CAB=a，PBA=，CPB=b，則（ ）(A)cossina=sinb (B)sinsinb=sina (C)coscosa=cosb (D)cossina=cosb 例25. 如圖，PA平面ABC，ABC中，ACB=90o.則圖中Rt的個(gè)數(shù)為（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1例26.下列四個(gè)命題: lm,mn,nl； lm,m,nlnlm,l,m； l,mlm其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是（ ）(A)0個(gè) (B)1個(gè) (C)2個(gè) (D)3個(gè)例27. 下列命題中正確的是（ ）(A)過(guò)平面外一點(diǎn)作此平面的垂面是唯一的 (B)過(guò)直線外一點(diǎn)作此直線的垂線是唯一的(C)過(guò)平面的一條斜線作此平面的垂面是唯一的 (D)過(guò)直線外一點(diǎn)作此直線的平行平面是唯一的例28.將正方形AB